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初中数学
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  • ID:3-5386566 广东省深圳市宝安、罗湖、福田、龙华四区2018-2019学年七年级上学期期中联考数学试题(含答案)

    初中数学/期中专区/七年级上册

    2018-2019学年度第一学期七年级期中联考数学科试卷 考试时间:90分钟 一、选择题(共12小题;共36分) 1. 6的绝对值是(   ) A. B. C. D. 6 2.共享单车为市民短距离出行带来了极大便利.据2018年“深圳互联网自行车发展评估报告”披露,深圳市日均使用共享单车2590000人次,其中2590000用科学记数法表示为(   ) A.259×104 B.25.9×105 C.2.59×106 D.0.259×107 3.下列各式符合代数式书写规范的是(   ) A. B.a×7 C.2m﹣1元 D.3x 4.在式子a2+2,,ab2,,﹣8x,0中,整式有(   ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.如图所示,用一个平面分别去截下列水平放置的几何体,所截得的截面不可能是三角形的是(   ) A. B. C. D. 6.下列计算正确的是(   ) A.3x2y﹣2x2y=x2y B.5y﹣3y=2 C.3a+2b=5ab D.7a+a=7a2 7.下列各组数中,不是互为相反数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 8.下列结论中,正确的是(   ) A.单项式的系数是3,次数是2. B.单项式m的次数是1,没有系数. C.单项式﹣xy2z的系数是﹣1,次数是4. D.多项式5x2-xy+3是三次三项式. 9.若x2+3x﹣5的值为7,则3x2+9x﹣2的值为(  ) A.44 B.34 C.24 D.14 10.若 || =-,则一定是( ) A.非正数 B.正数 C. 非负数 D.负数 11.随着计算机技术的迅猛发展,电脑价格不断降低,某品牌的电脑按原价降低元后又降,现售价为元,那么该电脑的原售价为( ) A.元 B.元 C.元 D.元 12. 用同样大小的围棋子按如图所示的方式摆图案,按照这样的规律摆下去,第12个图案的围棋子个数是(   ) ================================================ 压缩包内容: 广东省深圳市宝安、罗湖、福田、龙华四区2018-2019学年七年级上学期期中联考数学试题(含答案).doc

  • ID:3-5386534 广东省江门市2018-2019学年八年级上学期期末联考数学试题(附答案)

    初中数学/期末专区/八年级上册

    江海区2018-2019学年度第一学期初中期末试题八年级数学 说明:1、全卷共4页,满分为120分;2、考试时间为100分钟。 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1. 下列四个图案中,是轴对称图形的是( ) A  B C D 2. 如果线段a,b,c能组成三角形,那么它们的长度比可能是( )  A.1∶2∶4 B.2∶3∶4 C.3∶4∶7 D.1∶3∶4 3. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料,其理论厚度仅是0.000 000 000 34 m,这个数用科学记数法表示正确的是( ) A. B. C. D. 4.下列运算中,正确的是( ) A. B.C.D. 5.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,则点P到边OA的距离是( ) A.1 B.2 C. D.4 6. 若分式有意义,则x的取值范围是( ) A.x>3 B.x<3 C.x≠-3 D.x=3 7. 如图,在△ABC中, ∠A=80°,∠C=60°,则外角∠ABD的度数是( ) A.100° B.120° C.140° D.160°  8. 下列各式是完全平方式的是( ) A.B. C. D. 9. 已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形是( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 10.如图所示,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下四个结论: ①△ACD≌△BCE;②AD=BE;③∠AOB=60°;④△CPQ是等边三角形. 其中正确的是( ) A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②③ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11. 点关于轴的对称点的坐标为. ================================================ 压缩包内容: 广东省江门市2018-2019学年八年级上学期期末联考数学试题(含答案).docx

  • ID:3-5386356 2019年春北师大版八年级下数学单元检测卷:分式与分式方程(附答案)

    初中数学/北师大版/八年级下册/第五章 分式与分式方程/本章综合与测试

    分式与分式方程 一、填空题(每小题3分,共30分) 1.当x=______ 时,分式的值为0. 【答案】1 2.若分式在实数范围内有意义,则x的取值范围是 . 【答案】x≠5. 3.分式方程的解是_________________. 【答案】x=2 4.x的值为 时,分式无意义. 【答案】-1 5.已知:3a=2b,那么= . 【答案】. 6.化简的结果是 . 【答案】 7.若分式方程=2的一个解是x=1,则a= . 【答案】0 8.计算:= . 【答案】1. 9.已知分式,当时,分式无意义,则 。 【答案】6. 10.若非0有理数a使得关于的分式方程无解,则 . 【答案】-1 二、选择题(每小题3分,共30分) 11.下列式子是分式的是( ) A. B. C.+y D. 【答案】B 12.分式方程的解是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 【答案】C. 13.若分式的值为0,则x的值为( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】C 14.使分式无意义的x的值是( ) A.x=﹣ B.x= C.x≠﹣ D.x≠ 【答案】B. 15.化简的结果是( ) A、 B、 C、 D、 【答案】C 16.下列算式中,错误的是( ) A.1﹣1=1 B.(﹣π﹣3)0=1 C.(﹣2)﹣2=0.25 D.0﹣3=0 【答案】D 17.将分式方程1/x=2/(x-2)去分母后得到的整式方程,正确的是( ) A.x﹣2=2x B.x2﹣2x=2x C.x﹣2=x D.x=2x﹣4 【答案】A 18.化简的结果是( ) A. B. C. D. 【答案】A. 19.对于非零实数a、b,规定a?b=1/b-1/a.若2?(2x﹣1)=1,则x的值为( ) A.5/6 B.5/4 C.3/2 D.﹣1/6 【答案】A 20.小军家距学校5千米,原来他骑自行车上学,学校为保障学生安全,新购进校车接送学生,若校车速度是他骑车速度的2倍,现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发,结果与原来到校时间相同.设小军骑车的速度为x千米/小时,则所列方程正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】B 三、解答题(本大题共7小题,共60分) 21.(7分)先化简,再求值.其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一个. 【答案】2x+8,由分式有意义可得x≠﹣2、0或2,当x=﹣1时,原式=6. 22.(7分)先化简,再求值:÷,其中x满足方程x2﹣x﹣2=0. 【答案】原式=, 当x=2时,原式=1. 23.(7分)化简: (1)a(2﹣a)+(a+1)(a﹣1) (2). 【答案】(1)2a﹣1;(2). 24.(7分)化简:((2x2+2x)/(x2-1)﹣) ÷ ,并解答: (1)当x=3时,求原式的值; (2)原式的值能等于﹣1吗?为什么? 【答案】(1)、2;(2)、不能,理由略 25.(10分)先化简,再求值: ,其中的值从不等式组的整数解中选取。 【答案】原式=,当x=2,原式=-2. 26.(10分)为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等,求第一次捐款的人数. 【答案】480人. 27.(12分)我国实施的“一带一路”战略方针,惠及沿途各国.中欧班列也已融入其中.从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列,全程约11025千米.同样的货物,若用轮船运输,水路路程是铁路路程的1.6倍,水路所用天数是铁路所用天数的3倍,列车平均日速(平均每日行驶的千米数)是轮船平均日速的2倍少49千米.分别求出列车及轮船的平均日速. 【答案】列车的速度为735千米/日;轮船的速度为393千米/日.

  • ID:3-5386273 [精] 【备考2019】数学中考一轮复习学案 第12节 反比例函数及其应用(含解析)

    初中数学/中考专区/一轮复习

    第三章函数 第12节 反比例函数及其应用 / ■知识点一: 反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函数的概念 (1)定义:形如y= (k≠0)的函数称为反比例函数,k叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数.21·cn·jy·com (2)形式:反比例函数有以下三种基本形式: ①y=kx-1;②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数,且k≠0) 2.反比例函数的图象 反比例函数y=(k≠0)的图象是由两个分支组成的_ __,且不与两坐标轴相交. 3.反比例函数的性质 (1)当k>0时,图象在 ___象限,在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而__ __2-1-c-n-j-y (2)当k<0时,图象在_ _象限,在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而 _.【出处:21教育名师】 (3)其图象既是关于原点对称的___ ____图形,又是__ 图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线Y=-X;②一、三象限的角平分线Y=X;对称中心是:坐标原点. 注意:(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;②把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于k. 失分点警示 (2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断. ■知识点二:比例系数k的几何意义 (1)意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. (2)常见的面积类型: / ■知识点三:利用待定系数法确定反比例函数表达式 (1)设出含有待定系数的反比例函数解析式y=(k为常数,k≠0); (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式,得到待定系数的方程; (3)解方程,求出待定系数; (4)写出解析式. ■知识点四:反比例函数与一次函数的综合 (1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解. ================================================ 压缩包内容: 第三章函数 第12节反比例函数及其应用原卷.docx 第三章函数 第12节反比例函数及其应用解析卷.docx

