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初中数学人教版九年级上册
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  • ID:3-5984554 [精] 22.3实际问题与二次函数(3)导学案(教师版+学生版)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十二章 二次函数/22.3 实际问题与二次函数

    中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(3)》导学案 课题 实际问题与二次函数(3) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 重点难点 重点:根据不同条件建立合适的直角坐标系,将实际问题转化成二次函数问题难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 说一说:二次函数y=ax2的性质和特点? 合作探究 探究1:下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 怎样建立直角坐标系呢? 探究2:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 探究3:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 你还能想出多少种方法?通过上面的探究我们总结比较一下,看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结:建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的__________________; (2)把已知条件转化为__________________; (3)合理设出函数__________________; (4)利用__________________法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图),大门的地面宽度为8 m,两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高(精确到0.1 m,水泥建筑物的厚度不计)为( )A.8.1 m B.9.1 m C.10.1 m D.12.1 m 2、某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面m(如图所示),则水流落地点离墙的距离OB是( )A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 当堂检测 1.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为( )A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 4.如图 ,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽 AB=10 m,如果水位上升 2 m,就将达到警戒线 CD,这时水面的宽为 8 m.若洪水到来,水位以每小时 0.1 m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形是抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB间,按相同的间距 0.2 米,用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米.(1)以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,请根据以上数据,求出抛物线的函数解析式;计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米). 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(3)》导学案 课题 实际问题与二次函数(3) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 重点难点 重点:根据不同条件建立合适的直角坐标系,将实际问题转化成二次函数问题难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 说一说:二次函数y=ax2的性质和特点? 生活中有很美丽、实用的各种各样的桥,它们无不给我们以抛物线的形象感受,本节课我们就来主要研究与桥有关的抛物线问题。 合作探究 探究1:下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢? 因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式. 如上图,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得-2=a×22, a=-. 这条抛物线表示的二次函数为y=-x2. 当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为,-,据此可求出这时的水面宽度是2. 答:水面下降1m,水面宽度增加2-4m.探究2:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 以水面为横轴,水面中心为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴为y轴,经过点(0,2)的抛物线。∴抛物线解析式设为:y=-ax2+2将(0,2)代入,解得:a=-这条抛物线表示的二次函数为y=-x2+2探究3:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 以水面为横轴,水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴是x=2,经过(4,0)点的抛物线。 ∴抛物线解析式设为:y=-a(x-2)2+2抛物线经过(0,0)解得:a=-这条抛物线表示的二次函数为y=-(x-2)2+2你还能想出多少种方法?通过上面的探究我们总结比较一下,看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结:建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的__________________; (2)把已知条件转化为__________________; (3)合理设出函数__________________; (4)利用__________________法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 答案:直角坐标系、点的坐标、解析式、待定系数例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 与篮筐中心C的水平距离是8米吧,如果是8的话设y=a(x-4)?+4 过(0,) 16a+4= 解得:a= ∴y=(x-4)?+4将x=7代入y=3∴能投中 (2)当y=3.19时,x=1.3或6.7所以若想盖帽成功,则乙应选择距离甲起跳1.3m或6.7m的位置。 自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图),大门的地面宽度为8 m,两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高(精确到0.1 m,水泥建筑物的厚度不计)为( )BA.8.1 m B.9.1 m C.10.1 m D.12.1 m 2、某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面m(如图所示),则水流落地点离墙的距离OB是( )BA.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 当堂检测 1.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=,则该运动员此次掷铅球的成绩是( )D A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为( )BA.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 解:(1)如图所示,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h, 代入(3,0)和(0,2),得4a+h=0,a+h=2. 解得a=,h=. ∴抛物线的解析式为y=(x-1)2+, 即y=x2+x+2(0≤x≤3). (2)由y=(x-1)2+(0≤x≤3),得当x=1时,y=,即水柱的最大高度为 m. 4.如图 ,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽 AB=10 m,如果水位上升 2 m,就将达到警戒线 CD,这时水面的宽为 8 m.若洪水到来,水位以每小时 0.1 m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 解:以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 中点为原点,建立平面 直角坐标系,则抛物线的顶点 E 在 y 轴上,且 B,D 两点的坐标分别为(5,0),(4,2). 设抛物线为 y=ax2+k,解得:a= b=∴y=x2∴顶点坐标(0,)即OE=÷0.1=∴经过小时会达到拱顶 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形是抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB间,按相同的间距 0.2 米,用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米.(1)以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上数据,求出抛物线的函数解析式; 计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米). 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-5984552 [精] 22.3实际问题与二次函数(3)课件+导学案

