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初中数学冀教版七年级下册
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  • ID:3-5926366 七年级数学下册10.1不等式说课稿

    初中数学/冀教版/七年级下册/第十章 一元一次不等式和一元一次不等式组/10.1 不等式

    不等式 教材分析: 本章主要内容包括:不等式的有关基本概念,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法,利用不等式(组)解决实际问题和课题学习。此部分内容是在学生已经学过的方程(组)的基础上,进一步讨论不等式,教材首先从数量大小之分说起,这是人们熟知的客观事实。由大小,就有相等或不相等,例如,在引言中给出的不等式2+3>1+3,a+b>c等,用等式可以研究相等关系,要研究不相等关系,也需要专门的数学工具,这就是不等式。 教学目标: (一)知识与技能: 1.使学生感受到生活中存在着大量的不等关系,了解不等式和一元一次不等式的意义; 2.让学生自发地寻找不等式的解,会在数轴上正确地表示出不等式的解集; 3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。 (二)过程与方法:. 1.通过汽车行驶过A地这一实例的研究,使学生体会到数学来源于生活,又服务于生活,培养学生“学数学、用数学”的意识; 2.经历由具体实例建立不等模型的过程,探究不等式的解与解集的不同意义的过程,渗透数形结合的思想。 (三)情感、态度、价值观: 1.通过对不等式、不等式的解与解集的探究,引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,培养他们的合作交流意识; 2.让学生充分体会到生活中处处有数学,并能将它们应用到生活的各个领域中去。 3.培养学生类比的思想方法、数形结合的思想。 教学重点与难点: 1.教学重点:不等式、一元一次不等式、不等式解与解集的意义;在数轴上正确地表示出不等式的解集; 2.教学难点:不等式解集的意义,根据题意列出相应的不等式。 教学方法:探究、合作、质疑 教具:三角尺、多媒体 教学过程: 一、创设情境,提出问题。 多媒体展示 问题1:一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米,要在12:00之前驶过A地,车速应满足什么条件? 问题2:元宵佳节,在燃放各种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02米/秒,人离开的速度为4米/秒,那么导火线的长度应为多少厘米? 设计意图:通过实例创设情境,培养学生观察能力,激发他们的学习兴趣。 二、合作探究新知 (一)不等式、一元一次不等式的概念 学生活动:学生与同伴交流,小组展开讨论,在学生发表自己意见的基础上,归纳结论。 设计意图;引导学生仔细观察并归纳不等式的定义,从而引出一元一次不等式。 多媒体演示: 下列式子中哪些是不等式?哪些是一元一次不等式? (1)a+b=b+a (2) -3<2 (3)x≠1 (4)x+3>6 (5)2+1<3+5 (6)2<5-x (二)不等式的解、不等式的解集。 多媒体展示 问题1.要使汽车在12:00以前驶过A 地,你认为车速应该为多少呢? 问题2.车速可以是每小时85千米吗?每小时82千米呢?每小时75.1千米呢?每小时74千米呢? 问题3.我们曾经学过使方程两边相等的未知数的值就是方程的解,我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解,刚才同学们所说的这些数哪些是不等式2/3x>50的解呢? 问题4.判断下列数中哪些是不等式2/3x>50的解: 76,73 , 79 ,80, 74.9, 75.1 ,90 ,60 你能找出这个不等式其它的解吗?它到底有多少个解?你从中发现了什么规律? 学生活动:让学生通过计算,动手验证,动脑思考,初步体会不等式解及其解集的意义,再归纳结论。 设计意图:遵循学生的认知规律,有意识,有计划,有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思维状态,不知不觉中接受了新知识,分散了难点。 (三)不等式解集的表示方法 1.教师示范 2.多媒体展示 设计意图:教师示范,渗透着数形结合的思想方法,为后续学习作了铺垫。 三.巩固新知 多媒体展示 1.判断下列数中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是? -4, -2.5, 0, 1, 2.5, 3, 3.2, 4.8, 8, 12 2.用不等式表示: (1)a是正数 (2)a是负数 (3)a与5的和小于7 (4)a与2的差大于-7 (5)a的4倍大于8 (6)a的一半小于3 3.直接想出不等式的解集,并在数轴上表示出来。 (1)x+3>6 (2)2x<8 (3)x-2>0 设计意图:巩固对不等式解及其解集的理解,并会在数轴上表示不等式的解集。 四、归纳总结 本节课的重点内容:1.了解不等式和一元一次不等式和意义; 2.会寻找不等式的解,会在数轴上正确地表示出不等式的解集; 3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。 五、布置作业 六、板书设计 10.1.1不等式及其解集 1.不等式、一元一次不等式的概念 2.不等式的解、不等式的解集 3.不等式解集的表示方法 PAGE 1