    • 一轮复习/基础知识
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  • ID:3-5386170 2018-2019学年湖北省武汉市硚口区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2018-2019学年湖北省武汉市硚口区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题均有四个备选选项,其中有且只有一个正确,请在答题卷上将正确答案的字母涂黑 1.若关于x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程,则(  ) A.a>1 B.a≠0 C.a=1 D.a≥0 2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8=0时,则方程变形正确的是(  ) A.(x﹣3)2=17 B.(x+3)2=17 C.(x﹣3)2=1 D.(x+3)2=1 4.抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为(  ) A.y=﹣(x+1)2 B.y=﹣(x﹣1)2 C.y=﹣x2+1 D.y=﹣x2﹣1 5.对于抛物线y=﹣2(x﹣1)2+3,下列判断正确的是(  ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是(﹣1,3) C.对称轴为直线x=1 D.当x=3时,y>0 6.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,若MN=1,则BC的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.若A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣2(x+1)2+3上的三个点,则y1,y2,y3的大小关系是(  ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 8.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°,得到△AB1C1,若点B1在线段BC的延长线上,则∠BB1C1的大小为(  ) A.70° B.80° C.84° D.86° 9.函数y=kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点,则k的取值范围是(  ) A.k<2 B.k<2 且 k≠0 C.k≤2 D.k≤2 且 k≠0 10.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),M(m,0)且m>0,分别以AO、AM为边在∠AOM内部作等边△AOB和等边△AMC,连接CB并延长交x轴于点D,则C点的横坐标的值为(  ) A. m+ B. m+ C. m+ D. m+ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 11.一元二次方程x2﹣9=0的解是   . 12.在平面直角坐标系中,点A(2,3)绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为   . 13.某工厂七月份出口创汇200万美元,因受国际大环境的严重影响,出口创汇出现连续下滑,至九月份时出口创汇下降到只有98万美元,设该厂平均每月下降的百分率是x,则所列方程是   .(可不必化成一般形式!) 14.某宾馆有40个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为160元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每间每天房价定为x元,宾馆每天利润为y元,则y与x的函数关系式为   . 15.如图,将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形,如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分,这样的不同的直线一共可以画出   条. 16.已知二次函数y=x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t,则t的值为   . 三、解答题(共8小题,共72分) 17.(8分)解方程:x2﹣4x+3=0. 18.(8分)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4,EM=6,求⊙O的半径. 19.(8分)已知关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求k的值. 20.(8分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣4,5),B(﹣5,2),C(﹣3,4) (1)画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标为   ; (2)D是x轴上一点,使DB+DC的值最小,画出点D(保留画图痕迹); (3)P(t,0)是x轴上的动点,将点C绕点P顺时针旋转90°至点E,直线y=﹣2x+5经过点E,则t的值为   . 21.(8分)有一个抛物线型蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示,已知OA=8米,距离O点2米处的棚高BC为米. (1)求该抛物线的解析式; (2)若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门,要求门的高度为1.5米,求横梁DE的长度是多少米? 22.(10分)某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2 (1)直接写出:①用x的式子表示出口的宽度为   ; ②y与x的函数关系式及x的取值范围   ; (2)求活动区的面积y的最大面积; (3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造,当x为整数时,共有几种建造方案? 23.(10分)已知,在△ABC中,∠ACB=30° (1)如图1,当AB=AC=2,求BC的值; (2)如图2,当AB=AC,点P是△ABC内一点,且PA=2,PB=,PC=3,求∠APC的度数; (3)如图3,当AC=4,AB=(CB>CA),点P是△ABC内一动点,则PA+PB+PC的最小值为   . 24.(12分)如图,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为 C. (1)求抛物线的解析式; (2)直线AB上方抛物线上的点D,使得∠DBA=2∠BAC,求D点的坐标; (3)M是平面内一点,将△BOC绕点M逆时针旋转90°后,得到△B1O1C1,若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求点B1的坐标. 2018-2019学年湖北省武汉市硚口区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题均有四个备选选项,其中有且只有一个正确,请在答题卷上将正确答案的字母涂黑 1.若关于x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程,则(  ) A.a>1 B.a≠0 C.a=1 D.a≥0 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可. 【解答】解:∵关于x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程, ∴a≠0, 故选:B. 【点评】此题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键. 2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; B、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误; C、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; D、是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确; 故选:D. 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 3.用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8=0时,则方程变形正确的是(  ) A.(x﹣3)2=17 B.(x+3)2=17 C.(x﹣3)2=1 D.(x+3)2=1 【分析】首先把常数项移到等号右边,然后方程两边加上一次项系数的一半,配方即可. 【解答】解:移项,得x2﹣6x=﹣8, 配方,x2﹣6x+9=1, 则(x﹣3)2=1. 故选:C. 【点评】本题考查了配方法解方程,用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解. 4.抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为(  ) A.y=﹣(x+1)2 B.y=﹣(x﹣1)2 C.y=﹣x2+1 D.y=﹣x2﹣1 【分析】直接根据“左加右减”的法则进行解答即可. 【解答】解:抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为:y=﹣(x+1)2. 故选:A. 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的法则是解答此题的关键. 5.对于抛物线y=﹣2(x﹣1)2+3,下列判断正确的是(  ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的顶点坐标是(﹣1,3) C.对称轴为直线x=1 D.当x=3时,y>0 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质,即可得出结论. 【解答】解:A、∵﹣2<0,∴抛物线的开口向下,本选项错误, B、抛物线的顶点为(1,3),本选项错误, C、抛物线的对称轴为:x=1,本选项正确, D、把x=3代入y=﹣2(x﹣1)2+3,解得:y=﹣5<0,本选项错误, 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的性质,根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论. 6.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,若MN=1,则BC的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点,故MN是△ABC的中位线,由三角形的中位线定理即可得出结论. 【解答】解:∵OM⊥AB,ON⊥AC垂足分别为M、N, ∴M、N分别是AB与AC的中点, ∴MN是△ABC的中位线, ∴BC=2MN=2, 故选:B. 【点评】本题考查的是垂径定理,熟知平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键. 7.若A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣2(x+1)2+3上的三个点,则y1,y2,y3的大小关系是(  ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向,根据二次函数的性质比较即可. 【解答】解:抛物线y=﹣2(x+1)2+3的开口向下,对称轴是直线x=﹣1,当x>﹣1时,y随x的增大而减小, ∵A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=﹣2(x+1)2+3上的三个点, ∴点A关于对称轴x=﹣1的对称点是(0,y1), ∴y1>y2>y3, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质,能熟记二次函数的性质是解此题的关键. 8.如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°,得到△AB1C1,若点B1在线段BC的延长线上,则∠BB1C1的大小为(  ) A.70° B.80° C.84° D.86° 【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1,AB=AB1,由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40°,从而可求得∠BB1C1=80°. 【解答】解:由旋转的性质可知:∠B=∠AB1C1,AB=AB1,∠BAB1=100°. ∵AB=AB1,∠BAB1=100°, ∴∠B=∠BB1A=40°. ∴∠AB1C1=40°. ∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°. 故选:B. 【点评】本题主要考查的是旋转的性质,由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键. 9.函数y=kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点,则k的取值范围是(  ) A.k<2 B.k<2 且 k≠0 C.k≤2 D.k≤2 且 k≠0 【分析】先根据二次函数的定义得到k≠0,再根据抛物线与x轴的交点问题得到△=(﹣4)2﹣4k×2≥0,然后解不等式即可得到k的值. 【解答】解:∵y=kx2﹣4x+2为二次函数, ∴k≠0, ∵二次函数y=kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点, ∴△=(﹣4)2﹣4k×2≥0,解得k≤2, 综上所述,k的取值范围是 k≤2且k≠0. 故选:D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数:当△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;当△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;当△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 10.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),M(m,0)且m>0,分别以AO、AM为边在∠AOM内部作等边△AOB和等边△AMC,连接CB并延长交x轴于点D,则C点的横坐标的值为(  ) A. m+ B. m+ C. m+ D. m+ 【分析】作CH⊥OD于H.由△OAM≌△BAC(SAS),推出BC=OM=m,∠ABC=∠AOM=90°,解直角三角形求出OD,DH即可解决问题; 【解答】解:作CH⊥OD于H. ∵△OAB,△AMC都是等边三角形, ∴∠OAB=∠MAC=60°, ∴∠OAM=∠BAC, ∵AO=AB,AM=AC, ∴△OAM≌△BAC(SAS), ∴BC=OM=m,∠ABC=∠AOM=90°, ∵∠ABO=∠AOB=60°, ∴∠DOB=∠DBO=30°, ∴OD=OB, ∵A(0,2), ∴OA=OB=2, ∴OD=DB=, ∴CD=DB+BC=+m, 在Rt△DCH中,∵∠CDH=60°, ∴∠DCH=30°, ∴DH=CD=+, ∴OH=OD+DH=+, 故选:D. 【点评】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分) 11.一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3,x2=﹣3 . 【分析】利用直接开平方法解方程得出即可. 【解答】解:∵x2﹣9=0, ∴x2=9, 解得:x1=3,x2=﹣3. 故答案为:x1=3,x2=﹣3. 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程,正确开平方是解题关键. 12.在平面直角坐标系中,点A(2,3)绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为 (﹣3,2) . 【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形,然后写出A′点的坐标,则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置. 【解答】解:如图,线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′,则点A′的坐标为(﹣3,2),点A′在第二象限. 故答案为(﹣3,2). 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°. 13.某工厂七月份出口创汇200万美元,因受国际大环境的严重影响,出口创汇出现连续下滑,至九月份时出口创汇下降到只有98万美元,设该厂平均每月下降的百分率是x,则所列方程是 200(1﹣x)2=98 .(可不必化成一般形式!) 【分析】设该厂平均每月下降的百分率是x,根据该厂七月份及九月份出口创汇的金额,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:设该厂平均每月下降的百分率是x, 根据题意得:200(1﹣x)2=98. 故答案为:200(1﹣x)2=98. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 14.某宾馆有40个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为160元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每间每天房价定为x元,宾馆每天利润为y元,则y与x的函数关系式为 y=﹣+58x﹣1120 . 【分析】根据题意表示出每间房间的利润以及住满的房间数,进而得出答案. 【解答】解:设每间每天房价定为x元,宾馆每天利润为y元, 则y与x的函数关系式为:y=(x﹣20)(40﹣)=﹣+58x﹣1120. 故答案为:y=﹣+58x﹣1120. 【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式,正确表示出住满的房间数是解题关键. 15.如图,将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形,如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分,这样的不同的直线一共可以画出 3 条. 【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可. 【解答】解:如图所示,这样的不同的直线一共可以画出三条, 故答案为:3. 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图,解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性. 16.已知二次函数y=x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t,则t的值为 1或2 . 【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时,分别结合二次函数增减性求出最值即可. 【解答】解:y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,分类讨论: (1)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时,有t<1,此时y随x的增大而减小, ∴当x=t+1时,函数取得最小值,y最小值=t=(t+1)2﹣2(t+1)+2, 方程无解. (2)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时,即有t≤1≤t+1, 解这个不等式,即 0≤t≤1.此时当x=1时,函数取得最小值,y最小值=1, ∴t=1. (3)若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时,即t>1时,y随x的增大而增大, ∵当x=t时,函数取得最小值,y最小值=t=t2﹣2t+2,解得t=2或1(舍弃) ∴t=1或2. 故答案为:1或2. 【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识,利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键. 三、解答题(共8小题,共72分) 17.(8分)解方程:x2﹣4x+3=0. 【分析】利用因式分解法解出方程. 【解答】解:x2﹣4x+3=0 (x﹣1)(x﹣3)=0 x﹣1=0,x﹣3=0 x1=1,x2=3. 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键. 18.(8分)如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4,EM=6,求⊙O的半径. 【分析】因为M是⊙O弦CD的中点,根据垂径定理,EM⊥CD,则CM=DM=2,在Rt△COM中,有OC2=CM2+OM2,进而可求得半径OC. 【解答】解:连接OC, ∵M是⊙O弦CD的中点, 根据垂径定理:EM⊥CD, 又CD=4则有:CM=CD=2, 设圆的半径是x米, 在Rt△COM中,有OC2=CM2+OM2, 即:x2=22+(6﹣x)2, 解得:x=, 所以圆的半径长是. 【点评】此题主要考查了垂径定理的应用,解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为r,弦长为a,这条弦的弦心距为d,则有等式r2=d2+()2成立,知道这三个量中的任意两个,就可以求出另外一个. 19.(8分)已知关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2满足x1x2+x1+x2=3,求k的值. 【分析】(1)计算根的判别式,由题意得关于k的不等式,求解即可; (2)利用根与系数的关系,用含k的代数式表示出两根的和与积,代入关系式得关于k的方程,求解即可. 【解答】解:(1)∵关于x的方程x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0有两个实数根x1,x2. ∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1) =﹣4k+5≥0, 解得k≤. (2)∵x1+x2=1﹣2k,x1x2=k2﹣1, ∴k2﹣1+1﹣2k=3 即k2﹣2k﹣3=0, ∴k1=﹣1,k2=3 ∵k≤,∴k=﹣1. 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系,解(2)时,容易只注意解关于k的方程,忽略k的范围而出错.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣,x1?x2=. 20.(8分)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(﹣4,5),B(﹣5,2),C(﹣3,4) (1)画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标为 (4,﹣5) ; (2)D是x轴上一点,使DB+DC的值最小,画出点D(保留画图痕迹); (3)P(t,0)是x轴上的动点,将点C绕点P顺时针旋转90°至点E,直线y=﹣2x+5经过点E,则t的值为 ﹣2 . 【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可; (2)作点B关于x轴的对称点B′,连接CB′交x轴于点D,此时BD+CD的值最小; (3)构造全等三角形求出等E坐标,利用待定系数法即可解问题; 【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示,A1(4,﹣5); 故答案为(4,﹣5). (2)作点B关于x轴的对称点B′,连接CB′交x轴于点D,此时BD+CD的值最小; (3)作CH⊥x轴于H,EK⊥x轴于K. ∵∠CHP=∠CPE=∠PKE=90°, ∴∠CPH+∠HCP=90°,∠CPH+∠EPK=90°, ∴∠PCH=∠EPK,∵PC=PE, ∴△PCH≌△EPK(AAS), ∴PK=CH=4,EK=PH=t+3, ∴OK=4+t, ∴E(4+t,t+3), ∵点E在直线y=﹣2x+5上, ∴t+3=﹣2(4+t)+5, t=﹣2, 故答案为﹣2. 【点评】本题考查作图﹣旋转变换,一次函数图象上的点的特征,轴对称﹣最短问题等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 21.(8分)有一个抛物线型蔬菜大棚,将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中,抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示,已知OA=8米,距离O点2米处的棚高BC为米. (1)求该抛物线的解析式; (2)若借助横梁DE(DE∥OA)建一个门,要求门的高度为1.5米,求横梁DE的长度是多少米? 【分析】(1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案; (2)利用y=1.5代入解方程即可求出答案. 【解答】解:(1)由题意可得,抛物线经过(2,),(8,0), 故, 解得:, 故抛物线解析式为:y=﹣x2+x; (2)由题意可得:当y=1.5时, 1.5=﹣x2+x, 解得:x1=4+2,x2=4﹣2, 故DE=x1﹣x2=4+2﹣(4﹣2) =4. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用,正确得出函数解析式是解题关键. 22.(10分)某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2 (1)直接写出:①用x的式子表示出口的宽度为 50﹣2x ; ②y与x的函数关系式及x的取值范围 y=﹣4x2+40x+1500(12≤x≤18) ; (2)求活动区的面积y的最大面积; (3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造,当x为整数时,共有几种建造方案? 【分析】(1)①根据图形可得结论; (2)根据题意可得y与x的关系式; (3)根据二次函数的增减性可得结论; (4)根据列方程即可得到结论. 【解答】解:(1)①出口的宽度为:50﹣2x, ②根据题意得,y=50×31﹣4x(x﹣10), 即y与x的函数关系式及x的取值范围为:y=﹣4x2+40x+1500(12≤x≤18); 故答案为:50﹣2x,y=﹣4x2+40x+1500(12≤x≤18); (2)y=﹣4x2+40x+1500=﹣4(x﹣5)2+1600, ∵a=﹣4<0,抛物线的开口向下,对称轴为zxx=5,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小, ∴当x=12时,y最大=1404, 答:活动区的面积y的最大面积为1404m2; (3)设费用为w, 由题意得,w=50(﹣4x2+40x+1500)+40×4x(x﹣10)=﹣40(x﹣5)2+76000, ∴当w=72000时,解得:x1=﹣5,x2=15, ∵a=﹣40<0, ∴当x=﹣5或x=15时,w=72000, ∵12≤x≤18, ∴15≤x≤18,且x为整数, ∴共有4种建造方案. 【点评】本题考查了二次函数的应用,此题关键是求得短边的长度,再利用矩形的面积求得各部分面积,进一步列不等式(组)解决问题. 23.(10分)已知,在△ABC中,∠ACB=30° (1)如图1,当AB=AC=2,求BC的值; (2)如图2,当AB=AC,点P是△ABC内一点,且PA=2,PB=,PC=3,求∠APC的度数; (3)如图3,当AC=4,AB=(CB>CA),点P是△ABC内一动点,则PA+PB+PC的最小值为  . 【分析】(1)如图1中,作AP⊥BC于P.利用等腰三角形的性质求出PC即可解决问题; (2)将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC.证明∠CPQ=90°即可解决问题; (3)如图3中,将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′,连接PP′,AB′,则∠ACB′=90°.用PA+PB+PC=PA+PP′+P′B′,推出当A,P,P′,B′共线时,PA+PB+PC的值最小最小值=AB′的长; 【解答】解:(1)如图1中,作AP⊥BC于P. ∵AB=AC,AP⊥BC, ∴BP=PC, 在Rt△ACP中,∵AC=2,∠C=30°, ∴PC=AC?cos30°=, ∴BC=2PC=2. (2)如图2中, ∵AB=AC,∠C=30°, ∴∠BAC=120°, 将△APB绕点A逆时针旋转120°得到△QAC. ∴PA=AQ=2,PB=QC=, ∵∠PAQ=120°, ∴PQ=2, ∴PQ2+PC2=QC2, ∴∠QPC=90°, ∵∠APQ=30°, ∴∠APC=30°+90°=120°. (3)如图3中,将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB′P′,连接PP′,AB′,则∠ACB′=90°. ∵PA+PB+PC=PA+PP′+P′B′, ∴当A,P,P′,B′共线时,PA+PB+PC的值最小最小值=AB′的长, 由AB=,AC=4,∠C=30°,可得BC=CB′=3, ∴AB′==. 故答案为. 【点评】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形,勾股定理以及逆定理,旋转变换等知识,解题的关键是利用旋转变换添加辅助线,用转化的思想思考问题,属于中考压轴题. 24.(12分)如图,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为 C. (1)求抛物线的解析式; (2)直线AB上方抛物线上的点D,使得∠DBA=2∠BAC,求D点的坐标; (3)M是平面内一点,将△BOC绕点M逆时针旋转90°后,得到△B1O1C1,若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求点B1的坐标. 【分析】(1)由直线y=x+2求得A、B的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式; (2)取点B关于x轴的对称点B′(0,﹣2),连接AB′,过点B作BD∥AB′交抛物线于点D,先求得直线AB′的解析式,进而求得BD的解析式,然后联立方程,解方程即可; (3)由△BOC绕点M逆时针旋转90°,对称B1O1∥x轴,O1C1∥y轴,然后分①点O1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据纵坐标相同列出方程求解即可;②点C1、B1在抛物线上时,表示出两点的横坐标,再根据两点的纵坐标相差1列出方程求解即可. 【解答】解:(1)y=,当x=0时,y=2;当y=0时,x=﹣4, ∴A(﹣4,0),B(0,2), 把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得, 解得, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣x+2; (2)取点B关于x轴的对称点B′(0,﹣2),连接AB′,过点B作BD∥AB′交抛物线于点D, ∵B、B′关于x轴对称, ∴AB=AB′,∠BAB′=2∠BAC, 设AB′:y=kx﹣2, 代入A(﹣4,0)得﹣4k﹣2=0,解得k=﹣, 则BD:y=﹣x+2, 解得,, ∴D(﹣2,3). (3)∵△BOC绕点M逆时针旋转90°, ∴B1O1∥x轴,O1C1∥y轴, 当B1、O1在抛物线上时,设B1的横坐标为x,则O1的横坐标为x+2, ∴﹣=﹣(x+2)2﹣(x+2)+2, 解得x=﹣, 则B1(﹣,); 当B1、C1在抛物线上时,设B1的横坐标为x,则C1的横坐标为x+2, C1的纵坐标比B1的纵坐标大1, ∴﹣=﹣(x+2)2﹣(x+2)+2﹣1,解得x=﹣3, 则B1(﹣3,2), ∴B1的坐标为(﹣,)或(﹣3,2). 【点评】本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,旋转的性质更,本题难点在于(3)根据旋转角是90°判断出B1O1∥x轴,O1C1∥y轴,注意要分情况讨论.