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十二章 二次函数/22.3 实际问题与二次函数

    中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(3)》导学案 课题 实际问题与二次函数(3) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 重点难点 重点:根据不同条件建立合适的直角坐标系,将实际问题转化成二次函数问题难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 说一说:二次函数y=ax2的性质和特点? 合作探究 探究1:下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 怎样建立直角坐标系呢? 探究2:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 探究3:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 你还能想出多少种方法?通过上面的探究我们总结比较一下,看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结:建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的__________________; (2)把已知条件转化为__________________; (3)合理设出函数__________________; (4)利用__________________法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图),大门的地面宽度为8 m,两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高(精确到0.1 m,水泥建筑物的厚度不计)为( )A.8.1 m B.9.1 m C.10.1 m D.12.1 m 2、某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面m(如图所示),则水流落地点离墙的距离OB是( )A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 当堂检测 1.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为( )A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 4.如图 ,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽 AB=10 m,如果水位上升 2 m,就将达到警戒线 CD,这时水面的宽为 8 m.若洪水到来,水位以每小时 0.1 m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形是抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB间,按相同的间距 0.2 米,用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米.(1)以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,请根据以上数据,求出抛物线的函数解析式;计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米). 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(3)》导学案 课题 实际问题与二次函数(3) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 重点难点 重点:根据不同条件建立合适的直角坐标系,将实际问题转化成二次函数问题难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 说一说:二次函数y=ax2的性质和特点? 生活中有很美丽、实用的各种各样的桥,它们无不给我们以抛物线的形象感受,本节课我们就来主要研究与桥有关的抛物线问题。 合作探究 探究1:下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少? 教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢? 因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式. 如上图,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得-2=a×22, a=-. 这条抛物线表示的二次函数为y=-x2. 当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为,-,据此可求出这时的水面宽度是2. 答:水面下降1m,水面宽度增加2-4m.探究2:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 以水面为横轴,水面中心为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴为y轴,经过点(0,2)的抛物线。∴抛物线解析式设为:y=-ax2+2将(0,2)代入,解得:a=-这条抛物线表示的二次函数为y=-x2+2探究3:还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 以水面为横轴,水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴是x=2,经过(4,0)点的抛物线。 ∴抛物线解析式设为:y=-a(x-2)2+2抛物线经过(0,0)解得:a=-这条抛物线表示的二次函数为y=-(x-2)2+2你还能想出多少种方法?通过上面的探究我们总结比较一下,看看利用哪种坐标系会使得计算结果简便。你能总结:建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的__________________; (2)把已知条件转化为__________________; (3)合理设出函数__________________; (4)利用__________________法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 答案:直角坐标系、点的坐标、解析式、待定系数例、一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中? ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 与篮筐中心C的水平距离是8米吧,如果是8的话设y=a(x-4)?+4 过(0,) 16a+4= 解得:a= ∴y=(x-4)?+4将x=7代入y=3∴能投中 (2)当y=3.19时,x=1.3或6.7所以若想盖帽成功,则乙应选择距离甲起跳1.3m或6.7m的位置。 自主尝试 1、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图),大门的地面宽度为8 m,两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高(精确到0.1 m,水泥建筑物的厚度不计)为( )BA.8.1 m B.9.1 m C.10.1 m D.12.1 m 2、某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m,离地面m(如图所示),则水流落地点离墙的距离OB是( )BA.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 当堂检测 1.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=,则该运动员此次掷铅球的成绩是( )D A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m 2.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为( )BA.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m 3.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 解:(1)如图所示,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h, 代入(3,0)和(0,2),得4a+h=0,a+h=2. 