  • ID:3-5926364 冀教版七年级数学下册第十章10.3解一元一次不等式说课稿

    初中数学/冀教版/七年级下册/第十章 一元一次不等式和一元一次不等式组/10.3 解一元一次不等式

    解一元一次不等式 今天我说课的内容是冀教版数学七年级下第10章第3节的第2课时《解一元一次不等式》,下面我就分别从教材、教法、学法、教学过程和板书设计五个方面来说明我对这节课的教学设想。 一、教材分析 <一> 教材的地位和作用 在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质,本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法,并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式。只有学生掌握好了一元一次不等式的解法,才能更好学习后面的不等式组及不等式(组)的应用。同时,学习本节课时涉及的类比思想、化归思想对后继学习也是十分有益的,所以本课的教学不能仅仅停留在知识的探索上,更要注重数学方法和数学思想的渗透和传播。日常生产生活中不等关系的情况常常发生,所以不等式在日常生产生活中的应用很广泛,它与数、式、方程、函数甚至几何图形有着密切的联系,它几乎渗透到初中数学的每一部分。可见,本节课内容在本章乃至整个初中数学中都具有承上启下的作用,处于一个基础性、工具性的地位,不仅是对已有知识的运用和深化,还为后继学习打下基础。 <二>教学目标 根据《课标》要求和上述教材分析,结合学生的实际情况,我制定了以下教学目标: 知识与技能 1.使学生会一元一次不等式的概念;能解一元一次不等式。 2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中,加深化归思想。 过程与方法 学生在参与活动过程中,通过联系一元一次方程的解法,自主探索解一元一次不等式的一般步骤,体会数学学习中类比和化归的数学思想。在数轴上正确表示不等式的解集,加深对数形结合思想方法的理解。 情感态度和价值观 在积极参与数学活动的过程中,通过小组之间的竞争,培养学生集体主义情感;通过讨论发言,培养学生勇于发言、合作交流和团结协作的意识和尊重他人的态度以及独立思考的习惯。 <三>教学重难点和教学关键 根据上面的教材分析和《课标》要求,确定本节课的教学重点是:正确求一元一次不等式的解集。为突出重点,本节课让学生积极参与到活动中去,自主探索并掌握一元一次不等式的解法。根据教材分析和学生对不等式的性质3掌握不好的实际情况,特确定教学难点是:一元一次不等式的解法中,不等号方向改变问题。为突破难点,教学关键是运用类比的方法, 比较解不等式和解方程不同的地方,并加强“去分母”和“化系数为1”这两个步骤的训练。 二、说教法 为创设宽松民主的学习气氛,激发学生思维的主动性,顺利完成教学目标,坚持“以学生为主体,以教师为主导”的原则,即“以学生活动为主,教师讲述为辅,学生活动在前,教师点拨评价在后”的原则。鉴于教材特点以及学生的年龄特点、心理特征和认知水平,主要采用动手操作、观察比较及问题教学法,用层层推进的提问启发学生深入思考,主动探究,主动获取知识。给学生充分的自主探索时间,引导学生与已有知识联系,减少学生获取新知识的难度。通过教师的引导,启发调动学生的积极性,组织学生参与“探究——讨论——交流——总结” 的学习活动过程,让学生在课堂上多活动、多观察,主动参与到整个教学活动中来。同时,还充分利用多媒体教学,提高课堂实效,让每个学生动手、动口、动眼、动脑,培养学生多方面的能力。 三、说学法 本堂课立足于学生的“学”,要求学生多动手,多观察,从而可以帮助学生形成分析、类比、归纳的思想方法。在类比和讨论中让学生在“做中学”,提高学生利用已学知识去主动获取新知识的能力。因此在课堂上采用分组操作、自主探究和合作交流的方法组织教学,鼓励学生积极参与其中,使学生真正成为教学的主体,体验参与的乐趣和成功的喜悦。 