  • ID:3-5386169 2018-2019学年湖北省随州市广水市西北协作区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2018-2019学年湖北省随州市广水市西北协作区九年级(上)期中数学试卷 一、选则题(本大题共10小题,每题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的,请将正确答案的序号直接填入答题卡中). 1.随着人们生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 2.解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0,用配方法可变形为(  ) A.(x﹣4)2=21 B.(x﹣4)2=11 C.(x+4)2=21 D.(x+4)2=11 3.给出下列四个函数:①y=﹣x;②y=x;③y=x2,x<0时,y随x的增大而减小的函数有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是(  ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 5.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是 (  ) A.24 B.24或8 C.48 D.8 6.设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值为(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么弦AC的值为(  ) A.3 B.2 C.3 D.2 8.如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为(  ) A. B.2 C.2 D.4 9.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(  ) A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0;⑦方程ax2+bx+c=﹣4有实数解,正确的有(  ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分). 11.把方程3x(x﹣1)=(x+2)(x﹣2)+9化成ax2+bx+c=0的形式为   . 12.若关于x的二次三项式x2﹣(m﹣1)x+16是完全平方式,则m=   . 13.若X为实数,且(x2+x)2﹣2(x2+x)﹣3=0,则x2+x=   . 14.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),则该抛物线的解析式为   . 15.如图,P是等边△ABC内一点,且PA=6,PC=8,PB=10,若△APB绕点A逆时针旋转60°后,得到△AP′C,则∠APC=   °. 16.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为   . 三、计算、证明与解答(本大题共8小题,满分64分). 17.(6分)解下列方程 (1)x2﹣2x﹣1=0 (2)(x﹣1)2=(3﹣2x)2 18.(6分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值. 19.(6分)某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房定价每提高10元,就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用,设每间客房的定价提高了x元. (1)填表(不需化简) 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后             (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客,则每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入﹣维护费用) 20.(8分)如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10) (1)求点P的坐标; (2)将⊙P绕点O顺时针方向旋转90°后得⊙A,交x轴于B、C,求过A、B、C三个点的抛物线的解析式. 21.(8分)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E. (1)求证:DE=DB; (2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径. 22.(9分)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式; (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? 23.(9分)我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知: (1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”. ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=   BC; ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为   . 猜想论证: (2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明. 24.(12分)如图,已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式; (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值; (3)若抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积,求M点坐标. (4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 2018-2019学年湖北省随州市广水市西北协作区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选则题(本大题共10小题,每题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的,请将正确答案的序号直接填入答题卡中). 1.随着人们生活水平的提高,我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,下列汽车标志中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可. 【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项正确; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误; 故选:A. 【点评】本题考查了中心对称图形的知识,判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合. 2.解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0,用配方法可变形为(  ) A.(x﹣4)2=21 B.(x﹣4)2=11 C.(x+4)2=21 D.(x+4)2=11 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得. 【解答】解:∵x2﹣8x=5, ∴x2﹣8x+16=5+16,即(x﹣4)2=21, 故选:A. 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. 3.给出下列四个函数:①y=﹣x;②y=x;③y=x2,x<0时,y随x的增大而减小的函数有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】由正比例函数的性质可判断①、②,由二次函数的性质判断③,进而可求得答案. 【解答】解:①在y=﹣x中,k=﹣1<0,y随x的增大而减小, ②在y=x中,k=1>0,y随x的增大而增大, ③在y=x2中,抛物线开口向上,当x<0时,y随x的增大而减小, 则当x<0时,y随x的增大而减小的函数有①③, 故选:B. 【点评】本题主要考查正比例函数和二次函数的性质,掌握函数的增减性是解题的关键. 4.抛物线y=﹣(x+)2﹣3的顶点坐标是(  ) A.(,﹣3) B.(﹣,﹣3) C.(,3) D.(﹣,3) 【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标. 【解答】解:y=﹣(x+)2﹣3是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(﹣,﹣3). 故选:B. 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,关键是熟记:抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h. 5.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是 (  ) A.24 B.24或8 C.48 D.8 【分析】本题应先解出x的值,然后讨论是何种三角形,接着对图形进行分析,最后运用三角形的面积公式S=×底×高求出面积. 【解答】解:x2﹣16x+60=0?(x﹣6)(x﹣10)=0, ∴x=6或x=10. 当x=6时,该三角形为以6为腰,8为底的等腰三角形. ∴高h==2, ∴S△=×8×2=8; 当x=10时,该三角形为以6和8为直角边,10为斜边的直角三角形. ∴S△=×6×8=24. ∴S=24或8. 故选:B. 【点评】本题考查了三角形的三边关系. 看到此类题目时,学生常常会产生害怕心理,不知如何下手答题,因此我们会在解题时一步一步地计算,让学生能更好地解出此类题目. 6.设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值为(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2,根据一元二次方程的解的定义可得a2=2a+1,然后把a2+a+3b变形为3(a+b)+1,代入求值即可. 【解答】解:由题意知,a+b=2,a2﹣2a﹣1=0,即a2=2a+1, 则a2+a+3b=2a+1+a+3b=3(a+b)+1=3×2+1=7. 故选:C. 【点评】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解,难度适中,关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题. 7.如图,△ABC内接于⊙O,AB=BC,∠ABC=120°,AD为⊙O的直径,AD=6,那么弦AC的值为(  ) A.3 B.2 C.3 D.2 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠C=30°,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,根据直角三角形的性质求出AC的长即可. 【解答】解:∵AB=BC,∠ABC=120°, ∴∠C=30°, ∴∠D=30°, ∵AD为⊙O的直径, ∴∠ABD=90°, ∴AB=AD=3, 过B作BE⊥AC于E, ∴AC=2AE, ∵AB=BC, ∴∠BAE=∠C=30°, ∴AE=AB=, ∴AC=3, 故选:C. 【点评】本题考查的是圆周角定理、勾股定理和直角三角形的性质,掌握直径所对的圆周角是直角、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键. 8.如图,A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为(  ) A. B.2 C.2 D.4 【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,可得△OAB是等腰直角三角形,继而求得答案. 【解答】解:∵A、B、P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°, ∴∠AOB=2∠APB=90°, ∴△OAB是等腰直角三角形, ∴AB=OA=2. 故选:C. 【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用. 9.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(  ) A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根,结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论. 【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根, ∴,即, 解得:k<5且k≠1. 故选:B. 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键. 10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0;⑦方程ax2+bx+c=﹣4有实数解,正确的有(  ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案. 【解答】解:①由图象开口可知:a>0,c<0, ∵﹣>0, ∴b<0, ∴abc>0,故①正确; ②由图象可知:△>0, ∴b2﹣4ac>0, ∴b2>4ac,故②正确; ③抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(2,0), ∴抛物线的对称轴为:x==, ∴﹣<1, ∴2a+b>0, 故③正确; ④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于﹣2,故④错误; ⑤由③可知抛物线的对称轴为x=, ∴由图象可知:x<时,y随着x的增大而减小, 故⑤正确; ⑥由图象可知:x=1时,y<0, ∴a+b+c<0, 故⑥错误; ⑦由图象可知,顶点的纵坐标大于﹣4, ∴方程ax2+bx+c=﹣4无实数解, 故⑦错误; 故选:B. 【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分). 11.把方程3x(x﹣1)=(x+2)(x﹣2)+9化成ax2+bx+c=0的形式为 2x2﹣3x﹣5=0 . 【分析】方程整理为一般形式即可. 【解答】解:方程整理得:3x2﹣3x=x2﹣4+9, 即2x2﹣3x﹣5=0. 故答案为:2x2﹣3x﹣5=0. 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项. 12.若关于x的二次三项式x2﹣(m﹣1)x+16是完全平方式,则m= 9或﹣7 . 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值. 【解答】解:∵关于x的二次三项式x2﹣(m﹣1)x+16是完全平方式, ∴m﹣1=±8, 解得:m=9或m=﹣7, 故答案为:9或﹣7 【点评】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 13.若X为实数,且(x2+x)2﹣2(x2+x)﹣3=0,则x2+x= 3 . 【分析】设x2+x=y,则原方程可化为y2﹣2y﹣3=0,解得y的值即可. 【解答】解:设x2+x=y,则原方程可化为y2﹣2y﹣3=0, (y+1)(y﹣3)=0, 解得:y1=﹣1,y2=3, ∵x2+x=﹣1的方程无解, ∴x2+x=3, 故答案为3. 【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程,解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法. 14.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),则该抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3 . 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标,则可设交点式y=a(x+3)(x﹣1),然后把C点坐标代入求出a的值即可. 【解答】解:设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣1), 把C(0,3)代入得a?3?(﹣1)=3,解得a=﹣1, 所以抛物线解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1),即y=﹣x2﹣2x+3. 故答案为y=﹣x2﹣2x+3. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解. 15.如图,P是等边△ABC内一点,且PA=6,PC=8,PB=10,若△APB绕点A逆时针旋转60°后,得到△AP′C,则∠APC= 150 °. 【分析】连接PP′,根据旋转变换的性质可得△AP′C和△APB全等,根据全等三角形对应边相等可得P′A=PA,P′C=PB,然后证明△APP′是等边三角形,根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠APP′=60°,每一条边都相等可得PP′=PA,再根据勾股定理逆定理证明△P′PC是直角三角形,然后根据∠APC=∠APP′+∠P′PC代入数据进行计算即可得解. 【解答】解:如图,连接PP′, ∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C, ∴△AP′C≌△APB, ∴P′A=PA=6,P′C=PB=10, ∵旋转角是60°, ∴△APP′是等边三角形, ∴∠APP′=60°,PP′=PA=6, ∵PP′2+PC2=62+82=100,P′C2=PB2=102=100, ∴PP′2+PC2=P′C2, ∴△P′PC是以∠P′PC为直角的直角三角形, ∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°. 故答案为:150. 【点评】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理逆定理的应用,作辅助线构造出等边三角形与直角三角形是解题的关键. 16.