解得a=,h=. ∴抛物线的解析式为y=(x-1)2+, 即y=x2+x+2(0≤x≤3). (2)由y=(x-1)2+(0≤x≤3),得当x=1时,y=,即水柱的最大高度为 m. 4.如图 ,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽 AB=10 m,如果水位上升 2 m,就将达到警戒线 CD,这时水面的宽为 8 m.若洪水到来,水位以每小时 0.1 m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 解:以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 中点为原点,建立平面 直角坐标系,则抛物线的顶点 E 在 y 轴上,且 B,D 两点的坐标分别为(5,0),(4,2). 设抛物线为 y=ax2+k,解得:a= b=∴y=x2∴顶点坐标(0,)即OE=÷0.1=∴经过小时会达到拱顶 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如图所示,其拱形图形是抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB间,按相同的间距 0.2 米,用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米.(1)以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,请根据以上数据,求出抛物线的函数解析式; 计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米). 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 22.3实际问题与二次函数(3) 人教版 九年级上 新知导入 抛物线 生活中有很美丽、实用的各种各样的桥,它们无不给我们以抛物线的形象感受,本节课我们就来主要研究与桥有关的抛物线问题。 新知讲解 探究1:如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面 2 m时,水面宽 4 m。水面下降 1 m, 水面宽度为多少?水面宽度增加多少 ? (1)怎样把这个实际问题转化成数学问题来解? 思考: 二次函数的图像就是抛物线,在图像上建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数,即可把实际问题转化成数学问题。 新知讲解 以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。设这条抛物线的解析式为 y=ax2. 0 (2)求函数解析式的方法是什么?如何设这个函数解析式? 新知讲解 (3)你打算利用哪个点的坐标?这个点的坐标是什么? (-2,-2) ● (2,-2) ● ∵当拱桥顶离水面 2m时,水面宽 4m, ∴抛物线经点(2,-2)、(-2,-2) 新知讲解 解:把点(2,-2)代入二次函数y=ax2, 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3 新知讲解 探究2: 还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 0 以水面为横轴,水面中心为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴为y轴,经过点(0,2)的抛物线。 ∴抛物线解析式设为:y=-ax2+2 抛物线经过(2,0) 新知讲解 0 你还能想出多少种方法? 以水面为横轴,水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系,则拱形桥是一开口向下,对称轴是x=2,经过(4,0)点的抛物线。 ∴抛物线解析式设为:y=-a(x-2)2+2 探究3: 还可以怎样建立直角坐标系?你能构建二次函数模型并列出解析式吗? 抛物线经过(0,0) 新知讲解 我们来比较一下 (0,0) (4,0) (2,2) (-2,-2) (2,-2) (0,0) (-2,0) (2,0) (0,2) (-4,0) (0,0) (-2,2) 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 新知讲解 建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤: (1)根据题意建立适当的 ; (2)把已知条件转化为 ; (3)合理设出函数 ; (4)利用 法求出函数解析式; (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算 直角坐标系 点的坐标 解析式 待定系数 归纳: 巩固练习 B B 例题讲解 ②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 例题讲解 x y 巩固练习 1.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y= ,则该运动员此次掷铅球的成绩是(   ) A. 6 m B. 12 m C. 8 m D. 10 m D 2.平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为1 m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳子的手的水平距离1 m,2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m,则学生丁的身高为( ) A.1.5 m B.1.625 m C.1.66 m D.1.67 m B 巩固练习 3.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,如图,在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,水柱落地处离池中心3 m. (1)请你建立适当的平面直角坐标系, 并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 巩固练习 巩固练习 4.如图 ,有一座抛物线形的拱桥,桥下面处在目前的水位时,水面宽 AB=10 m,如果水位上升 2 m,就将达到警戒线 CD,这时水面的宽为 8 m.若洪水到来,水位以每小时 0.1 m 速度上升,经过多少小时会达到拱顶? 巩固练习 根据题意,建立合适的平面直角坐标系,根据 已知确定抛物线上有关点的坐标,求解析式,并运用解析式解 答题目的问题. 解:以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 中点为原点,建立平面 直角坐标系,则抛物线的顶点 E 在 y 轴上,且 B,D 两点的坐 标分别为(5,0),(4,2). 设抛物线为 y=ax2+k, 巩固练习 巩固练习 5.某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成,如 图 所示,其拱形图形是抛物线的一部分,栅栏的跨径 AB 间,按相同的间距 0.2 米,用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.6 米. (1)以 O 为原点,OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,请根据以上数据,求出抛物线的函数解析式; (2)计算一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1 米). 巩固练习 解:(1)设抛物线解析式为 y=ax2,由已知可知:OC=0.6, AC=0.6,则点 A 的坐标为(0.6,0.6),代入到 y=ax2 中, ∴立柱 C1D1=0.6-0.07=0.53,C2D2=0.6-0.27=0.33. 由于抛物线关于 y 轴对称,栅栏所需立柱的总长度为 巩固练习 课堂总结 抽象 转化 数学问题 运用 数学知识 问题的解决 解这类题的步骤: 1.分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形. 2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3.选用适当的解析式求解. 4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题. 实际问题 作业布置 教材52页练习6、7题 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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  • ID:3-5981702 [精] 第二十一章 一元二次方程单元检测卷(答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/本章综合与测试