说教学过程 <一>、课前检测 利用不等式的性质解下列不等式 <二>、出示学习目标 同学们:今天我们学习解一元一次不等式。通过本节课,必须达到两个目的:1.会一元一次不等式的概念,能解一元一次不等式。 2.在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中,加深化归思想。 【设计意图】打破了一贯由复习旧知导入新课的教学模式,一上课就让学生知道本节课的目标,可以使学生学习做到有的放矢,从而提高学习效率。 <三>、预习导学 1.阅读课本,回答思考部分的问题,能说出一元一次不等式定义,并会举例说明。 问题1:那什么是一元一次不等式呢?先来观察下列不等式: 这些不等式有哪些共同特点? 通过以上问题归纳得到一元一次不等式的概念:只含一个未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,像这样的不等式叫一元一次不等式。 【设计意图】问题1引导学生从众多的不等式中,通过归纳其共同特点,得到一元一次不等式的概念,培养了学生观察、归纳和语言表达能力。 2.研究解法 利用不等式的性质解不等式 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 【设计意图】不等式的性质是对不等式进行变形的依据,而本课的重点就是要掌握一元一次不等式的解法,所以复习旧知是为学习新知做准备。 问题2:回忆解一元一次方程的一般步骤? 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1,其依据是等式的性质。 【设计意图】联系一元一次方程的解法,可以类比探究一元一次不等式的解法。 通过前面的学习,我们知道解不等式的过程,就是将不等式变形成x>a或xa或x、交流与展示 那怎么来解一元一次不等式呢?有具体的解法吗?我们一起来仿照122页例1解下列不等式并在数轴上表示解集。 规则是:以小组为单位,最快最准确地完成导学案上所有的题目并把相应的>,<互换变成6道题,六个小组分别去做,但前提必须是全体组员都准确地完成所有题目。完成后的小组请报告,由老师来组织评定。 【设计意图】前面两轮是为探索新知,后面两轮是为巩固新知。坚持“以学生为主体,以教师为主导”的原则,组织学生在课堂上多活动、多观察,主动参与到整个教学活动中来。 试解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来: 大家马上拿起笔进行运算。但一部分同学在完成了第(1)小题后,速度渐渐慢了下来。很明显,难度有了提高。个别同学不再动笔,陷入了沉思。 【设计意图】让学生板演,老师可及时观察到学生的掌握情况,并做进一步强调,这有助于提高学生的计算能力。学生及时巩固所学新知,通过训练达到熟练掌握一元一次不等式的解法的目的,使本节课的教学重点得以进一步落实。 <五>、当堂检测 解下列不等式,并在数轴上表示解集 【设计意图】当堂检测检测学生的掌握情况。 <六>、归纳总结 本节课你学会了些什么?应注意什么? 1.一元一次不等式的概念; 2.解一元一次不等式的步骤; 3.解一元一次不等式与解一元一次方程的异同点。 【设计意图】课堂小结一方面可让学生回顾自己的学习过程,加强反思,提炼知识;另一方面可让老师及时了解学生掌握情况,便于教学反思。 五.说板书设计 1.定义:…… 解一元一次不等式的一般步骤: 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1 注:不等号方向改变问题 【设计意图】板书简明清楚,重点突出,使学生加深了学生对重点知识的理解和掌握。 以上内容,我从“说教材”、“说教法”、“说学法”、“说教学过程” 、“说板书设计”几个方面来说明这堂课“教什么”和“怎么教”,也阐述了“为什么这样教”。 我的说课到此结束,希望各位老师对我提出宝贵的意见,谢谢! PAGE 3