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为 2 . 【分析】作OH⊥CD于H,连结OC,如图,根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD,再利用AP=2,BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OA﹣AP=2,接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1,然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=,所以CD=2CH=2. 【解答】解:作OH⊥CD于H,连结OC,如图, ∵OH⊥CD, ∴HC=HD, ∵AP=2,BP=6, ∴AB=8, ∴OA=4, ∴OP=OA﹣AP=2, 在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°, ∴∠POH=60°, ∴OH=OP=1, 在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1, ∴CH=, ∴CD=2CH=2. 故答案为:2 【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质. 三、计算、证明与解答(本大题共8小题,满分64分). 17.(6分)解下列方程 (1)x2﹣2x﹣1=0 (2)(x﹣1)2=(3﹣2x)2 【分析】(1)先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可; (2)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:(1)x2﹣2x﹣1=0, b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8, x=, x1=1+,x2=1﹣; (2)(x﹣1)2=(3﹣2x)2, 开方得:x﹣1=±(3﹣2x), 解得:x1=,x2=1. 【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解方程是解此题的关键. 18.(6分)已知关于x的一元二次方程:x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值. 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围; (2)根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2(m+1)、x1?x2=m2+5,结合m的取值范围即可得出x1>0、x2>0,再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18=0,解之即可得出m的值. 【解答】解:(1)∵方程x2﹣2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根, ∴△=[﹣2(m+1)]2﹣4(m2+5)=8m﹣16>0, 解得:m>2. (2)∵原方程的两个实数根为x1、x2, ∴x1+x2=2(m+1),x1?x2=m2+5. ∵m>2, ∴x1+x2=2(m+1)>0,x1?x2=m2+5>0, ∴x1>0、x2>0. ∵x12+x22=﹣2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2, ∴4(m+1)2﹣2(m2+5)=2(m+1)+2(m2+5),即6m﹣18=0, 解得:m=3. 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)根据方程有两个不相等的实数根找出△=8m﹣16>0;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2得出6m﹣18=0. 19.(6分)某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房定价每提高10元,就会有1个客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用,设每间客房的定价提高了x元. (1)填表(不需化简) 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后  60﹣   200+x   (60﹣)×20  (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客,则每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入﹣维护费用) 【分析】(1)住满为60间,x表示每个房间每天的定价增加量;定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,房间空闲个数为,入住量=60﹣房间空闲个数,列出代数式; (2)用:每天的房间收费=每间房实际定价×入住量,每间房实际定价=200+x,列出方程. 【解答】解:(1)∵增加10元,就有一个房间空闲,增加20元就有两个房间空闲,以此类推,空闲的房间为, ∴入住的房间数量=60﹣,房间价格是(200+x)元,总维护费用是(60﹣)×20. 故答案是:60﹣;200+x;(60﹣)×20; (2)依题意得:(200+x)(60﹣)﹣(60﹣)×20=14000, 整理,得 x2﹣420x+32000=0, 解得x1=320,x2=100. 当x=320时,有游客居住的客房数量是:60﹣=28(间). 当x=100时,有游客居住的客房数量是:60﹣=50(间). 所以当x=100时,能吸引更多的游客,则每个房间的定价为200+100=300(元). 答:每间客房的定价应为300元. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 20.(8分)如图,半径为5的⊙P与y轴交于点M(0,﹣4),N(0,﹣10) (1)求点P的坐标; (2)将⊙P绕点O顺时针方向旋转90°后得⊙A,交x轴于B、C,求过A、B、C三个点的抛物线的解析式. 【分析】(1)连接PM,PN,过点P作PE⊥y轴于点E,由点M,N的坐标可得出MN的长度,利用等腰三角形的三线合一可得出ME,OE的长度,在Rt△PEM中,利用勾股定理可得出PE的长度,结合OE的长度及点P所在的象限即可得出点P的坐标; (2)连接OP,OA,AB,AC(设点B在点C的右边),过点P作PE⊥y轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,根据旋转的性质可得出点A的坐标,在Rt△AFB中,利用勾股定理可得出BF的长度,进而可得出OB,OC的长,由OB,OC在x轴负半轴可得出点B,C的坐标,再由点A,B,C的坐标,利用待定系数法可求出过A,B,C三个点的抛物线的解析式. 【解答】解:(1)连接PM,PN,过点P作PE⊥y轴于点E,如图1所示. ∵PM=PN, ∴ME=NE. ∵点M(0,﹣4),N(0,﹣10), ∴OM=4,MN=﹣4﹣(﹣10)=6,ME=MN=3, ∴OE=OM+ME=7. 在Rt△PEM中,∠PEM=90°,PM=5,ME=3, ∴PE==4, ∴点P的坐标为(﹣4,﹣7). (2)连接OP,OA,AB,AC(设点B在点C的右边),过点P作PE⊥y轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,如图2所示. 根据旋转的性质,可知:OD=OE=7,AF=PE=4, ∴点A的坐标为(﹣7,4). 在Rt△AFB中,∠AFB=90°,AF=4,AB=5, ∴BF==3, ∴OB=OF﹣BF=4. 同理:CF=3,OC=OF+CF=10, ∴点B的坐标为(﹣4,0),点C的坐标为(﹣10,0). 设过A,B,C三个点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 将A(﹣7,4),B(﹣4,0),C(﹣10,0)代入y=ax2+bx+c,得: ,解得:, ∴过A,B,C三个点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x﹣. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性质以及待定系数法求二次函数解析式,解题的关键是:(1)利用勾股定理求出点P到y轴的距离;(2)利用旋转的性质及勾股定理,求出点A,B,C的坐标. 21.(8分)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E. (1)求证:DE=DB; (2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径. 【分析】(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,得出,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,证出∠DBC=∠BAE,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB; (2)由(1)得:,得出CD=BD=4,由圆周角定理得出BC是直径,∠BDC=90°,由勾股定理求出BC==4,即可得出△ABC外接圆的半径. 【解答】(1)证明:∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD, ∴, ∴∠DBC=∠CAD, ∴∠DBC=∠BAE, ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE, ∴∠DBE=∠DEB, ∴DE=DB; (2)解:连接CD,如图所示: 由(1)得:, ∴CD=BD=4, ∵∠BAC=90°, ∴BC是直径, ∴∠BDC=90°, ∴BC==4, ∴△ABC外接圆的半径=×4=2. 【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识;熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键. 22.(9分)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式; (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? 【分析】(1)当售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件,y=260﹣x,50≤x≤80,当如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件,y=420﹣3x,80<x<140, (2)由利润=(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式, (3)分别求出两个定义域内函数的最大值,然后作比较. 【解答】解:(1)当50≤x≤80时,y=210﹣(x﹣50),即y=260﹣x, 当80<x<140时,y=210﹣(80﹣50)﹣3(x﹣80),即y=420﹣3x. 则, (2)由利润=(售价﹣成本)×销售量可以列出函数关系式 w=﹣x2+300x﹣10400(50≤x≤80) w=﹣3x2+540x﹣16800(80<x<140), (3)当50≤x≤80时,w=﹣x2+300x﹣10400, 当x=80有最大值,最大值为7200, 当80<x<140时,w=﹣3x2+540x﹣16800, 当x=90时,有最大值,最大值为7500, 故售价定为90元.利润最大为7500元. 【点评】本题主要考查二次函数的应用,应用二次函数解决实际问题比较简单. 23.(9分)我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知: (1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”. ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=  BC; ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 4 . 猜想论证: (2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明. 【分析】(1)①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=AB′即可解决问题;②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题; (2)如图1中,延长AD到Q,使得AD=DQ,连接B′Q,C′Q,根据∠QB'A=∠BAC,QB'=AC'=AC,AB'=AB,即可得到△AQB'≌△BAC,即可解决问题. 【解答】解:(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC; 理由:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=AB′=AC′, ∵DB′=DC′, ∴AD⊥B′C′, ∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°, ∴∠B′AC′=120°, ∴∠B′=∠C′=30°, ∴AD=AB′=BC, 故答案为. ②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4. 理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°, ∴∠B′AC′=∠BAC=90°, ∵AB=AB′,AC=AC′, ∴△BAC≌△B′AC′, ∴BC=B′C′, ∵B′D=DC′, ∴AD=B′C′=BC=4, 故答案为4. (2)猜想. 证明:如图,延长AD至点Q,则△DQB'≌△DAC', ∴QB'=AC',QB'∥AC', ∴∠QB'A+∠B'AC'=180°, ∵∠BAC+∠B'AC'=180°, ∴∠QB'A=∠BAC, 又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB, ∴△AQB'≌△BCA, ∴AQ=BC=2AD, 即. 【点评】本题属于几何变换综合题,主要考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 24.(12分)如图,已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式; (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值; (3)若抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积,求M点坐标. (4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由. 【分析】(1)由点A,D的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式; (2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,连接BD,交抛物线的对称轴于点P,由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值,最小值为线段BD的长度,再由点B,D的坐标,利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值; (3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,设点M的坐标为(x,x2+2x﹣3),由△ABM的面积等于△ABC的面积可得出关于x的一元二次方程,解之即可求出点M的坐标; (4)设点Q的坐标为(﹣1,m),结合点B,C的坐标可得出CQ2,BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三种情况,找出关于m的一元二次(或一元一次)方程,解之即可得出点Q的坐标. 【解答】解:(1)将A(﹣3,0),D(﹣2,﹣3)代入y=x2+bx+c,得: ,解得:, ∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3. (2)当y=0时,x2+2x﹣3=0, 解得:x1=﹣3,x2=1, ∴点B的坐标为(1,0). 连接BD,交抛物线的对称轴于点P,如图1所示. ∵PA=PB, ∴此时PA+PD取最小值,最小值为线段BD的长度. ∵点B的坐标为(1,0),点D的坐标为(﹣2,﹣3), ∴BD==3, ∴PA+PD的最小值为3. (3)当x=0时,y=x2+2x﹣3=﹣3, ∴点C的坐标为(0,﹣3). 设点M的坐标为(x,x2+2x﹣3). ∵S△ABM=S△ABC, ∴|x2+2x﹣3|=3,即x2+2x﹣6=0或x2+2x=0, 解得:x1=﹣1﹣,x2=﹣1+,x3=﹣2,x4=0(舍去), ∴点M的坐标为(﹣1﹣,3),(﹣1+,3),(﹣2,﹣3). (4)设点Q的坐标为(﹣1,m). ∵点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,﹣3), ∴CQ2=(﹣1﹣0)2+[m﹣(﹣3)]2=m2+6m+10,BQ2=(﹣1﹣1)2+(m﹣0)2=m2+4,BC2=(0﹣1)2+(﹣3﹣0)2=10. 分三种情况考虑(如图2所示): ①当BQ=BC时,m2+4=10, 解得:m1=,m2=﹣, ∴点Q1的坐标为(﹣1,),点Q2的坐标为(﹣1,﹣); ②当CQ=CB时,m2+6m+10=10, 解得:m3=0,m4=﹣6, ∴点Q3的坐标为(﹣1,0),点Q4的坐标为(﹣1,﹣6); ③当QB=QC时,m2+4=m2+6m+10, 解得:m5=﹣1, ∴点Q5的坐标为(﹣1,﹣1). 综上所述:抛物线的对称轴上存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形,点Q的坐标为(﹣1,),(﹣1,﹣),(﹣1,0),(﹣1,﹣6),(﹣1,﹣1). 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离公式、三角形的面积、等腰三角形的性质以及解一元二次(或一元一次)方程,解题的关键是:(1)由点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)利用两点之间线段最短,找出点P的位置;(3)利用两三角形面积相等,找出关于x的一元二次方程;(4)分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三种情况,找出关于m的方程.