    [检测内容:第二十一章 满分:120分 时间:120分钟]

    一、选择题(每小题3分,共30分)
    1. 下列方程是一元二次方程的是(  )
    A. 2x+1=0 B. y2+x=1
    C. x2+1=0 D.
    x2=1
    2. 方程x2-2x=-3化成一般形式后,它的各项系数之和是(  )
    A. -5 B. 0 C. 4 D. 2
    3. 解方程(y-1)2=3(1-y)最适当的方法是(  )
    A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
    4. 用配方法解方程y2-8y+5=0,变形正确的是(  )
    A. (y-4)2=11 B. (y-4)2=21
    C. (y+4)2=11 D. (y+4)2=21
    5. 关于x的一元二次方程x2-2x+2k=0有实数根,则k的取值范围是(  )
    A. k<

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  • ID:3-5980985 [精] 21.1 一元二次方程(要点讲解+当堂检测+答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/21.1 一元二次方程

    要 点 讲 解

    要点一 一元二次方程的定义
    1. 定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
    2. 一元二次方程必须同时满足以下三个条件:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.
    经典例题1 下列方程,是一元二次方程的是(   )
    ①3x2+x=20;②2x2-3xy+4=0;③x2-
    A. ①②   B. ①②④⑤  C. ①③④  D. ①④⑤
    解析:方程①④⑤中都只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,等号两边都是整式,是一元二次方程;而方程②中含有两个未知数,不是一元二次方程,方程③中等号左边不是整式,也不是一元二次方程.故选D.
    答案:D

    要点二 一元二次方程的一般形式
    一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
    经典例题2 把方程(2t+3)2-2(t-5)2=-41先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
    解析:通过去括号、移项、合并同类项等步骤将原方程化成一元二次方程的一般形式,然后再找出方程的各项系数.
    解:去括号得4t2+12t+9-2(t2-10t+25)=-41,
    移项、合并同类项,得2t2+32t=0,
    二次项系数化为1,得t2+16t=0,
    所以方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,16,0.