  • ID:3-5925448 冀教版七年级数学下册10.5一元一次不等式组一元一次不等式组及其解法说课稿

    初中数学/冀教版/七年级下册/第十章 一元一次不等式和一元一次不等式组/10.5 一元一次不等式组

    一元一次不等式组及其解法 尊敬的各位老师: 下午好! 我说课的课题是冀教版七年级下册第10章第5节《一元一次不等式组》。 我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学手段、教学过程这六个方面来进行说明。 一、教材分析 前面我们认识了一元一次不等式,学习了一元一次不等式的解法及应用,本节主要学习一元一次不等式组及其解法,这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键,同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式,一元一次不等式的解集,解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念,尝试对学生类比推理能力进行培养.在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯,也要培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备. 二、学情分析 从学生学习的心理基础和认知特点来说,学生已经学习了一元一次不等式,并能较熟练地解一元一次不等式,能将简单的实际问题抽象为数学模型,有一定的数学化能力。但学生将两个一元一次不等式的解集在同一数轴上表示会产生一定的困惑。这个年龄段的学生,以感性认识为主,并向理性认知过渡,所以,我对本节课的设计是通过学生所熟悉的问题情境,让学生独立思考,合作交流,从而引导其自主学习。 基于对学情的分析,我确定了本节课的教学难点是:借助数轴正确理解不等式组的解集。 三、教学目标分析 在教材分析和学情分析的基础上,结合预设的教学方法,确定了本节课的教学目标如下: 一、知识与技能: 1.了解一元一次不等式组及解集的概念。 2.会利用数轴解较简单的一元一次不等式组。 二、过程与方法: 培养学生分析、解决实际问题的能力。 三、情感态度与价值观: 通过实际问题的解决,体会数学知识在生活中的应用,激发学生的学习兴趣。能在解决问题过程中勤于思考、乐于探究,体验解决问题策略的多样性,体验数学的价值。 四、教学重、难点分析 教学重点: 1.理解有关不等式组的概念. 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组. 教学难点:借助数轴正确理解不等式组的解集。 五、教学手段分析 情境教学法、直观演示法、操作发现法、设疑指导法、讨论交流法、多媒体教学法。 六、教学过程 本节课的教学流程如下:实际问题——一元一次不等式组——解集——解法——练习。 本节课我设计了六个活动。 活动一 创设情境 导入新课 问题1: 现有两根长度分别为3cm和2cm的木条,若要再找一根木条与这两根木条一起钉成一个三角形木框,则第三根木条的长度L应满足什么条件? 教师提出问题,学生独立思考,回答问题。 教学效果预估与对策:预计学生对三角形三边关系可能有所遗忘,教师应给予提示。 设计意图:这是一个与三角形相关的问题,要求学生能综合运用已有的知识,独立思考、自主探索、尝试解决,促使学生在探索和解决问题的过程中获得体验、得到发展,学会新的东西,发展自己的思维能力。 活动二 引领学生 探索新知 1.一元一次不等式组 通过上面两个实际问题的探究,归纳概括出一元一次不等式组的概念和一元一次不等式组解集的概念。 即:把两个(或两个以上)一元一次不等式合在一起,就得到了一个一元一次不等式组。 2.一元一次不等式组的解集 同时满足不等式(1)、(2)的未知数x应是这两个不等式解集的公共部分。在同一数轴上表示出这两个解集,找到公共部分,就是所列不等式组的解集。 不等式组中几个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。 师生活动:在活动一的基础上,将学生得出的结论进行归纳总结。教师要注意倾听学生叙述问题的准确性和全面性。 教学效果预估与对策:估计多数学生在经历了上述的探索过程后,能够对这个结论有所认识,但是未必能够全面得出结论。因此,教师要耐心加以引导。 通过学生的自主探究,合作交流,培养学生的总结归纳能力。 活动三 范例讲解 学以致用 例题:解下列不等式组 师生活动:师生共同完成,教师板书,强调解题步骤。 活动四:反馈练习 巩固提高 出示课件 求下列不等式组的解集。 师生活动:教师展示多媒体课件,学生独立完成。 设计意图:这两道习题的设置让学生进一步理解一元一次不等式组解集的概念,会用数轴表示一元一次不等式组的解集。题目设置一个比较简单,一个比较难。是考虑到班级两级分化比较严重所设计的,体现出了分层教学的思想,让大部分同学可以感受到学习的乐趣。 活动五:反思小结,体验收获 我提出了二个问题: 一元一次不等式组的概念是什么? 解一元一次不等式组的关键是什么? 在课堂小结的过程中,教师提出问题,学生回答,互相补充. 教学效果预估与对策:预计学生在利用本节知识解决所提出的问题的过程中,能够总结出经验和教训,有所收获。教师要加以引导,师生之间相互加以完善。 设计意图:学生通过第一个问题,可以回顾出本节课所学到的知识;通过第二个问题,使学生在与一元一次不等式的对比中加深对一元一次不等式组的理解,并形成知识网络。 活动六 知识反馈,布置作业 为了让不同的人有不同的收获,我把作业分为选做题和必做题.优等生做1,2题,上进生做1题.达到分层教学的目的. PAGE 1