  • ID:3-5386166 2018-2019学年河南省三门峡市西部协作区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2018-2019学年河南省三门峡市西部协作区九年级(上)期中数学试卷 一.选择题(共10小题,30分) 1.如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根,则常数k的值为(  ) A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 2.下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  ) A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19 4.已知α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则α+β﹣αβ的值是(  ) A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3 5.学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛.根据题意,下面所列方程正确的是(  ) A.x2=21 B. x(x﹣1)=21 C. x2=21 D.x(x﹣1)=21 6.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(  ) A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1 7.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为(  ) A.(﹣3,﹣3) B.(﹣2,﹣2) C.(﹣1,﹣3) D.(0,﹣6) 8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位,再向上平移两个单位,得到的抛物线的解析式是(  ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2 9.如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  ) A.55° B.65° C.75° D.85° 10.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=(  ) A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 二.填空题(共5小题,15分) 11.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是   . 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,若点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴为直线x=2,则线段AB的长为   . 13.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,∠BAC=90°,将△ABE绕点A顺时针旋转   可以到△ADC处. 14.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=   度. 15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中: ①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b, 正确的结论是   (只填序号) 三.解答题(共8小题,75分) 16.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=25°,求∠BAD的度数. 17.(8分)解方程: (1)x2=x+56 (2)(2x﹣5)2﹣2x+5=0. 18.(9分)已知抛物线y=x2+bx﹣3经过点(2,﹣3) (1)求这条抛物线的解析式; (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 19.(9分)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF. (1)求证:△ADE≌△ABF; (2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心    点,按顺时针方向旋转    度得到; (3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积. 20.(9分)如图,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB. (1)线段DC=   ; (2)求线段DB的长度. 21.(10分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元. 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测4月份该公司的生产成本. 22.(10分)某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元. (1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围) (2)A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大? 23.(12分)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值? (3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 2018-2019学年河南省三门峡市西部协作区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,30分) 1.如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根,则常数k的值为(  ) A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程,通过解方程来求k的值. 【解答】解:∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根, ∴22﹣3×2+k=0, 解得,k=2. 故选:B. 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立. 2.下列“数字图形”中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可. 【解答】解:第一个图形不是轴对称图形,是中心对称图形; 第二、三、四个图形是轴对称图形,也是中心对称图形; 故选:C. 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 3.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  ) A.(x+3)2=1 B.(x﹣3)2=1 C.(x+3)2=19 D.(x﹣3)2=19 【分析】方程移项变形后,利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断. 【解答】解:方程移项得:x2﹣6x=10, 配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19, 故选:D. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 4.已知α,β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则α+β﹣αβ的值是(  ) A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3 【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1,αβ=﹣2,求出α+β和αβ的值,再把要求的式子进行整理,即可得出答案. 【解答】解:∵α,β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根, ∴α+β=﹣1,αβ=﹣2, ∴α+β﹣αβ=﹣1+2=1, 故选:B. 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数关系的公式是关键. 5.学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛.根据题意,下面所列方程正确的是(  ) A.x2=21 B. x(x﹣1)=21 C. x2=21 D.x(x﹣1)=21 【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),x个球队比赛总场数=.即可列方程. 【解答】解:设有x个队,每个队都要赛(x﹣1)场,但两队之间只有一场比赛,由题意得: x(x﹣1)=21, 故选:B. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是读懂题意,得到总场数的等量关系. 6.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(  ) A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1 【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x的增大而增大. 【解答】解:∵a=﹣1<0, ∴二次函数图象开口向下, 又对称轴是直线x=1, ∴当x<1时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大增大. 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质:当a<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=﹣,在对称轴左边,y随x的增大而增大. 7.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为(  ) A.(﹣3,﹣3) B.(﹣2,﹣2) C.(﹣1,﹣3) D.(0,﹣6) 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴,然后解答即可. 【解答】解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3,相等, ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2, ∴顶点坐标为(﹣2,﹣2). 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键. 8.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位,再向上平移两个单位,得到的抛物线的解析式是(  ) A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2 【分析】根据二次函数的解析式平移的规律:左加右减,上加下减进行解答即可. 【解答】解:函数y=x2﹣4向右平移2个单位,得:y=(x﹣2)2﹣4; 再向上平移2个单位,得:y=(x﹣2)2﹣4+2,即y=(x﹣2)2﹣2; 故选:B. 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换,熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减的规律是解答此题的关键. 9.如图,已知钝角三角形ABC,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为(  ) A.55° B.65° C.75° D.85° 【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=110°,AB=AB′,根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=35°,再根据平行线的性质得出∠C′AB′=∠AB′B=35°,然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案. 【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′, ∴∠BAB′=∠CAC′=110°,AB=AB′, ∴∠AB′B=(180°﹣110°)=35°, ∵AC′∥BB′, ∴∠C′AB′=∠AB′B=35°, ∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=110°﹣35°=75°. 故选:C. 【点评】此题考查了旋转的性质:掌握旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键. 10.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=(  ) A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 【分析】根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度. 【解答】解:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm, ∴CE=CD=4cm. 在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm, ∴OE==3cm, ∴AE=AO+OE=5+3=8cm. 故选:A. 【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理,利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键. 二.填空题(共5小题,15分) 11.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0,则k的值是 0 . 【分析】由于方程的一个根是0,把x=0代入方程,求出k的值.因为方程是关于x的二次方程,所以未知数的二次项系数不能是0. 【解答】解:由于关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0, 把x=0代入方程,得k2﹣k=0, 解得,k1=1,k2=0 当k=1时,由于二次项系数k﹣1=0, 方程(k﹣1)x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程,故k≠1. 所以k的值是0. 故答案为:0 【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义.解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值,过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件. 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,若点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴为直线x=2,则线段AB的长为 8 . 【分析】由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,交x轴于A、B两点,其中A点的坐标为(﹣2,0),根据二次函数的对称性,求得B点的坐标,再求出AB的长度. 【解答】解:∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点, ∴A、B两点关于直线x=2对称, ∵点A的坐标为(﹣2,0), ∴点B的坐标为(6,0), AB=6﹣(﹣2)=8. 故答案为:8. 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点.此题难度不大,解题的关键是求出B点的坐标. 13.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,∠BAC=90°,将△ABE绕点A顺时针旋转 60° 可以到△ADC处. 【分析】根据等边三角形性质得出∠DAB、∠EAC的度数,再根据旋转的性质结合图形得结论. 【解答】解:∵△ABD、△AEC都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60°,AD=AB,AE=AC, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE ∴△ADC≌△ABE ∴将△ABE绕点A顺时针旋转∠EAC=60°可得△ABE. 故答案为:60° 【点评】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质,主要考查学生的分析问题和解决问题的能力,也培养了学生的观察图形的能力和空间想象能力. 14.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC= 100 度. 【分析】先求出∠AEC,再用圆内接四边形的性质即可得出结论. 【解答】解:如图, 连接AE, ∵点D是的中点, ∴∠AED=∠CED, ∵∠CED=40°, ∴∠AEC=2∠CED=80°, ∵四边形ADCE是圆内接四边形, ∴∠ADC+∠AEC=180°, ∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°, 故答案为:100. 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质,同圆中,等弧所对的圆周角相等,解本题的关键是作出辅助线. 15.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中: ①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b, 正确的结论是 ②③④ (只填序号) 【分析】根据抛物线开口方向,对称轴为直线x=﹣1,与y轴的交点,可得abc>0,则可判断①,根据图象可得x=﹣3时y<0,代入解析式可判断②,根据抛物线与x轴的交点个数可判断③.根据a﹣b=﹣a>0,可判断④ 【解答】解:∵抛物线开口向下 ∴a<0, ∵对称轴为x=﹣1 ∴=﹣1 ∴b=2a<0, ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴 ∴c>0 ∴abc>0故①错误 ∵由图象得x=﹣3时y<0 ∴9a﹣3b+c<0 故②正确, ∵图象与x轴有两个交点 ∴△=b2﹣4ac>0 故③正确 ∵a﹣b=a﹣2a=﹣a>0 ∴a>b故④正确 故答案为②③④ 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点;同时运用对称性并与图形相结合进行判断 三.解答题(共8小题,75分) 16.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=25°,求∠BAD的度数. 【分析】根据直径所对的圆周角是直角,构造直角三角形ABD,再根据同弧所对的圆周角相等,求得∠B的度数,即可求得∠BAD的度数. 【解答】解:∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB=90° ∵相同的弧所对应的圆周角相等,且∠ACD=25° ∴∠B=25° ∴∠BAD=90°﹣∠B=65°. 【点评】考查了圆周角定理的推论.利用直径所对的圆周角是直角是解题关键. 17.(8分)解方程: (1)x2=x+56 (2)(2x﹣5)2﹣2x+5=0. 【分析】(1)利用十字相乘法解方程; (2)利用提公因式法解方程. 【解答】解:(1)x2=x+56 x2﹣x﹣56=0 (x﹣8)(x+7)=0 x﹣8=0或x+7=0 x1=8,x2=﹣7; (2)(2x﹣5)2﹣2x+5=0 (2x﹣5)2﹣(2x﹣5)=0 (2x﹣5)(2x﹣5﹣1)=0 (2x﹣5)(2x﹣6)=0 2x﹣5=0或2x﹣6=0 x1=,x2=3. 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法,掌握十字相乘法、提公因式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键. 18.(9分)已知抛物线y=x2+bx﹣3经过点(2,﹣3) (1)求这条抛物线的解析式; (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【分析】(1)把(2,﹣3)代入y=x2+bx﹣3可得到关于b的一元一次方程,解方程求得b的值,即可写出二次函数解析式; (2)根据a的值可确定开口方向,并将抛物线的解析式配方后可得对称轴和顶点坐标. 【解答】解:(1)把(2,﹣3)代入y=x2+bx﹣3, 得:4+2b﹣3=﹣3,解得:b=﹣2; 则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3; (2)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∵a=1>0, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣4). 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴,属于基础题. 19.(9分)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF. (1)求证:△ADE≌△ABF; (2)填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A  点,按顺时针方向旋转 90  度得到; (3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积. 【分析】(1)根据正方形的性质得AD=AB,∠D=∠ABC=90°,然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF; (2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,则∠BAF+∠BAE=90°,即∠FAE=90°,根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90 度得到; (3)先利用勾股定理可计算出AE=10,再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF,∠EAF=90°,然后根据直角三角形的面积公式计算即可. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°, 而F是CB的延长线上的点, ∴∠ABF=90°, 在△ADE和△ABF中 , ∴△ADE≌△ABF(SAS); (2)解:∵△ADE≌△ABF, ∴∠BAF=∠DAE, 而∠DAE+∠EAB=90°, ∴∠BAF+∠EAB=90°,即∠FAE=90°, ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90 度得到; 故答案为A、90; (3)解:∵BC=8, ∴AD=8, 在Rt△ADE中,DE=6,AD=8, ∴AE==10, ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90 度得到, ∴AE=AF,∠EAF=90°, ∴△AEF的面积=AE2=×100=50(平方单位). 【点评】本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理. 20.(9分)如图,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB. (1)线段DC= 4 ; (2)求线段DB的长度. 【分析】(1)证明△ACD是等边三角形,据此求解; (2)作DE⊥BC于点E,首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长,然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解. 【解答】解:(1)∵AC=AD,∠CAD=60°, ∴△ACD是等边三角形, ∴DC=AC=4. 故答案是:4; (2)作DE⊥BC于点E. ∵△ACD是等边三角形, ∴∠ACD=60°, 又∵AC⊥BC, ∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°, ∴Rt△CDE中,DE=DC=2, CE=DC?cos30°=4×=2, ∴BE=BC﹣CE=3﹣2=. ∴Rt△BDE中,BD===. 【点评】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用,正确作出辅助线,转化为直角三角形的计算是关键. 21.(10分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元. 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测4月份该公司的生产成本. 【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论; (2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论. 【解答】解:(1)设每个月生产成本的下降率为x, 根据题意得:400(1﹣x)2=361, 解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去). 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1﹣5%)=342.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算. 22.(10分)某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元. (1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围) (2)A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大? 【分析】(1)根据题意可以得到y与x的函数关系式; (2)根据(1)中的函数关系式,然后化为顶点式即可解答本题. 【解答】解:(1)由题意得,商品每件降价x元时单价为(100﹣x)元,销售量为(128+8x)件, 则y=(128+8x)(100﹣x﹣80)=﹣8x2+32x+2560, 即y与x之间的函数解析式是y=﹣8x2+32x+2560; (2)∵y=﹣8x2+32x+2560=﹣8(x﹣2)2+2592, ∴当x=2时,y取得最大值,此时y=2592, ∴销售单价为:100﹣2=98(元), 答:A商品销售单价为98元时,该商场每天通过A商品所获的利润最大. 【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答. 23.(12分)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值? (3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 【分析】(1)待定系数法求解可得; (2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,设P(t,﹣ t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得; (3)若△PDE为等腰直角三角形,则PD=PE,设点P的横坐标为a,表示出PD、PE的长,列出关于a的方程,解之可得答案. 【解答】解:(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0), ∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2), 将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6, 解得:a=﹣, 所以抛物线解析式为y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6; (2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G, 设直线AB解析式为y=kx+b, 将点A(0,6)、B(6,0)代入,得: , 解得:, 则直线AB解析式为y=﹣x+6, 设P(t,﹣ t2+2t+6)其中0<t<6, 则N(t,﹣t+6), ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t, ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?(AG+BM) =PN?OB =×(﹣t2+3t)×6 =﹣t2+9t =﹣(t﹣3)2+, ∴当t=3时,P位于(3,)时,△PAB的面积有最大值; 方法二:如图2,连接OP,作PH⊥x轴于点H,作PG⊥y轴于点G, 设P(t,﹣ t2+2t+6)其中0<t<6, 则PH=﹣t2+2t+6,PG=t, S△PAB=S△PAO+S△PBO﹣S△ABO =×6×t+×6×(﹣t2+2t+6)﹣×6×6 =﹣t2+9t =﹣(t﹣3)2+, ∴当t=3时,即P位于(3,)时,△PAB的面积有最大值 (3)如图3, 若△PDE为等腰直角三角形, 则PD=PE, 设点P的横坐标为a,点E的横坐标为b, ∴PD=﹣a2+2a+6﹣(﹣a+6)=﹣a2+3a,=﹣, 则b=4﹣a, ∴PE=|a﹣(4﹣a)|=|2a﹣4|=2|2﹣a|, ∴﹣a2+3a=2|2﹣a|, 解得:a=4或a=5﹣, 所以P(4,6)或P(5﹣,3﹣5). 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点.