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  • ID:3-5979890 [精] 22.3 实际问题与二次函数(2)课件+导学案

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十二章 二次函数/22.3 实际问题与二次函数

    中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(2)》导学案 课题 实际问题与二次函数(2) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值. 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式. 重点难点 重点:1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式,求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值.难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=______时,y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=____时,函数有最______值,是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量?它们之间有什么等量关系? 4.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元,那么一周的利润是多少? 合作探究 问题: 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量.在这个探究中,某商品调整,销量会随之变化.调整的价格包括涨价和降价两种情况. (1)我们先看涨价的情况. 设每件涨价x元,每星期则少卖_________件,实际卖出_________件,销售额为__________________元,买进商品需付__________________元.因此,所得利润____________________________________列出函数解析式后,怎样确定x的取值范围呢? 当x=_______时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价_________元,即定价_________元时,利润最大,最大利润是_________元. (2)我们再看降价的情况. 设每件降价x元,每星期则多卖_________件,实际卖出_________件,销售额为__________________元,买进商品需付__________________元.因此,所得利润 怎样确定x的取值范围呢? 由降价后的定价(60-x)元,不高于现价60元,不低于进价40元可得0≤x≤20. 当x=____________时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价_________元,即定价_________元时,利润最大,最大利润是_________元. 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? .通过上面问题的探究,你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ? 自主尝试 1、某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( )A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)22、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y关于x的函数关系式为( )A.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x2) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)23、出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=____元时,一天出售该种手工艺品的总利润最大. 当堂检测 1、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。 (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价增加到10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元(X为10的整数倍) (1)设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大?最大的利润是多少元? 3、某公司生产A种产品,它的成本2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,当每年投入的广告费是 x(单位:10万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10万元~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大. 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? 5、夏季空调销售供不应求,某空调厂接到一份紧急订单,要求在10天内(含10天)完成任务. 为提高生产效率,工厂加班加点,接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台,由于机器损耗等原因,当日生产的空调数量达到50台后,每多生产一台,当天生产的所有空调,平均每台成本就增加20元. (1)设第x天生产空调y台,直接写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元,订购价格为每台2 920元,设第x天的利润为W元,试求W与x之间的函数解析式,并求工厂哪一天获得的利润最大,最大利润是多少. 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(2)》导学案 课题 实际问题与二次函数(2) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值. 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式. 重点难点 重点:1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式,求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值.难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=______时,y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=____时,函数有最______值,是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量?它们之间有什么等量关系? 4.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元,那么一周的利润是多少? 我们如何利用二次函数模型来解决商品中的利润问题呢?今天我们一起来学习这个内容。板书课题 合作探究 问题: 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量.在这个探究中,某商品调整,销量会随之变化.调整的价格包括涨价和降价两种情况. (1)我们先看涨价的情况. 设每件涨价x元,每星期则少卖l0x件,实际卖出(300-l0x)件,销售额为(60 + x) (300-l0x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润y=(60+x)(300-l0x)一40(300-l0x),即y=-l0x2+100x+6 000. 列出函数解析式后,教师引导学生怎样确定x的取值范围呢? 由300-l0x≥0,得x≤30.再由x≥0,得0≤x≤30. 根据上面的函数,可知: 当x=5时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6250元. (2)我们再看降价的情况. 设每件降价x元,每星期则多卖20x件,实际卖出(300+20x)件,销售额为(60-x) (300+20x)元,买进商品需付40(300+20x)元.因此,所得利润y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x), 即 y=-20x2+100x+6 000. 怎样确定x的取值范围呢? 由降价后的定价(60-x)元,不高于现价60元,不低于进价40元可得0≤x≤20. 当x=2.5时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6125元. 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? 学生最后的出答案:综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知,定价65元时,利润最大.通过上面问题的探究,你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ?●归纳:审:审清题意,找到变量之间的关系.设:设变量.列:列出函数解析式和自变量的取值范围解:利用公式,求它的最大(小)值.答:确定销售方案 . 自主尝试 某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( )DA.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)2 一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y关于x的函数关系式为( )AA.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x2) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)2 出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=____元时,一天出售该种手工艺品的总利润最大.答案:4 当堂检测 1、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。 (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?(1)设此一次函数关系式为y=kx+b, 则解得k=-1,b=40 故一次函数的关系式为y=-x+40. (2)设所获利润为W元, 则W=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225 所以产品的销售价应定为25元,此时每日的销售利润为225元. 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价增加到10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元(X为10的整数倍) (1)设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大?最大的利润是多少元? (1),且(0≤x≤160,且x为10的正整数倍);(2);(3)订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为10880元. 解析试题分析:本题是二次函数的应用,特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围,直接求顶点坐标.(1)理解每个房间的房价每增加x元,则减少房间间,则可以得到y与x之间的关系;(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去20元,每间的利润与所订的房间数的积就是利润;(3)求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解. 试题解析: 解:(1)由题意得:,且(0≤x≤160,且x为10的正整数倍) (2),即 (3)w= 抛物线的对称轴是:,抛物线的开口向下,当x<170时,w随x的增大而增大,但0≤x≤160,因而当x=160时,即房价是340元时,利润最大, 此时一天订住的房间数是:50-(160÷10)=34间, 最大利润是:34×(340-20)=10880元. 