  • ID:3-5870512 2018-2019学年河北省石家庄市新乐市七年级(下)期中数学试卷(PDF解析版)

    初中数学/期中专区/七年级下册

    第 1 页(共 13 页) 2018-2019 学年河北省石家庄市新乐市七年级(下)期中数学试卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.(3 分)下列说法正确的是( ) A.相等的角是对顶角 B.一个角的补角必是钝角 C.同位角相等 D.一个角的补角比它的余角大 90° 2.(3 分)如图所示,直线 a,b 被直线 c 所截,∠1 与∠2 是( ) A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角 3.(3 分)《语文课程标准》规定:7﹣9 年级学生,要求学会制订自己的阅读计划,广泛阅读各种类型的读物,课 外阅读总量不少于 260 万字,每学年阅读两三部名著.那么 260 万用科学记数法可表示为( ) A.26×10 5 B.2.6×10 2 C.2.6×10 6 D.260×10 4 4.(3 分)在如图图形中,线段 PQ 能表示点 P 到直线 L 的距离的是( ) A. B. C. D. 5.(3 分)已知 a m =2,a n =3,则 a 3m+2n 的值是( ) A.6 B.24 C.36 D.72 6.(3 分)在下列图形中,由∠1=∠2 一定能得到 AB∥CD 的是( ) 第 2 页(共 13 页) A. B. C. D. 7.(3 分)已知 是方程 kx+2y=﹣2 的解,则 k 的值为( ) A.﹣3 B.3 C.5 D.﹣5 8.(3 分)如果 x 2 +kxy+36y 2 是完全平方式,则 k 的值是( ) A.6 B.6 或﹣6 C.12 D.12 或﹣12 9.(3 分)如图,AD 是∠BAC 的平分线,EF∥AC 交 AB 于点 E,交 AD 于点 F,若∠1=30°,则∠AEF 的度数为 ( ) A.60° B.120° C.140° D.150° 10.(3 分)小亮解方程组 的解为 ,由于不小心滴上了两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则这 第 3 页(共 13 页) 两个数分别为( ) A.4 和 6 B.6 和 4 C.2 和 8 D.8 和﹣2 11.(3 分)如果方程组 的解与方程组 的解相同,则 a+b 的值为( ) A.﹣1 B.1 C.2 D.0 12.(3 分)如图,长方形 ABCD 中,AB=8,第一次平移长方形 ABCD 沿 AB 的方向向右平移 6 个单位,得到长方 形 A1B1C1D1,第 2 次平移将长方形 A1B1C1D1 沿 A1B1 的方向向右平移 6 个单位,得到长方形 A2B2C2D2,……第 n 次平移将长方形 An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1的方向平移 6 个单位,得到长方形 AnBn?nDn(n>2),若 ABn的长度为 2018, 则 n 的值为( ) A.334 B.335 C.336 D.337 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 13.(3 分)8 2018 ×(﹣0.125) 2019 = . 14.(3 分)已知 3x 2m ﹣2y n =1 是关于 x、y 的二元一次方程,则 mn= . 15.(3 分)已知方程 2x﹣3y=5,用含有 x 的式子表示 y 为 . 16.(3 分)如果实数 a,b 满足 a+b=6,ab=8,那么 a 2 +b 2 = . 17.(3 分)若(x+p)与(x+5)的乘积中不含 x 的一次项,则 p= . 18.(3 分)如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 A,B 分别落在 A′,B′的位置,若∠A′FD=50°,则∠ CEF 等于 . 19.(3 分)已知三元一次方程组 ,则 x+y+z= . 第 4 页(共 13 页) 20.(3 分)如图是我们常用的折叠式小刀,刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两 条平行的线段,转动刀片时会形成∠1 与∠2,若∠1=75°,则∠2 的度数为 . 三、解答题(共 7 小题,共 60 分) 21.(7 分)先化简,再求值:(3x+2)(3x﹣2)﹣10x(x﹣1)+(x﹣1) 2 ,其中 x=﹣1. 22.(7 分)若关于 x、y 的二元一次方程组 的解 x、y 互为相反数,求 m 的值. 23.(8 分)图 1 是一个长为 2m,宽为 2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形,然后按图 2 拼成 一个正方形. (1)直接写出图 2 中的阴影部分面积; (2)观察图 2,请直接写出下列三个代数式(m+n) 2 ,(m﹣n) 2 ,mn 之间的等量关系; (3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:若 p+q=9,pq=7,求(p﹣q) 2 的值, 24.