  • ID:3-5386164 2018-2019学年河南省安阳市内黄县五校联考九年级(上)期中数学试卷(解析版)

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2018-2019学年河南省安阳市内黄县五校联考九年级(上)期中数学试卷 一、精心选一选(每小题3分,共30分) 1.下列图形中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 2.方程x2﹣2x=0的根是(  ) A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣2 3.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是(  ) A.直线x=1 B.直线x=﹣1 C.直线x=﹣2 D.直线x=2 4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,若∠A=36°,则∠OBC的度数为(  ) A.18° B.36° C.60° D.54° 5.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为(  ) A.30° B.40° C.50° D.60° 6.如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(  ) A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1 C.当x=﹣1时,y的值大于1 D.当x=﹣3时,y的值小于0 7.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是(  ) A. B. C. D. 8.下列事件中是必然发生的事件是(  ) A.打开电视机,正播放新闻 B.通过长期努力学习,你会成为数学家 C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌,花色是红桃 D.某校在同一年出生的有367名学生,则至少有两人的生日是同一天 9.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  ) A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是(  ) A.2﹣π B.4﹣π C.2﹣π D.π 二、耐心填一填(每小题3分,共15分) 11.关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1,则它的另一个根为   . 12.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为   . 13.若一个圆锥的底面圆半径为3cm,其侧面展开图的圆心角为120°,则圆锥的母线长是   cm. 14.如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为   . 15.如图所示,在边长为3的正方形ABCD中,⊙O1与⊙O2外切,且⊙O1分别于DA、DC边外切,⊙O2分别与BA、BC边外切,则圆心距,O1O2为   . 三、用心做一做(本大题共8个小题,共75分) 16.(8分)用适当的方法解下列一元二次方程: (1)x(x﹣2)+x﹣2=0 (2)(y+2)2﹣(3y﹣1)2=0 17.(9分)有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为﹣2,0,1时,相应的输出值分别为5,﹣3,﹣4. (1)求此二次函数的解析式; (2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 18.(9分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于点E,△BEA旋转后能与△DFA重合. (1)哪一点是旋转中心? (2)旋转了多少度? (3)若AE=5cm,求四边形AECF的面积. 19.(9分)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭,发现其中10个家庭有子女参加中考. (1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭的频率是多少? (2)如果你随机调查一个家庭,估计该家庭有子女参加中考的概率是多少? (3)已知淮安市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考? 20.(10分)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答: (1)商场日销售量增加   件,每件商品盈利   元(用含x的代数式表示); (2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元? 21.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D. (1)求证:BC是⊙O切线; (2)若BD=5,DC=3,求AC的长. 22.(11分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1,0),B(x2,0). (1)求证:抛物线总与x轴有两个不同的交点; (2)若AB=2,求此抛物线的解析式. (3)已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与线段CD有交点,请写出m的取值范围. 2018-2019学年河南省安阳市内黄县五校联考九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选(每小题3分,共30分) 1.下列图形中,是中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心可得答案. 【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项错误; B、不是中心对称图形,故此选项错误; C、是中心对称图形,故此选项正确; D、不是中心对称图形,故此选项错误; 故选:C. 【点评】此题主要考查了中心对称图形,关键是掌握中心对称图形的概念. 2.方程x2﹣2x=0的根是(  ) A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣2 【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案. 【解答】解:x2﹣2x=0 x(x﹣2)=0, 解得:x1=0,x2=2. 故选:C. 【点评】此题主要考查了因式分解法解方程,正确分解因式是解题关键. 3.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是(  ) A.直线x=1 B.直线x=﹣1 C.直线x=﹣2 D.直线x=2 【分析】先把一般式化为顶点式,然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程. 【解答】解:∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的性质:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的顶点坐标是(﹣,),对称轴为直线x=﹣. 4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上,若∠A=36°,则∠OBC的度数为(  ) A.18° B.36° C.60° D.54° 【分析】先利用圆周角定理得到BOC=2∠A=72°,然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OBC的度数. 【解答】解:∵∠A=36°, ∴∠BOC=2∠A=72°, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OBC=(180°﹣72°)=54°. 故选:D. 【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 5.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为(  ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【分析】根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°,再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数,此题得解. 【解答】解:根据旋转的性质,可得:AB=AD,∠BAD=100°, ∴∠B=∠ADB=×(180°﹣100°)=40°. 故选:B. 【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质,根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键. 6.如图,二次函数的图象经过(﹣2,﹣1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是(  ) A.y的最大值小于0 B.当x=0时,y的值大于1 C.当x=﹣1时,y的值大于1 D.当x=﹣3时,y的值小于0 【分析】根据图象的对称轴的位置、增减性及开口方向直接回答. 【解答】解:A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;故本选项错误; B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;故本选项错误; C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵﹣1<1,∴x=﹣1时,y的值小于x=1时,y的值1,即当x=﹣1时,y的值小于1;故本选项错误; D、当x=﹣3时,函数图象上的点在点(﹣2,﹣1)的左边,所以y的值小于0;故本选项正确. 故选:D. 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征.解答此题时,需熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x轴的交点等知识. 7.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,ab>0,即a、b同号,分a>0与a<0两种情况讨论,分析选项可得答案. 【解答】解:根据题意,ab>0,即a、b同号, 当a>0时,b>0,y=ax2与开口向上,过原点,y=ax+b过一、二、三象限; 此时,没有选项符合, 当a<0时,b<0,y=ax2与开口向下,过原点,y=ax+b过二、三、四象限; 此时,D选项符合, 故选:D. 【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质,要求学生理解系数与图象的关系. 8.下列事件中是必然发生的事件是(  ) A.打开电视机,正播放新闻 B.通过长期努力学习,你会成为数学家 C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌,花色是红桃 D.某校在同一年出生的有367名学生,则至少有两人的生日是同一天 【分析】必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件. 【解答】解:A、B、C选项可能发生,也可能不发生,是随机事件.故不符合题意; D、是必然事件. 故选:D. 【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解; 解决此类问题,要学会关注身边的事物,并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题,提高自身的数学素养. 9.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足(  ) A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,那么分两种情况:(1)当a﹣5=0时,方程一定有实数根;(2)当a﹣5≠0时,方程成为一元二次方程,利用判别式即可求出a的取值范围. 【解答】解:分类讨论: ①当a﹣5=0即a=5时,方程变为﹣4x﹣1=0,此时方程一定有实数根; ②当a﹣5≠0即a≠5时, ∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根 ∴16+4(a﹣5)≥0, ∴a≥1. ∴a的取值范围为a≥1. 故选:A. 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根;切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件. 10.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是(  ) A.2﹣π B.4﹣π C.2﹣π D.π 【分析】根据点D为AB的中点可知BC=BD=AB,故可得出∠A=30°,∠B=60°,再由锐角三角函数的定义求出BC的长,根据S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD即可得出结论. 【解答】解:∵D为AB的中点, ∴BC=BD=AB, ∴∠A=30°,∠B=60°. ∵AC=2, ∴BC=AC?tan30°=2?=2, ∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π. 故选:A. 【点评】本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式及直角三角形的性质是解答此题的关键. 二、耐心填一填(每小题3分,共15分) 11.关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1,则它的另一个根为  . 【分析】设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得到1?t=,然后解关于t的方程即可. 【解答】解:设方程的另一个根为t, 根据题意得1?t=,解得t=. 故答案为. 【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=. 12.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为 ﹣4 . 【分析】设y=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,利用根与系数的关系即可求出+的值. 【解答】解: 设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0, ∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2, ∴x1+x2=﹣=2,x1,?x2=﹣, ∴+==﹣4, 故答案为:﹣4. 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键. 13.若一个圆锥的底面圆半径为3cm,其侧面展开图的圆心角为120°,则圆锥的母线长是 9 cm. 【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解. 【解答】解:设母线长为l,则=2π×3 解得:l=9. 故答案为:9. 【点评】考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长. 14.如图,在△ACB中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1,则阴影部分的面积为 π . 【分析】根据旋转的性质可知,由此可得S阴影=,根据扇形面积公式即可得出结论. 【解答】解:∵, ∴S阴影==πAB2=π. 故答案为:π. 【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,解题的关键是找出S阴影=.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键. 15.如图所示,在边长为3的正方形ABCD中,⊙O1与⊙O2外切,且⊙O1分别于DA、DC边外切,⊙O2分别与BA、BC边外切,则圆心距,O1O2为  . 【分析】通过作辅助线构造直角三角形用勾股定理作为相等关系列方程求解. 【解答】解:如图所示,过点O1作O1F⊥CD交CD于点F,过点O2作O2E⊥AB于点E. 设⊙O1半径x,⊙O2半径y, ∵O1在∠ADC的平分线上;O2在∠ABC平分线上,而BD为正方形对角线,平分对角, ∴O1O2 在BD上, ∴∠ADB=∠DBA=45°, ∴DO1=x,BO2=y 则 DB=DO1+O1O2+O2B=x+y+(x+y)=3 解得x+y==6﹣3. 故答案为:6﹣3. 【点评】主要考查了相切两圆中的有关计算问题.解题方法主要是利用正方形的性质构造直角三角形,用勾股定理作为相等关系列方程求解. 三、用心做一做(本大题共8个小题,共75分) 16.(8分)用适当的方法解下列一元二次方程: (1)x(x﹣2)+x﹣2=0 (2)(y+2)2﹣(3y﹣1)2=0 【分析】(1)根据因式分解法解答即可; (2)根据因式分解法解答即可. 【解答】解:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0, (x﹣2)(x+1)=0, x﹣2=0或x+1=0, ∴x1=2 x2=﹣1; (2)(y+2)2﹣(3y﹣1)2=0, (y+2+3y﹣1)(y+2﹣3y+1)=0, (4y+1)(﹣2y+3)=0, ∴4y+1=0或﹣2y+3=0, ∴y1=﹣,y2=. 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键. 17.(9分)有一个运算装置,当输入值为x时,其输出值为y,且y是x的二次函数,已知输入值为﹣2,0,1时,相应的输出值分别为5,﹣3,﹣4. (1)求此二次函数的解析式; (2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. 【分析】(1)把三个点的坐标代入二次函数根据待定系数法求出函数的解析式即可; (2)函数值为正数,即是二次函数与与x轴的交点的上方的函数图象所对应的x的值. 【解答】解:(1)设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 把(﹣2,5)(0,﹣3)(1,﹣4)代入得 即 解得 故所求的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;(4分) (2)函数图象如图所示,(7分) 由图象可得,当输出值y为正数时, 输入值x的取值范围是x<﹣1或x>3.(8分) 【点评】本题考查二次函数的基本性质及用待定系数法求函数解析式. 18.(9分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于点E,△BEA旋转后能与△DFA重合. (1)哪一点是旋转中心? (2)旋转了多少度? (3)若AE=5cm,求四边形AECF的面积. 【分析】由已知:△BEA旋转后能与△DFA重合可得,旋转中心,旋转角;由旋转前后三角形全等的性质,可证明四边形AECF是正方形. 【解答】解:观察:由△BEA到△DFA的旋转过程可知, (1)A点; (2)旋转了90度或270度; (3)由旋转的性质可知,AE=AF,∠F=∠AEB=∠AEC=∠C=90°; ∴四边形AECF是正方形:四边形AECF的面积=AE2=25cm2. 【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变. 19.(9分)为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考,小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭,发现其中10个家庭有子女参加中考. (1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭的频率是多少? (2)如果你随机调查一个家庭,估计该家庭有子女参加中考的概率是多少? (3)已知淮安市约有1.3×106个家庭,假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生,请你估计今年全市有多少名考生参加中考? 【分析】先求出参加中考学生的频率,由于家庭较多,可用求出的频率估计概率. 【解答】解:(1)本次抽查的200个家庭中,有子女参加中考的家庭的频率是=; (2)该家庭有子女参加中考的概率是; (3)今年全市有1.3×106×=6.5×104名考生参加中考. 【点评】考查利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.部分的具体数目=总体数目×相应频率. 20.(10分)商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元.据此规律,请回答: (1)商场日销售量增加 2x 件,每件商品盈利 (50﹣x) 元(用含x的代数式表示); (2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元? 【分析】(1)降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数; (2)等量关系为:每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100,把相关数值代入计算得到合适的解即可. 【解答】解:(1)降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50﹣x,故答案为2x;50﹣x; (2)由题意得:(50﹣x)(30+2x)=2100(0≤x<50) 化简得:x2﹣35x+300=0,即(x﹣15)(x﹣20)=0, 解得:x1=15,x2=20 ∵该商场为了尽快减少库存, ∴降的越多,越吸引顾客, ∴选x=20, 答:每件商品降价20元,商场日盈利可达2100元. 【点评】考查一元二次方程的应用;得到可卖出商品数量是解决本题的易错点;得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键. 21.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D. (1)求证:BC是⊙O切线; (2)若BD=5,DC=3,求AC的长. 【分析】(1)要证BC是⊙O的切线,只要连接OD,再证OD⊥BC即可. (2)过点D作DE⊥AB,根据角平分线的性质可知CD=DE=3,由勾股定理得到BE的长,再通过证明△BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质得出AC的长. 【解答】(1)证明:连接OD; ∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠1=∠3. ∵OA=OD, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴OD∥AC. ∴∠ODB=∠ACB=90°. ∴OD⊥BC. ∴BC是⊙O切线. (2)解:过点D作DE⊥AB, ∵AD是∠BAC的平分线, ∴CD=DE=3. 在Rt△BDE中,∠BED=90°, 由勾股定理得:BE==4, ∵∠BED=∠ACB=90°,∠B=∠B, ∴△BDE∽△BAC. ∴. ∴. ∴AC=6. 【点评】本题综合性较强,既考查了切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了角平分线的性质,勾股定理得到BE的长,及相似三角形的性质. 22.(11分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与x轴的交点分别为A(x1,0),B(x2,0). (1)求证:抛物线总与x轴有两个不同的交点; (2)若AB=2,求此抛物线的解析式. (3)已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1(m>0)与线段CD有交点,请写出m的取值范围. 【分析】(1)证明△>0即可; (2)利用抛物线与x轴的交点问题,则x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根,利用根与系数的关系得到x1+x2=8,x1?x2=,再变形|x1﹣x2|=2得到(x1+x2)2﹣4x1?x2=4,所以82﹣4?=4,然后解出m即可得到抛物线解析式; (3)先求出抛物线的对称轴为直线x=4,利用函数图象,由于抛物线开口向上,则只要当x=2,y≥0时,抛物线与线段CD有交点,于是得到4m﹣16m+16m﹣1≥0,然后解不等式即可. 【解答】(1)证明:△=64m2﹣4m?(16m﹣1) =4m, ∵m>0, ∴△>0, ∴抛物线总与x轴有两个不同的交点; (2)根据题意,x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1=0的两根, ∴x1+x2==8,x1?x2=, ∵|x1﹣x2|=2, ∴(x1+x2)2﹣4x1?x2=4, ∴82﹣4?=4, ∴m=1, ∴抛物线的解析式为y=x2﹣8x+15; 解法二:据对称轴为直线x=4,可得与x交点(3,0),(5,0)任意代入即可m=1; (3)抛物线的对称轴为直线x==4, ∵抛物线开口向上, ∴当x=2,y≥0时,抛物线与线段CD有交点, ∴4m﹣16m+16m﹣1≥0, ∴m≥. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了根与系数的关系.