答:一天订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为10880元. 3、某公司生产A种产品,它的成本2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,当每年投入的广告费是 x(单位:10万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10万元~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大.(1)设二次函数的关系式为 y=ax2+bx+c, ∵当 x=0 时,y=1;当 x=1 时,y=1.5;当 x=2 时,y=1.8.解得 ∴函数的解析式为y=-0.1x2+0.6x+1 (2)根据题意,得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10 (3)S=-x2+5x+10=-(x-)2+∵1≤x≤3,∴当1≤x≤2.5时,S随x的增大而增大. 故当年广告费为10~25万元之间,公司获得的年利润随广告费的增大而增大 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)y=-x+180; (2)w=(x-100)y=-(x-140)2+1 600, 当售价定为140元,w最大为1 600元. 5、夏季空调销售供不应求,某空调厂接到一份紧急订单,要求在10天内(含10天)完成任务. 为提高生产效率,工厂加班加点,接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台,由于机器损耗等原因,当日生产的空调数量达到50台后,每多生产一台,当天生产的所有空调,平均每台成本就增加20元. (1)设第x天生产空调y台,直接写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元,订购价格为每台2 920元,设第x天的利润为W元,试求W与x之间的函数解析式,并求工厂哪一天获得的利润最大,最大利润是多少. 解:(1)∵接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台, ∴由题意,得第x天生产空调y台,y与x之间的函数解析式为y=40+2x(1≤x≤10).(2)当1≤x≤5时,W=(2 920-2 000)×(40+2x)=1 840x+36 800, ∵1 840>0,∴W随x的增大而增大. ∴当x=5时,W最大=1 840×5+36 800=46 000; 当5<x≤10时,W=[2 920-2 000-20(40+2x-50)]×(40+2x)=-80(x-4)2+46 080. 此时函数图象开口向下,在对称轴右侧,W随着x的增大而减小, 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 22.3实际问题与二次函数(2) 人教版 九年级上 新知导入 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ,顶点坐标是 。当x= 时,y的最 值是 。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ,顶点坐标是 。当x= 时,函数有最 值,是 。 直线x=3 (3 ,5) 3 小 5 直线x=-4 (-4 ,-1) -4 大 -1 新知导入 4.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元,那么一周的利润是多少? 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量?它们之间有什么等量关系? 单件商品 利润=售价-进价 总利润 = 单件商品利润×销售量 利润:300(60-40)=6000元 新知讲解 问题:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? y = (60+x)(300-10x) -40 (300-10x) (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数式.涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出____________件,销售额为________________,买进商品需付出________________ y = -10x2+100x+6000 怎样确定x的取值范围? 其中,0≤x≤30. (300-10x) ( 60+x )( 300-10x ) 40 ( 300-10x ) 新知讲解 根据上面的函数,填空: 当x = ________时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价_____元, 即定价_________元时,利润最大,最大利润是___________. y = -10x2+100x+6000 5 5 65 6250 其中,0≤x≤30. 新知讲解 (2)在降价的情况下,最大利润是多少?请你参考(1)的讨论自己得出答案. (2)设每件降价x元,则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数式.降价x元时,每星期多卖18x件,实际卖出(300+18x)件,销售额为( 60-x )( 300+18x ),买进商品需付出40 ( 300+18x ),因此所得的利润 y = ( 60-x )( 300+18x ) - 40 ( 300+18x ) 即 y = -18x2+60x+6000 当 新知讲解 由(1)(2)的讨论及现在的想做状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? 构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式. 求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值) 运用函数来决策定价的问题: 新知讲解 运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 : 列出函数解析式和自变量的取值范围. 利用公式,求它的最大(小)值. 确定销售方案 . 审清题意,找到变量之间的关系. 设变量. 审 设 列 解 答 归纳: 1、某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( ) A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)2 2、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y关于x的函数关系式为( ) A.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x2) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)2 D A 巩固练习 3、出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=____元时,一天出售该种手工艺品的总利润最大. 4 巩固练习 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 (1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 1、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: 拓展提高 x(元) 15 20 30 … y(件) 25 20 10 … (2)设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元。则 产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元。 解得:k=-1,b=40。 拓展提高 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价增加到10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元(X为10的整数倍) (1)设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大?最大的利润是多少元? 拓展提高 拓展提高 3、某公司生产 A 种产品,它的成本 2 元,售价为 3 元,年 销售量为 100 万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定 的资金做广告,根据经验,当每年投入的广告费是 x(单位:10 万元)时,产品的年销售量是原销售量的 y 倍,且 y 是 x 的二次 函数,它们的关系如下表所示. (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写 出年利润 s(单位:10 万元)与广告费 x(单位:10 万元)的函数关 系式; (3)如果投入的年广告费为 10 万元~30 万元,问广告费在 什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大. 拓展提高 x/10 万元 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … 解:(1)设二次函数的关系式为 y=ax2+bx+c, ∵当 x=0 时,y=1;当 x=1 时,y=1.5;当 x=2 时,y=1.8. ∴所求的二次函数的关系式为 y=-0.1x2+0.6x+1. (2)由题意,得 s=10y(3-2)-x =10(-0.1x2+0.6x+1)-x =-x2+5x+10. 拓展提高 由于 1≤x≤3,∴当 1≤x≤2.5 时,s 随 x 的增大而增大. ∴广告费在 10 万元~25 万元,公司获得的年利润随广告 费的增大而增大. 拓展提高 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? 拓展提高 解:(1)y=-x+180; (2)w=(x-100)y=-(x-140)2+1 600, 当售价定为140元,w最大为1 600元. 拓展提高 5、夏季空调销售供不应求,某空调厂接到一份紧急订单,要求在10天内(含10天)完成任务. 为提高生产效率,工厂加班加点,接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台,由于机器损耗等原因,当日生产的空调数量达到50台后,每多生产一台,当天生产的所有空调,平均每台成本就增加20元. (1)设第x天生产空调y台,直接写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; 拓展提高 解:(1)∵接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台, ∴由题意,得第x天生产空调y台,y与x之间的函数解析式为y=40+2x(1≤x≤10). 拓展提高 (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元,订购价格为每台2 920元,设第x天的利润为W元,试求W与x之间的函数解析式,并求工厂哪一天获得的利润最大,最大利润是多少. 解:当1≤x≤5时,W=(2 920-2 000)×(40+2x)=1 840x+36 800, ∵1 840>0,∴W随x的增大而增大. ∴当x=5时,W最大=1 840×5+36 800=46 000; 当5<x≤10时,W=[2 920-2 000-20(40+2x-50)]×(40+2x)=-80(x-4)2+46 080. 此时函数图象开口向下,在对称轴右侧,W随着x的增大而减小, 拓展提高 拓展提高 课堂总结 ①解决实际问题需注意什么? ②利用二次函数还可以解决哪些实际问题,请大家注意收集、分类,看它们各自有何特点。 你学到了哪些知识? 你学到了哪些方法? 你还有哪些困惑? 如何利用二次函数最大(小)值来解决实际问题。 思想方法是建立函数关系,用函数的观点、 思想去分析实际问题。 作业布置 51页第2题、8题 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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  • ID:3-5979887 [精] 22.3 实际问题与二次函数(2)导学案(教师版+学生版)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十二章 二次函数/22.3 实际问题与二次函数