(8 分)如图,E 为 DF 上的点,B 为 AC 上的点,DF∥AC,∠C=∠D,求证:∠2=∠1. 25.(9 分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题,原文是:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容 二斛,问大小器各容几何.”意思是:有大小两种盛酒的桶,已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛,是 古代的一种容量单位),1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛.1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛?请解答. 26.(10 分)(1)你能求出(a﹣1)(a 99 +a 98 +a 97 +…+a 2 +a+1)的值吗?遇到这样的问题,我们可以先从简单的情况 第 5 页(共 13 页) 入手,分别计算下列各式的值. (a﹣1)(a+1)= ; (a﹣1)(a 2 +a+1)= ; (a﹣1)(a 3 +a 2 +a+1)= ;… 由此我们可以得到:(a﹣1)(a 99 +a 98 +…+a+1)= . (2)利用(1)的结论,完成下面的计算: 2 199 +2 198 +2 197 +…+2 2 +2+1. 27.(11 分)课题学习:平行线的“等角转化”功能. 阅读理解: 如图 1,已知点 A 是 BC 外一点,连接 AB,AC. 求∠BAC+∠B+∠C 的度数. (1)阅读并补充下面推理过程 解:过点 A 作 ED∥BC,所以∠B=∠EAB,∠C= . 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°, 所以∠B+∠BAC+∠C=180° 解题反思: 从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将∠BAC,∠B,∠C“凑”在一起,得出角 之间的关系,使问题得以解决. 方法运用: (2)如图 2,已知 AB∥ED,求∠B+∠BCD+∠D 的度数.(提示:过点 C 作 CF∥AB) 深化拓展: (3)如图 3,已知 AB∥CD,点 C 在点 D 的右侧,∠ADC=70°.点 B 在点 A 的左侧,∠ABC=60°,BE 平 分∠ABC,DE 平分∠ADC,BE,DE 所在的直线交于点 E,点 E 在 AB 与 CD 两条平行线之间,求∠BED 的度 数. 第 6 页(共 13 页) 第 7 页(共 13 页) 2018-2019 学年河北省石家庄市新乐市七年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.【解答】解:A、对顶角相等,相等的角不一定是对顶角,故本选项错误; B、锐角的补角是钝角,直角的补角是补角,钝角的补角是锐角,故本选项错误; C、只有两直线平行,同位角才相等,故本选项错误; D、一个角 α的补角为 180°﹣α,它的余角为 90°﹣α,(180°﹣α)﹣(90°﹣α)=90°,故本选项正确. 故选:D. 2.【解答】解:如图所示,∠1 和∠2 两个角都在两被截直线直线 b 和 a 同侧,并且在第三条直线 c(截线)的同旁, 故∠1 和∠2 是直线 b、a 被 c 所截而成的同位角. 故选:A. 3.【解答】解:260 万用科学记数法可表示为 2.6×10 6 . 故选:C. 4.【解答】解:图 A、B、C 中,线段 PQ 不与直线 L 垂直,故线段 PQ 不能表示点 P 到直线 L 的距离; 图 D 中,线段 PQ 与直线 L 垂直,垂足为点 Q,故线段 PQ 能表示点 P 到直线 L 的距离; 故选:D. 5.【解答】解:∵a m =2,a n =3, ∴a 3m+2n =(a m ) 3 ×(a n ) 2 =2 3 ×3 2 =72. 故选:D. 6.【解答】解:如下图, ∵∠1=∠2, 第 8 页(共 13 页) ∴AB∥CD, 故选:A. 7.【解答】解:把 代入方程得:﹣2k+4=﹣2, 解得:k=3, 故选:B. 8.【解答】解:∵x 2 +kxy+36y 2 是一个完全平方式, ∴k=±2×6,即 k=±12, 故选:D. 9.【解答】解:∵EF∥AC, ∴∠CAD=∠1=30°, ∵AF 是∠BAC 的平分线, ∴∠BAC=2∠2=2×30°=60°, ∵EF∥AC, ∴∠AEF=180°﹣∠BAC=120°. 故选:B. 10.【解答】解:∵x=5 是方程组的解, ∴2×5﹣y=12,∴y=﹣2, ∴2x+y=2×5﹣2=8, ∴●是 8,★是﹣2. 故选:D. 11.【解答】解:把 代入方程组 , 得: , 第 9 页(共 13 页) ①+②,得:7(a+b)=7, 则 a+b=1. 故选:B. 12.