  • ID:3-5386162 2018-2019学年河南省安阳市林州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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    2018-2019学年河南省安阳市林州市九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为(  ) A.(y+)2=1 B.(y﹣)2=1 C.(y+)2= D.(y﹣)2= 2.下列图形中是轴对称图形,而不是中心对称图形的是(  ) A.等腰梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 3.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是(  ) A.30° B.40° C.50° D.60° 4.一元二次方程x2﹣x﹣3=0的根的情况为(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5.如图,AB,CD是⊙O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是(  ) A.32° B.60° C.68° D.64° 6.已知⊙O的半径为5,直线l是⊙O的切线,则点O到直线l的距离是(  ) A.2.5 B.3 C.5 D.10 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是(  ) A.ac>0 B.当x>1时,y随x的增大而增大 C.2a+b=1 D.方程ax2+bx+c=0有一个根是x=3 8.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,=,OD∥AC,下列结论错误的是(  ) A.∠BOD=∠BAC B.∠BOD=∠COD C.∠BAD=∠CAD D.∠C=∠D 9.如图,l1与l2交于点P,l2与l3交于点Q,∠l=104°,∠2=87°,要使得l1∥l2,下列操作正确的是(  ) A.将l1绕点P逆时针旋转14° B.将l1绕点P逆时针旋转17° C.将l2绕点Q顒时针旋转11° D.将l2绕点Q顺时针旋转14° 10.已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(  ) A. B. C. D. 二、填空题.(每小题3分,共15分) 11.方程x2﹣3x=0的解是   . 12.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为   . 13.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,若以点A为圆心,以4为半径作⊙A,则点A,点B,点C,点D四点中在⊙A外的是   . 14.已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是   . 15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,点D在边BC上,BD=2CD,把△ABC绕点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,则m=   . 三、解答题(本大题共7题,满分75分) 16.(8分)(1)2x2﹣5x﹣1=0; (2)6x2﹣3x﹣1=2x﹣2 17.(9分)已知:关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)当k取最大整数值时,用合适的方法求该方程的解. 18.(9分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点A(﹣2,2),B(0,5),C(0,2). (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,得到△A1B1C,请画出△A1B1C的图形. (2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(﹣2,﹣6),请画出平移后对应的△A2B2C2的图形. (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标. 19.(9分)已知二次函数y=﹣x2+2x+m. (1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围; (2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标. (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 20.(9分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C. (1)如图1,当AB∥CB'时,设A'B'与CB相交于点D,求证:△A'CD是等边三角形. (2)若E为AC的中点,P为A'B'的中点,则EP的最大值是多少,这时旋转角θ为多少度. 21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点. (1)求证:AB是⊙O的直径; (2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明; (3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长. 22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是∠QED的平分线; (2)EF2=BE2+DF2. 23.(11分)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)求C、D两点坐标及△BCD的面积; (3)若点P在x轴上方的抛物线上,满足S△PCD=S△BCD,求点P的坐标. 2018-2019学年河南省安阳市林州市九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为(  ) A.(y+)2=1 B.(y﹣)2=1 C.(y+)2= D.(y﹣)2= 【分析】根据配方法即可求出答案. 【解答】解:y2﹣y﹣=0 y2﹣y= y2﹣y+=1 (y﹣)2=1 故选:B. 【点评】本题考查一元二次方程的配方法,解题的关键是熟练运用配方法,本题属于基础题型. 2.下列图形中是轴对称图形,而不是中心对称图形的是(  ) A.等腰梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 【分析】首先要熟悉各种图形的性质,然后根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、只是轴对称图形,不是中心对称图形,符合题意; B和D、既是轴对称图形又是中心对称的图形,不符合题意; C、只是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意. 故选:A. 【点评】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度与原图重合. 3.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=100°,那么∠ACB的度数是(  ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【分析】根据图形,利用圆周角定理求出所求角度数即可. 【解答】解:∵∠AOB与∠ACB都对,且∠AOB=100°, ∴∠ACB=∠AOB=50°, 故选:C. 【点评】此题考查了圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键. 4.一元二次方程x2﹣x﹣3=0的根的情况为(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=13>0,进而可找出该方程有两个不相等的实数根. 【解答】解:∵△=(﹣1)2﹣4×1×(﹣3)=13>0, ∴该方程有两个不相等的实数根. 故选:B. 【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键. 5.如图,AB,CD是⊙O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是(  ) A.32° B.60° C.68° D.64° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系,由=得到∠BOD=∠AOE=32°,然后利用对顶角相等得∠BOD=∠AOC=32°,易得∠COE=64°. 【解答】解:∵=, ∴∠BOD=∠AOE=32°, ∵∠BOD=∠AOC, ∴∠AOC=32° ∴∠COE=32°+32°=64°. 故选:D. 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6.已知⊙O的半径为5,直线l是⊙O的切线,则点O到直线l的距离是(  ) A.2.5 B.3 C.5 D.10 【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5. 【解答】解:∵直线l与半径为r的⊙O相切, ∴点O到直线l的距离等于圆的半径, 即点O到直线l的距离为5. 故选:C. 【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,直线l和⊙O相交?d<r;直线l和⊙O相切?d=r;当直线l和⊙O相离?d>r. 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是(  ) A.ac>0 B.当x>1时,y随x的增大而增大 C.2a+b=1 D.方程ax2+bx+c=0有一个根是x=3 【分析】根据图象可得出a<0,c>0,得出ac<0,对称轴x=1,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;根据x=﹣=1,得出b=﹣2a,从而得出2a+b=0;根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等,得出另一个根. 【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0, ∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0, ∴ac<0,故A选项错误; ∵对称轴x=1,∴当x>1时,y随x的增大而减小;故B选项错误; ∵x=﹣=1,∴b=﹣2a, ∴2a+b=0,故C选项错误; ∵对称轴x=1,一个交点是(﹣1,0), ∴另一个交点是(3,0) ∴方程ax2+bx+c=0另一个根是x=3,故D选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系,是基础知识要熟练掌握. 8.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,=,OD∥AC,下列结论错误的是(  ) A.∠BOD=∠BAC B.∠BOD=∠COD C.∠BAD=∠CAD D.∠C=∠D 【分析】根据平行线的性质,圆心角、弧、弦的关系以及圆周角的定理进行做题. 【解答】解:A、∵OD∥AC,∴∠BOD=∠BAC(两直线平行,同位角相等). B、∵=,∴∠BOD=∠COD. C、∵∠BAD=∠BOD,∠CAD=∠COD,∴∠BAD=∠CAD. D、∠C=∠D(不一定). 故选:D. 【点评】涉及知识点:(1)两直线平行,同位角相等;(2)同弧所对的圆心角相等;(2)同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半. 9.如图,l1与l2交于点P,l2与l3交于点Q,∠l=104°,∠2=87°,要使得l1∥l2,下列操作正确的是(  ) A.将l1绕点P逆时针旋转14° B.将l1绕点P逆时针旋转17° C.将l2绕点Q顒时针旋转11° D.将l2绕点Q顺时针旋转14° 【分析】根据l1∥l2,可以∠1+76°=180°,或∠2+93°=180°.因此将l1绕点P逆时针旋转11°或 将l2绕点Q顺时针旋转11°. 【解答】解:∵l1∥l2, ∴∠2的对顶角+∠1=180° 且∠l=104°,∠2=87° ∴∠2多了11°,或∠1多了11° ∴将l1绕点P逆时针旋转11°或 将l2绕点Q顺时针旋转11° 故选:C. 【点评】本题考查旋转的性质,平行线的性质,关键是熟练运用旋转的性质. 10.已知一次函数y=x+c的图象如图,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据一次函数图象经过的象限,即可得出<0、c>0,由此即可得出:二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣>0,与y轴的交点在y轴负正半轴,再对照四个选项中的图象即可得出结论. 【解答】解:观察函数图象可知:<0、c>0, ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴x=﹣>0,与y轴的交点在y轴负正半轴. 故选:A. 【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象,根据一次函数图象经过的象限,找出<0、c>0是解题的关键. 二、填空题.(每小题3分,共15分) 11.方程x2﹣3x=0的解是 x1=0,x2=3 . 【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取,故用因式分解法解较简便. 【解答】解:原式为x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x=0或x﹣3=0,x1=0,x2=3. ∴方程x2﹣3x=0的解是x1=0,x2=3. 【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法,在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法. 12.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为 ﹣3 . 【分析】把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,再解关于k的方程,然后根据一元二次方程的定义确定k的值. 【解答】解:把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0, 整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=﹣3, 因为k≠0, 所以k的值为﹣3. 故答案为﹣3. 【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 13.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,若以点A为圆心,以4为半径作⊙A,则点A,点B,点C,点D四点中在⊙A外的是 C . 【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内. 【解答】解:∵CA==5>4, ∴点,C在⊙A外, ∵AD═4, ∴点D在⊙A上外; AB=3<4, ∴点B在⊙A内, 故答案为:C. 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内. 14.已知△ABC的三边长分别是6,8,10,则△ABC外接圆的直径是 10 . 【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠C=90°,即可求出答案. 【解答】解: ∵AC=6,BC=8,AB=10, ∴AC2+BC2=AB2, ∴∠C=90°, ∴△ABC的外接圆的半径是×10=5,即外接圆的直径是10, 故答案为:10. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,三角形的外接圆的应用,注意:直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半 15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,点D在边BC上,BD=2CD,把△ABC绕点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,则m= 100°或120° . 【分析】①当点B落在AB边上时,根据DB=DB1,即可解决问题,②当点B落在AC上时,在Rt△DCB2中,根据∠C=90°,DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°,由此即可解决问题. 【解答】解:①当点B落在AB边上时, ∵DB=DB1, ∴∠B=∠DB1B=40°, ∴m=∠BDB1=180°﹣2×40°=100°, ②当点B落在AC上时, 在Rt△DCB2中, ∵∠C=90°,DB2=DB=2CD, ∴∠CB2D=30°, ∴m=∠C+∠CB2D=120°, 综上所述,m的值为100°或120°. 故答案为:100°或120°. 【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的定义、直角三角形30度角的判定等知识,解题的关键是正确画出图形,学会分类讨论的思想,属于中考常考题型. 三、解答题(本大题共7题,满分75分) 16.(8分)(1)2x2﹣5x﹣1=0; (2)6x2﹣3x﹣1=2x﹣2 【分析】(1)先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可; (2)整理后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可. 【解答】解:(1)2x2﹣5x﹣1=0, b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×(﹣1)=33, x=, x1=,x2=; (2)6x2﹣3x﹣1=2x﹣2, 整理得:6x2﹣5x+1=0, (2x﹣1)(3x﹣1)=0, 2x﹣1=0,3x﹣1=0, x1=,x2=. 【点评】本题考查了解一元二次方程,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键,注意:解一元二次方程的方法有:直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法等. 17.(9分)已知:关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)当k取最大整数值时,用合适的方法求该方程的解. 【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式,建立关于k的不等式,求出k的取值范围. (2)从上题中找到K的最大整数,代入方程后求解即可. 【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根, ∴△>0,即22﹣4×1×k>0, 解得:k<1; (2)根据题意,当k=0时,方程为:x2+2x=0, 左边因式分解,得:x(x+2)=0, ∴x1=0,x2=﹣2. 【点评】本题考查了根的判别式和因式分解法解方程的知识,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 18.(9分)如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,Rt△ABC的三个顶点A(﹣2,2),B(0,5),C(0,2). (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,得到△A1B1C,请画出△A1B1C的图形. (2)平移△ABC,使点A的对应点A2坐标为(﹣2,﹣6),请画出平移后对应的△A2B2C2的图形. (3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标. 【分析】(1)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案; (2)利用平移规律得出对应点位置,进而得出答案; (3)利用旋转图形的性质,连接对应点,即可得出旋转中心的坐标. 【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C即为所求; (2)如图所示:△A2B2C2即为所求; (3)旋转中心坐标(0,﹣2). 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识,根据题意得出对应点坐标是解题关键. 19.(9分)已知二次函数y=﹣x2+2x+m. (1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围; (2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标. (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围. 【分析】(1)二次函数的图象与x轴有两个交点,则△>0,从而可求得m的取值范围; (2)由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式,然后求得抛物线的对称轴方程为x=1,然后将x=1代入直线的解析式,从而可求得点P的坐标; (3)一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分x的取值范围. 【解答】解:(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点, ∴△=22+4m>0 ∴m>﹣1; (2)∵二次函数的图象过点A(3,0), ∴0=﹣9+6+m ∴m=3, ∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3, 令x=0,则y=3, ∴B(0,3), 设直线AB的解析式为:y=kx+b, ∴,解得:, ∴直线AB的解析式为:y=﹣x+3, ∵抛物线y=﹣x2+2x+3,的对称轴为:x=1, ∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2, ∴P(1,2). (3)根据函数图象可知:x<0或x>3. 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 20.(9分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A'B'C. (1)如图1,当AB∥CB'时,设A'B'与CB相交于点D,求证:△A'CD是等边三角形. (2)若E为AC的中点,P为A'B'的中点,则EP的最大值是多少,这时旋转角θ为多少度. 【分析】(1)当AB∥CB′时,∠BCB′=∠B=∠B′=30°,则∠A′CD=90°﹣∠BCB′=60°,∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°,可证:△A′CD是等边三角形; (2)连接CP,当E、C、P三点共线时,EP最长,根据图形求出此时的旋转角及EP的长. 【解答】(1)证明:∵AB∥CB′, ∴∠B=∠BC B′=30°, ∴∠BC A′=90°﹣30°=60°, ∵∠A′=∠A=60°, ∴△A′CD是等边三角形; (2)解:如图,连接CP,当△ABC旋转到E、C、P三点共线时,EP最长, 此时θ=∠ACA1=120°, ∵∠B′=30°,∠A′CB′=90°, 设AC=a, ∴A′C=AC=A′B′=a, ∵AC中点为E,A′B′中点为P,∠A′CB′=90° ∴CP=A′B′=a,EC=a, ∴EP=EC+CP=a+a=AC. 【点评】此题考查了旋转的性质,特殊三角形的判定与性质,相似三角形的判断与性质.关键是根据旋转及特殊三角形的性质证明问题. 21.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点. (1)求证:AB是⊙O的直径; (2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明; (3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长. 【分析】(1)连接AD,由AB=AC,BD=CD,利用等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC,利用90°的圆周角所对的弦为直径即可得证; (2)DE与圆O相切,理由为:连接OD,由O、D分别为AB、CB中点,利用中位线定理得到OD与AC平行,利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角,再由OD为半径,即可得证; (3)由AB=AC,且∠BAC=60°,得到三角形ABC为等边三角形,设AC与⊙O交于点F,连接BF,DE为三角形CBF中位线,求出BF的长,即可确定出DE的长. 【解答】(1)证明:连接AD, ∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∴AB为圆O的直径; (2)DE与圆O相切,理由为: 证明:连接OD, ∵O、D分别为AB、BC的中点, ∴OD为△ABC的中位线, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD, ∵OD为圆的半径, ∴DE与圆O相切; (3)解:∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∴AB=AC=BC=6, 设AC与⊙O交于点F,连接BF, ∵AB为圆O的直径, ∴∠AFB=∠DEC=90°, ∴AF=CF=3,DE∥BF, ∵D为BC中点, ∴E为CF中点,即DE为△BCF中位线, 在Rt△ABF中,AB=6,AF=3, 根据勾股定理得:BF==3, 则DE=BF=. 【点评】此题属于圆的综合题,涉及的知识有:直线与圆相切的判定与性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,等边三角形的性质,以及平行线的性质,熟练掌握定理及性质是解本题的关键. 22.(10分)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是∠QED的平分线; (2)EF2=BE2+DF2. 【分析】(1)直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE(SAS),进而得出∠AEQ=∠AEF,即可得出答案; (2)利用(1)中所求,再结合勾股定理得出答案. 【解答】证明:(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ, ∴QB=DF,AQ=AF,∠BAQ=∠DAF, ∵∠EAF=45°, ∴∠DAF+∠BAE=45°, ∴∠QAE=45°, ∴∠QAE=∠FAE, 在△AQE和△AFE中 , ∴△AQE≌△AFE(SAS), ∴∠AEQ=∠AEF, ∴EA是∠QED的平分线; (2)由(1)得△AQE≌△AFE, ∴QE=EF, 在Rt△QBE中, QB2+BE2=QE2, 又∵QB=DF, ∴EF2=BE2+DF2. 【点评】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识,正确得出△AQE≌△AFE(SAS)是解题关键. 23.(11分)如图,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点. (1)求此抛物线的解析式; (2)求C、D两点坐标及△BCD的面积; (3)若点P在x轴上方的抛物线上,满足S△PCD=S△BCD,求点P的坐标. 【分析】(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x﹣1)2+4,然后把点B的坐标代入求出a的值,即可得解; (2)令y=0,解方程得出点C,D坐标,再用三角形面积公式即可得出结论; (3)先根据面积关系求出点P的坐标,求出点P的纵坐标,代入抛物线解析式即可求出点P的坐标. 【解答】解:(1)∵抛物线的顶点为A(1,4), ∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2+4, 把点B(0,3)代入得,a+4=3, 解得a=﹣1, ∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; 令y=0,则0=﹣(x﹣1)2+4, ∴x=﹣1或x=3, ∴C(﹣1,0),D(3,0); ∴CD=4, ∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6; (3)由(2)知,S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6;CD=4, ∵S△PCD=S△BCD, ∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3, ∴|yP|=, ∵点P在x轴上方的抛物线上, ∴yP>0, ∴yP=, ∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4; ∴=﹣(x﹣1)2+4, ∴x=1±, ∴P(1+,),或P(1﹣,). 【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,坐标轴上点的特点,三角形的面积公式,解本题的关键是求出抛物线解析式,是一道比较简单的中考常考题.