    中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(2)》导学案 课题 实际问题与二次函数(2) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值. 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式. 重点难点 重点:1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式,求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值.难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=______时,y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=____时,函数有最______值,是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量?它们之间有什么等量关系? 4.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元,那么一周的利润是多少? 合作探究 问题: 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量.在这个探究中,某商品调整,销量会随之变化.调整的价格包括涨价和降价两种情况. (1)我们先看涨价的情况. 设每件涨价x元,每星期则少卖_________件,实际卖出_________件,销售额为__________________元,买进商品需付__________________元.因此,所得利润____________________________________列出函数解析式后,怎样确定x的取值范围呢? 当x=_______时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价_________元,即定价_________元时,利润最大,最大利润是_________元. (2)我们再看降价的情况. 设每件降价x元,每星期则多卖_________件,实际卖出_________件,销售额为__________________元,买进商品需付__________________元.因此,所得利润 怎样确定x的取值范围呢? 由降价后的定价(60-x)元,不高于现价60元,不低于进价40元可得0≤x≤20. 当x=____________时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价_________元,即定价_________元时,利润最大,最大利润是_________元. 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? .通过上面问题的探究,你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ? 自主尝试 1、某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( )A.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)22、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y关于x的函数关系式为( )A.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x2) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)23、出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=____元时,一天出售该种手工艺品的总利润最大. 当堂检测 1、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。 (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价增加到10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元(X为10的整数倍) (1)设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大?最大的利润是多少元? 3、某公司生产A种产品,它的成本2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,当每年投入的广告费是 x(单位:10万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10万元~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大. 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? 5、夏季空调销售供不应求,某空调厂接到一份紧急订单,要求在10天内(含10天)完成任务. 为提高生产效率,工厂加班加点,接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台,由于机器损耗等原因,当日生产的空调数量达到50台后,每多生产一台,当天生产的所有空调,平均每台成本就增加20元. (1)设第x天生产空调y台,直接写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元,订购价格为每台2 920元,设第x天的利润为W元,试求W与x之间的函数解析式,并求工厂哪一天获得的利润最大,最大利润是多少. 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 《22.3实际问题与二次函数(2)》导学案 课题 实际问题与二次函数(2) 学科 数学 年级 九年级上册 知识目标 1.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值. 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题. 3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式. 重点难点 重点:1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式,求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值.难点:将实际问题转化成二次函数问题. 教学过程 知识链接 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=______时,y的最______值是________。 2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________,顶点坐标是________。当x=____时,函数有最______值,是________。 3.关于销售中的利润问题涉及到哪些量?它们之间有什么等量关系? 4.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元,那么一周的利润是多少? 我们如何利用二次函数模型来解决商品中的利润问题呢?今天我们一起来学习这个内容。板书课题 合作探究 问题: 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量.在这个探究中,某商品调整,销量会随之变化.调整的价格包括涨价和降价两种情况. (1)我们先看涨价的情况. 设每件涨价x元,每星期则少卖l0x件,实际卖出(300-l0x)件,销售额为(60 + x) (300-l0x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润y=(60+x)(300-l0x)一40(300-l0x),即y=-l0x2+100x+6 000. 列出函数解析式后,教师引导学生怎样确定x的取值范围呢? 由300-l0x≥0,得x≤30.再由x≥0,得0≤x≤30. 根据上面的函数,可知: 当x=5时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6250元. (2)我们再看降价的情况. 设每件降价x元,每星期则多卖20x件,实际卖出(300+20x)件,销售额为(60-x) (300+20x)元,买进商品需付40(300+20x)元.因此,所得利润y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x), 即 y=-20x2+100x+6 000. 怎样确定x的取值范围呢? 由降价后的定价(60-x)元,不高于现价60元,不低于进价40元可得0≤x≤20. 当x=2.5时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6125元. 由(1)(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗? 学生最后的出答案:综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知,定价65元时,利润最大.通过上面问题的探究,你能说说运用二次函数求商品利润问题的一般步骤 ?●归纳:审:审清题意,找到变量之间的关系.设:设变量.列:列出函数解析式和自变量的取值范围解:利用公式,求它的最大(小)值.答:确定销售方案 . 自主尝试 某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分率都是x,那么y与x的函数关系是( )DA.y=x2+a B.y=a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(1+x)2 一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y关于x的函数关系式为( )AA.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x2) C.y=60-x2 D.y=60(1+x)2 出售某种手工艺品,若每个获利x元,一天可售出(8-x)个,则当x=____元时,一天出售该种手工艺品的总利润最大.答案:4 当堂检测 1、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下: 若日销售量y是销售价x的一次函数。 (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?(1)设此一次函数关系式为y=kx+b, 则解得k=-1,b=40 故一次函数的关系式为y=-x+40. (2)设所获利润为W元, 则W=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225 所以产品的销售价应定为25元,此时每日的销售利润为225元. 2、某宾馆有50个房间供游客住宿。当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价增加到10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对旅客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加X元(X为10的整数倍) (1)设一天订住的房间数为y。直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式; (3)一天订住多少个房间时。宾馆的利润最大?最大的利润是多少元? (1),且(0≤x≤160,且x为10的正整数倍);(2);(3)订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为10880元. 解析试题分析:本题是二次函数的应用,特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围,直接求顶点坐标.(1)理解每个房间的房价每增加x元,则减少房间间,则可以得到y与x之间的关系;(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去20元,每间的利润与所订的房间数的积就是利润;(3)求出二次函数的对称轴,根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解. 试题解析: 解:(1)由题意得:,且(0≤x≤160,且x为10的正整数倍) (2),即 (3)w= 抛物线的对称轴是:,抛物线的开口向下,当x<170时,w随x的增大而增大,但0≤x≤160,因而当x=160时,即房价是340元时,利润最大, 此时一天订住的房间数是:50-(160÷10)=34间, 最大利润是:34×(340-20)=10880元. 答:一天订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润为10880元. 3、某公司生产A种产品,它的成本2元,售价为3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,当每年投入的广告费是 x(单位:10万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表所示. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式; (3)如果投入的年广告费为10万元~30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大.(1)设二次函数的关系式为 y=ax2+bx+c, ∵当 x=0 时,y=1;当 x=1 时,y=1.5;当 x=2 时,y=1.8.解得 ∴函数的解析式为y=-0.1x2+0.6x+1 (2)根据题意,得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10 (3)S=-x2+5x+10=-(x-)2+∵1≤x≤3,∴当1≤x≤2.5时,S随x的增大而增大. 故当年广告费为10~25万元之间,公司获得的年利润随广告费的增大而增大 4、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少? 解:(1)y=-x+180; (2)w=(x-100)y=-(x-140)2+1 600, 当售价定为140元,w最大为1 600元. 5、夏季空调销售供不应求,某空调厂接到一份紧急订单,要求在10天内(含10天)完成任务. 为提高生产效率,工厂加班加点,接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台,由于机器损耗等原因,当日生产的空调数量达到50台后,每多生产一台,当天生产的所有空调,平均每台成本就增加20元. (1)设第x天生产空调y台,直接写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过50台时)为2 000元,订购价格为每台2 920元,设第x天的利润为W元,试求W与x之间的函数解析式,并求工厂哪一天获得的利润最大,最大利润是多少. 解:(1)∵接到任务的第一天就生产了空调42台,以后每天生产的空调都比前一天多2台, ∴由题意,得第x天生产空调y台,y与x之间的函数解析式为y=40+2x(1≤x≤10).(2)当1≤x≤5时,W=(2 920-2 000)×(40+2x)=1 840x+36 800, ∵1 840>0,∴W随x的增大而增大. ∴当x=5时,W最大=1 840×5+36 800=46 000; 当5<x≤10时,W=[2 920-2 000-20(40+2x-50)]×(40+2x)=-80(x-4)2+46 080. 此时函数图象开口向下,在对称轴右侧,W随着x的增大而减小, 小结反思 今天你学习了什么?有什么收获? 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-5978407 [精] 21.3 第2课时 图形问题、数字问题与体育比赛问题(自主预习+课后集训+答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/21.3 实际问题与一元二次方程