【解答】解:∵AB=8,第 1 次平移将矩形 ABCD 沿 AB 的方向向右平移 6 个单位,得到矩形 A1B1C1D1, 第 2 次平移将矩形 A1B1C1D1 沿 A1B1的方向向右平移 6 个单位,得到矩形 A2B2C2D2…, ∴AA1=6,A1A2=6,A2B1=A1B1﹣A1A2=8﹣6=2, ∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=6+6+2=14, ∴AB2 的长为:6+6+8=20; ∵AB1=2×6+2=14,AB2=3×6+2=20, ∴ABn=(n+1)×6+2=2018, 解得:n=335. 故选:B. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分) 13.【解答】解:原式=8 2018 ×(﹣ ) 2018 ×( ) =[8 2018 ×(﹣ ) 2018 ]×( ) =[8×(﹣ )] 2018 ×(﹣ ) =1×( ) =﹣ , 故答案为: . 14.【解答】解:∵3x 2m ﹣2y n =1 是关于 x、y 的二元一次方程, ∴2m=1,n=1, ∴m=0.5, ∴mn=0.5×1=0.5, 故答案为:0.5. 15.【解答】解:方程 2x﹣3y=5, 第 10 页(共 13 页) 解得:y= , 故答案为:y= 16.【解答】解:∵a+b=6,ab=8, ∴a 2 +b 2 =(a+b) 2 ﹣2ab=36﹣16=20, 故答案为:20 17.【解答】解:(x+p)(x+5)=x 2 +5x+px+5p=x 2 +(5+p)x+5p, ∵乘积中不含 x 的一次项, ∴5+p=0, 解得 p=﹣5, 故答案为:﹣5. 18.【解答】解:∵∠A′FD=50°, ∴∠A'FA=130°, 又∵∠AFE=∠A'FE, ∴∠AFE=65°, 又∵BC∥AD, ∴∠CEF=∠AFE=65°, 故答案为:65°. 19.【解答】解: , ①+②+③,得 2x+2y+2z=22, ∴x+y+z=11, 故答案为:11. 20.【解答】解:如图,过 E 作 EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, 第 11 页(共 13 页) ∴∠1=∠AEF,∠2=∠CEF, ∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°, 又∵∠1=75°, ∴∠2=15°. 故答案为:15°. 三、解答题(共 7 小题,共 60 分) 21.【解答】解:原式=9x 2 ﹣4﹣10x 2 +10x+x 2 ﹣2x+1=8x﹣3, 当 x=﹣1 时,原式=8×(﹣1)﹣3=﹣11. 22.【解答】解:由已知得:x+y=0, 则 ,解得: , ∴2×2﹣2=m﹣18, ∴m=20. 23.【解答】解:(1)(m﹣n) 2 或(m+n) 2 ﹣4mn; (2)(m﹣n) 2 =(m+n) 2 ﹣4mn; (3)当 p+q=9,pq=7 时, (p﹣q) 2 =(p+q) 2 ﹣4pq, =9 2 ﹣4×7, =81﹣28, =53. 24.【解答】证明:∵DF∥AC, ∴∠C=∠CEF, 第 12 页(共 13 页) 又∵∠C=∠D, ∴∠CEF=∠D, ∴BD∥CE, ∴∠3=∠4, 又∵∠3=∠2,∠4=∠1, ∴∠2=∠1. 25.【解答】解:设 1 个大桶可以盛酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛, 则 , 解得: , 答:1 个大桶可以盛酒 斛,1 个小桶可以盛酒 斛. 26.【解答】解:(1)(a﹣1)(a+1)=a 2 ﹣1, (a﹣1)(a 2 +a+1)=a 3 +a 2 +a﹣a 2 ﹣a﹣1=a 3 ﹣1, (a﹣1)(a 3 +a 2 +a+1)=a 4 +a 3 +a 2 +a﹣a 3 ﹣a 2 ﹣a﹣1=a 4 ﹣1, (a﹣1)(a 99 +a 98 +…+a+1)=a 100 ﹣1, 故答案为:a 2 ﹣1,a 3 ﹣1,a 4 ﹣1,a 100 ﹣1; (2)2 199 +2 198 +2 197 +…+2 2 +2+1 =(2﹣1)×(2 199 +2 198 +2 197 +…+2 2 +2+1) =2 200 ﹣1. 27.【解答】解:(1)∵ED∥BC, ∴∠C=∠DAC, 故答案为:∠DAC; (2)过 C 作 CF∥AB, ∵AB∥DE, ∴CF∥DE, 第 13 页(共 13 页) ∴∠D=∠FCD, ∵CF∥AB, ∴∠B=∠BCF, ∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°, ∴∠B+∠BCD+∠D=360°, (3)如图 3,过点 E 作 EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥CD∥EF, ∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF, ∵BE 平分∠ABC,DE 平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°, ∴∠ABE= ∠ABC=30°,∠CDE= ∠ADC=35°, ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.