  • ID:3-5386160 2018-2019学年河北省唐山市路南区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2018-2019学年河北省唐山市路南区九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共15个小题,每小题2分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 2.若方程(a+1)x2+ax﹣1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是(  ) A.a≥1 B.a≠0 C.a≠1 D.a≠﹣1 3.已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O公共点的个数为(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.当k>5时,关于x的一元二次方程x2+4x+k=0根的情况是(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个实数根 D.没有实数根 5.将抛物线y=(x+2)2﹣5向左平移2个单位,再向上平移5个单位,平移后所得抛物线的解析式为(  ) A.y=(x+4)2 B.y=x2 C.y=x2﹣10 D.y=(x+4)2﹣10 6.关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1,则m的值为(  ) A.﹣1 B.﹣3 C.5 D.1 7.用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3=0下列变形正确的是(  ) A.(x﹣2)2=0 B.(x﹣2)2=7 C.(x﹣4)2=9 D.(x﹣2)2=1 8.抛物线y=(x+2)2+(m2+1)(m为常数)的顶点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=(  ) A.55° B.110° C.120° D.125° 10.已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数如图上标注,则对图(1)、(2)中的两个三角形,下列说法正确的是(  ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 11.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有(  ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列四个结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③a+b+c<0;④b>2a.其中正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点.且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是(  ) A.45度 B.60度 C.72度 D.90度 14.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′.连接B'C,则△AB'C的面积为(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 15.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线过点(  ) A.(3,6) B.(3,﹣2) C.(3,1) D.(3,2) 二、填空题(本大题共4个小题;每小题3分,共12分.把答案写E题中横线上) 16.点(1,0)关于原点对称的点的坐标是   . 17.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是﹣2,则m﹣n=   . 18.如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=   °. 19.小明同学用配方法解方程x2+ax=b2时,方程的两边加上   ,据欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是线段   的长. 三、解答题(本大题共7个小题,共58分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(8分)解方程: (1)x2+x=0 (2)x2﹣6x﹣1=0 21.(6分)如图,在单位长为1的网格图中,画出格点△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C′;并求出点C所经过的路线长. 22.(6分)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根. 23.(7分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求BD的长. 24.(10分)小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于40cm2,小张该怎么剪? (2)小李对小张说:“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2.”他的说法对吗?请说明理由. 25.已知OA=OB=4,∠AOB=60°,半⊙A的半径为1,点C是半圆上任意一点,连结OC,把OC绕点O顺时针旋转6 0°到OD的位置,连结BD. (1)如图1,求证:AC=BD. (2)如图2,当OC与半圆相切于点C时,求CD的长. (3)直接写出△AOC面积的最大值. 26.(12分)已知二次函数y=x2+bx﹣3(b是常数) (1)若抛物线经过点A(﹣1,0),求该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,n)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′,当点P′落在该抛物线上时,求m的值; (3)在﹣1≤x≤2范围内,二次函数有最小值是﹣6,求b的值. 2018-2019学年河北省唐山市路南区九年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共15个小题,每小题2分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个手机应用图标中,属于中心对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解:A、图形不是中心对称图形; B、图形是中心对称图形; C、图形不是中心对称图形; D、图形不是中心对称图形, 故选:B. 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后能与自身重合. 2.若方程(a+1)x2+ax﹣1=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是(  ) A.a≥1 B.a≠0 C.a≠1 D.a≠﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义得到a+1≠0,由此求得a的取值范围. 【解答】解:依题意得:a+1≠0, 解得a≠﹣1. 故选:D. 【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点. 3.已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为3,则直线m与⊙O公共点的个数为(  ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法,可得结论. 【解答】解:∵d=3<半径=4 ∴直线与圆相交 ∴直线m与⊙O公共点的个数为2个 故选:C. 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,掌握直线和圆的位置关系判断方法:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交?d<r②直线l和⊙O相切?d=r,③直线l和⊙O相离?d>r. 4.当k>5时,关于x的一元二次方程x2+4x+k=0根的情况是(  ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个实数根 D.没有实数根 【分析】计算根的判别式,利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案. 【解答】解:∵x2+4x+k=0, ∴△=42﹣4k=4(4﹣k), ∵k>5, ∴4﹣k<0, ∴△<0, ∴该方程没有实数根, 故选:D. 【点评】本题主要考查根的判别式,掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键. 5.将抛物线y=(x+2)2﹣5向左平移2个单位,再向上平移5个单位,平移后所得抛物线的解析式为(  ) A.y=(x+4)2 B.y=x2 C.y=x2﹣10 D.y=(x+4)2﹣10 【分析】根据顶点式求出顶点坐标,再根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后写出顶点式二次函数解析式即可. 【解答】解:∵y=(x+2)2﹣5, ∴原抛物线顶点坐标为(﹣2,﹣5), ∵向左平移2个单位,再向上平移5个单位, ∴平移后的抛物线顶点坐标为(﹣4,0), ∴所得抛物线解析式为y=(x+4)2, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减,此类题目,利用顶点坐标的变化求解更简便. 6.关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣3=0的一个解为x=﹣1,则m的值为(  ) A.﹣1 B.﹣3 C.5 D.1 【分析】:把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得到2+m﹣3=0,然后解关于m的方程即可. 【解答】解:把x=﹣1代入方程2x2﹣mx﹣3=0得2+m﹣3=0, 解得m=1. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 7.用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3=0下列变形正确的是(  ) A.(x﹣2)2=0 B.(x﹣2)2=7 C.(x﹣4)2=9 D.(x﹣2)2=1 【分析】先把常数项移到方程右侧,再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方形式即可. 【解答】解:x2﹣4x=3, x2﹣4x+4=7, (x﹣2)2=7. 故选:B. 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. 8.抛物线y=(x+2)2+(m2+1)(m为常数)的顶点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标,再根据各象限内点的坐标特点进行解答. 【解答】解:∵y=(x+2)2+(m2+1), ∴顶点坐标为:(﹣2,m2+1), ∵﹣2<0,m2+1>0, ∴顶点在第二象限. 故选:B. 【点评】本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点,根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键. 9.如图,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB=(  ) A.55° B.110° C.120° D.125° 【分析】根据圆周角定理进行求解.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【解答】解:根据圆周角定理,得 ∠ACB=(360°﹣∠AOB)=×250°=125°. 故选:D. 【点评】此题考查了圆周角定理. 注意:必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系. 10.已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数如图上标注,则对图(1)、(2)中的两个三角形,下列说法正确的是(  ) A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 【分析】在图(1)中,根据三角形内角和定理求出∠C,根据两角对应相等的两个三角形相似证明;在图(2)中,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明. 【解答】解:在图(1)中,∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣75°﹣35°=70°, 则∠A=∠D,∠C=∠E, ∴△ABC∽△DFE; 在图(2)中,=,==, ∴=,又∠AOC=∠DOB, ∴△AOC∽△DOB, 故选:A. 【点评】本题考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 11.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有(  ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【分析】如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,当OP⊥AB时OP有最小值,连接OA,过O作OD⊥AB,根据垂径定理和勾股定理即可求出OD为3, 所以得到当OP⊥AB时P的最小值为3,当OP与OA重合时P最大为5,这样就可以判定P在AD之间和在BD之间的整数点,然后即可得到结论. 【解答】解:如图,连接OA,过O作OD⊥AB于D, ∵⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm, 当OP⊥AB时OP有最小值, 则AD=AB=4cm, 由勾股定理得OD===3cm, ∴当OP⊥AB时OP的最小值为3, 当OP与OA重合时P最大为5, ∴P在AD中间有3,4,5三个整数点, 在BD之间有4,5,两个整数点, 故P在AB上有5个整数点. 故选:D. 【点评】此题属简单题目,涉及到垂径定理及勾股定理的运用,要求学生仔细阅读题目,充分理解题意,细心解答. 12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列四个结论:①abc>0;②b2﹣4ac>0;③a+b+c<0;④b>2a.其中正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】①由抛物线的开口方向,抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号,即得abc的符号; ②由抛物线与x轴有两个交点判断即可; ③x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,所以a+c>b. ④由﹣>﹣1,a<0,得到b>2a,所以b﹣2a>0. 【解答】解:①由开口向下,可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴,可得c>0,然后由对称轴在y轴左侧,得到b与a同号,则可得b<0,abc>0,故①正确; ②由抛物线与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,故②正确; ③∵x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0, ∴a+c>b, ∴a+c>b, ∴a+b+c<0,故③正确; ④∵抛物线对称轴x=﹣>﹣1,a<0, ∴b>2a,故④正确. 综上所述,正确的结论有4个. 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定. 13.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点.且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是(  ) A.45度 B.60度 C.72度 D.90度 【分析】连接OA、OB、OC,根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB,证明△AOM≌△BON,根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM,得到答案. 【解答】解:连接OA、OB、OC, ∠AOB==72°, ∵∠AOB=∠BOC,OA=OB,OB=OC, ∴∠OAB=∠OBC, 在△AOM和△BON中, , ∴△AOM≌△BON(SAS) ∴∠BON=∠AOM, ∴∠MON=∠AOB=72°, 故选:C. 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算,掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 14.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′.连接B'C,则△AB'C的面积为(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 【分析】过点B'作B'E⊥AC于点E,由题意可证△ABC≌△B'AE,可得AC=B'E=4,即可求△AB'C的面积. 【解答】解:如图:过点B'作B'E⊥AC于点E ∵旋转 ∴AB=AB',∠BAB'=90° ∴∠BAC+∠B'AC=90°,且∠B'AC+∠AB'E=90° ∴∠BAC=∠AB'E,且∠AEB'=∠ACB=90°,AB=AB' ∴△ABC≌△B'AE(AAS) ∴AC=B'E=4 ∴S△AB'C=×AC×B'E=×4×4=8 故选:C. 【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,利用旋转的性质解决问题是本题的关键. 15.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线过点(  ) A.(3,6) B.(3,﹣2) C.(3,1) D.(3,2) 【分析】由题意可求抛物线与x轴交点为(0,0),(2,0),用待定系数法可求解析式,通过平移的性质可求平移后解析式,将x=3代入可求点的坐标. 【解答】解:∵定弦抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x轴交点为(0,0),(2,0) ∴ ∴ ∴解析式y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1 ∵抛物线向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴平移后抛物线解析式:y=(x﹣2)2﹣3 当x=3时,y=(3﹣2)2﹣3=﹣2 ∴平移后抛物线过点(3,﹣2) 故选:B. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,熟练运用待定系数法求解析式是本题的关键. 二、填空题(本大题共4个小题;每小题3分,共12分.把答案写E题中横线上) 16.点(1,0)关于原点对称的点的坐标是 (﹣1,0) . 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的横、纵坐标符号相反可得答案. 【解答】解:点(1,0)关于原点对称的点的坐标是(﹣1,0), 故答案为:(﹣1,0). 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标,关键是掌握点的坐标的变化规律. 17.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是﹣2,则m﹣n= 2 . 【分析】把x=﹣2代入方程x2+mx+2n=0得出4﹣2m+2n=0,再求出即可. 【解答】解:把x=﹣2代入方程x2+mx+2n=0得:4﹣2m+2n=0, 即﹣2m+2n=﹣4, m﹣n=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查了一元二次方程的解,能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键. 18.如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= 60 °. 【分析】连接OA,根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即可. 【解答】解:连接OA, ∵四边形ABOC是菱形, ∴BA=BO, ∵AB与⊙O相切于点D, ∴OD⊥AB, ∵点D是AB的中点, ∴直线OD是线段AB的垂直平分线, ∴OA=OB, ∴△AOB是等边三角形, ∵AB与⊙O相切于点D, ∴OD⊥AB, ∴∠AOD=∠AOB=30°, 同理,∠AOE=30°, ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°, 故答案为:60. 【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 19.小明同学用配方法解方程x2+ax=b2时,方程的两边加上  ,据欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是线段 AD 的长. 【分析】根据配方法求解可得;表示出AD的长,利用勾股定理求出即可. 【解答】解:用配方法解方程x2+ax=b2时,方程的两边加上, 欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=, 设AD=x,根据勾股定理得:(x+)2=b2+()2, 整理得:x2+ax=b2, 则该方程的一个正根是AD的长, 故答案为:,AD. 【点评】此题考查了作图﹣复杂作图与解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式与勾股定理是解本题的关键. 三、解答题(本大题共7个小题,共58分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20.(8分)解方程: (1)x2+x=0 (2)x2﹣6x﹣1=0 【分析】(1)利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解; (2)配方法求解可得. 【解答】解:(1)x2+x=0, x(x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x1=0,x2=﹣1; (2)x2﹣6x﹣1=0, x2﹣6x=1, x2﹣6x+9=1+9,即(x﹣3)2=10, ∴x﹣3=±, ∴x1=3+,x2=3﹣. 【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解、配方,等式的性质等知识点的理解和掌握,能正确因式分解和配方是解此题的关键. 21.(6分)如图,在单位长为1的网格图中,画出格点△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C′;并求出点C所经过的路线长. 【分析】作出B,C的对应点B′,C′即可,利用弧长公式计算即可; 【解答】解:△AB'C′如图所示:点C所经过的路线长==π. 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 22.(6分)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根. 【分析】(1)关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根,即判别式△=b2﹣4ac>0.即可得到关于a的不等式,从而求得a的范围. (2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系列出方程组,求出a的值和方程的另一根. 【解答】解:(1)∵b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0, 解得:a<3. ∴a的取值范围是a<3; (2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得: , 解得:, 则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3. 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 23.(7分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求BD的长. 【分析】先证明△ADE∽△ACB,得出对应边成比例,可求出AD的长解决问题; 【解答】解:∵ED⊥AB, ∴∠ADE=90°=∠C, ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB, ∴=, 即=, 解得:AD=4, ∴BD=AB﹣AD=6. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质;熟练掌握相似三角形的判定方法,证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键. 24.(10分)小张准备把一根长为32cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于40cm2,小张该怎么剪? (2)小李对小张说:“这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2.”他的说法对吗?请说明理由. 【分析】(1)利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可; (2)利用正方形的性质表示出边长进而得出等式,进而利用根的判别式求出即可. 【解答】解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为(8﹣x)cm. ∴x2+(8﹣x)2=40, 即x2﹣8x+12=0. ∴x1=2,x2=6. ∴小张应将40cx的铁丝剪成8cm和24cm两段,并将每一段围成一个正方形. 2)他的说法对. 假定两个正方形的面积之和能等于30cm2. 根据(1)中的方法,可得x2+(8﹣x)2=30. 即x2﹣8x+17=0, △=82﹣4×17<0,方程无解. 所以两个正方形的面积之和不可能等于30cm2. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键. 25.已知OA=OB=4,∠AOB=60°,半⊙A的半径为1,点C是半圆上任意一点,连结OC,把OC绕点O顺时针旋转6 0°到OD的位置,连结BD. (1)如图1,求证:AC=BD. (2)如图2,当OC与半圆相切于点C时,求CD的长. (3)直接写出△AOC面积的最大值. 【分析】(1)证明△OAC≌△DOB(SAS),可得AC=BD; (2)根据勾股定理得:OC2+AC2=OA2,OC的长,证明△COD是等边三角形,可得CD=OC=; (3)当h最大时,S△AOC最大,即当C在半圆A的中点时,h最大,此时h=1,计算面积可得结论. 【解答】证明:(1)∵∠AOB=∠COD=60° ∴∠COA+∠AOD=∠BOD+∠AOD ∴∠COA=∠BOD 在△OAC和△OBD中, ∵ ∴△OAC≌△DOB(SAS) ∴AC=BD; (2)如图2,∵OC是⊙A的切线, ∴AC⊥OC,∠OCA=90°, 在Rt△OCA中,由勾股定理得:OC2+AC2=OA2, ∴OC2+12=42, ∴OC=, 在△COD中,∵OC=OD,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∴CD=OC=; (3)设点C到OA的距离为h, ∵S△AOC=OA?h, ∵OA=4, ∴当h最大时,S△AOC最大,即当C在半圆A的中点时,h最大,此时h=1, ∴S△AOC=OA?h==2. 【点评】本题考查圆综合题、旋转变换、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题. 26.(12分)已知二次函数y=x2+bx﹣3(b是常数) (1)若抛物线经过点A(﹣1,0),求该抛物线的解析式和顶点坐标; (2)P(m,n)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′,当点P′落在该抛物线上时,求m的值; (3)在﹣1≤x≤2范围内,二次函数有最小值是﹣6,求b的值. 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,根据配方法把一般式化为顶点式,求出顶点坐标; (2)根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标,代入解析式,计算即可; (3)分﹣1≤﹣≤2、﹣>2、﹣<﹣1三种情况,根据二次函数的性质计算即可. 【解答】解:(1)∵抛物线经过点A(﹣1,0), ∴(﹣1)2﹣b﹣3=0, 解得,b=﹣2, 则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3; y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2+4, ∴顶点坐标为(1,﹣4); (2)由题意得,点P′的坐标为(﹣m,﹣n), 则m2+mb﹣3=n,m2﹣mb﹣3=﹣n, 两式相加得,2m2=6, 解得,m=±; (3)①当﹣1≤﹣≤2,即﹣4≤b≤2时,=﹣6, 整理得,b2=12, 解得,b=2(舍去),b=﹣2; ②当﹣>2,即b<﹣4时,x=2时,y有最小值, 则4+2b﹣3=﹣6, 解得,b=﹣(舍去); ③当﹣<﹣1,即b>2时,x=﹣1时,y有最小值, 则1﹣b﹣3=﹣6, 解得,b=4, 综上所述,当b=﹣2或b=4时,在﹣1≤x≤2范围内,二次函数有最小值是﹣6. 【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、关于原点对称的点的坐标特点,掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键.