    自主预习 基础达标

    要点1 图形问题
    几何图形应用题,关键是将不规则图形分割或组合成规则图形,找出 与已知量的内在联系,根据面积或体积公式列出方程.

    要点2 数字问题
    若一个两位数的十位数字和个位数字分别为x,y,则这个数可表示为 ;若一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字分别为a,b,c,则这个数可表示为 .

    要点3 体育比赛问题
    每两个队之间都要比赛一场,无主客场之分(通俗地说法就是除了不和自己比赛,其他人都要比).一共比赛的场数= .
    体育比赛问题同握手问题的道理是相同的.





    课后集训 巩固提升
    1. 从正方形铁片上截去一部分宽为3cm(长与正方形的边长相等)的矩形铁片,剩余部分面积为130cm2,则原来铁片的面积为(  )
    A. 169cm2     B. 256cm2 C. 225cm2 D. 196cm2
    2. 有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(  )
    A.

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  • ID:3-5978384 [精] 21.3 第1课时 传播问题、增长率问题与营销问题(自主预习+课后集训+答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/21.3 实际问题与一元二次方程

    自主预习 基础达标

    要点1 传播问题
    传播源+第一轮被传播的+第二轮被传播的=第二轮传播后的 .

    要点2 增长率问题
    此类问题是在某个数据的基础上连续增长(降低)两次得到新的数据,解这类问题需牢记公式
    或 ,其中a表示增长或降低前的数据,x表示增长或降低率,b表示增长或降低后的数据.“+”表示增长,“-”表示降低.

    要点3 营销问题
    解决此类问题首先要清楚几个名称的意义,如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.此类问题常见的等量关系是:总利润=总售价-总成本或总利润= ,利润率=   .





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    1. 某糖厂2019年第一季度糖产量是a吨,如果以后两季度产量的季度平均增长率都是x,那么预计2019年第三季度的产量将是(  )
    A. a(1+x%)2吨    B. ax2吨
    C. a(1+x)2吨 D. a(1-x%)2吨
    2. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭.抽样调查显示,截至2019年初某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2017年初该市汽车拥有量为10万辆,设2017年初至2019年初该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意列方程得(  )
    A. 10(1+x)2=16.9 B. 10(1+2x)=16.9

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  • ID:3-5978376 [精] 21.2.2 第2课时 公式法解一元二次方程(自主预习+课后集训+答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/21.2 解一元二次方程/21.2.2 公式法

    自主预习 基础达标

    要点 公式法解一元二次方程
    1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为   (b2-4ac≥0),其中公式中的a,b,c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
    2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤:
    (1)首先把一元二次方程化为一般形式;
    (2)确定公式中a,b,c的值;
    (3)求出 的值.
    (4)若b2-4ac≥0,则把a,b,c及b2-4ac的值代入求根公式即可求解.当b2-4ac<0时,方程   实数根.






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    1. 用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(  )
    A. a=3,b=2,c=3 B. a=-3,b=2,c=3
    C. a=3,b=2,c=-3 D. a=3,b=-2,c=3
    2. 方程x2+x-1=0的一个根是(  )

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  • ID:3-5978371 [精] 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(自主预习+课后集训+答案)

    初中数学/人教版/九年级上册/第二十一章 一元二次方程/21.2 解一元二次方程/21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

    自主预习 基础达标

    要点1 一元二次方程的根与系数的关系
    若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数.a≠0,b2-4ac≥0)的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=   ,x1·x2=   .

    要点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
    1. 如果x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么x1+x2= ,x1·x2= .
    2. 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时,不要忘记将字母代回原方程验证,需满足 ,因为根与系数的关系是在一元二次方程根的判别式 的前提下使用的.






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    1. 若x1,x2是一元二次方程x2+8x+15=0的两个根,则x1+x2的值是(  )
    A. -8 B. 8 C. -15 D. 15
    2. 已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于(  )
    A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
    3. 已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是(  )
    A. a=-3,b=1 B. a=3,b=1
    C. a=-

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