  • ID:3-5690676 冀教版数学七年级下册6.1二元一次方程组课件共28张PPT

    初中数学/冀教版/七年级下册/第六章 二元一次方程组/6.1 二元一次方程组


    冀教版数学七年级下册6.1《二元一次方程组》 课件共28张pptPPT二元一次方程组
    冀教版数学七年级下册第六章第一节
    学习目标:
    1、理解二元一次方程、二元一次方程组的概念
    2、理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念
    3、会检验一组未知数的值是否是方程的解或方程组的解
    4、能通过设两个未知数,将实际问题转化为二元一次方程组
    小组探究
    思考一:上述方程有什么特点
    思考二:你能给它取名吗
    ================================================
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  • ID:3-5542012 [精] (公开课)三角形的内角和定理 课件(12张PPT)+教案+学案

    初中数学/冀教版/七年级下册/第九章 三角形/9.2 三角形的内角

    三角形的内角和定理 课件:12张PPT 三角形的内角和定理学案 学习目标: 理解三角形的内角,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于。 学习重点:三角形内角和定理及应用。 学习难点:三角形内角和定理的证明及其简单应用。 学习过程: 活动一:复习回顾 问题一:三角形的内角和等于多少度? 问题二:你是如何得到这个结论的? 活动二:剪拼实验 如何用剪拼的方法验证△ABC的内角和等于180°? 活动三:推理验证 证明三角形的内角和等于180° (根据平角的定义和平行线的性质) 活动四:应用新知 例1: 直角三角形的两锐角之和是多少度? 等边三角形的一个内角是多少度? 例2:在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A=___,∠B=___,∠C=___. 例3:在△ABC中,∠A=105°,∠B-∠C=15°,试求∠B,∠C的度数。 归纳总结:谈谈本节课的收获 作业: 1.A组第1、2、4题;B组 2.同步练习册第74页 拓展作业: 1.三角形的内角和定理其它的说理方法 2. 思考: (1)一个三角形最多有几个直角,为什么? (2)一个三角形最多有几个钝角,为什么? (3)一个三角形至少有几个锐角,为什么? ================================================ 压缩包内容: 三角形的内角和定理 学案.docx 三角形的内角和定理 教学设计.docx 三角形的内角和定理 课件.ppt

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  • ID:3-5516586 2019年春冀教版 七年级数学下册 7.5平行线的性质 同步练习(含答案)

    初中数学/冀教版/七年级下册/第七章 相交线与平行线/7.5 平行线的性质

    冀教版 2019年 七年级数学下册 平行线的性质 同步练习 一、选择题 如图,AB∥CD,直线l交AB于点E,交CD于点F,若∠2=80°,则∠1等于( )  A.120° B.110° C.100° D.80° 如图,已知∠1=60°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为( )  A.70° B.100° C.110° D.120° 如图,AB∥CD,DA⊥AC,垂足为A,若∠ADC=35°,则∠1的度数( ) A.65° B.55° C.45° D.35°  如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=35°,那么∠B的度数为( )  A.35° B.45° C.55° D.145° 如图,已知AB∥CD,BC平分∠ABE,∠C=33°,则∠CEF的度数是( )  A.16° B.33° C.49° D.66° 如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为( )  A.65° B.55° C.45° D.35° 如图,一条公路两次转弯后又回到原来的方向,若第一次转弯时∠B=140°,则∠C的度数( ) A.140° B.40° C.100° D.180°  如图,小华把三角板的直角顶点放在直线a上,两条直角边与直线b相交,如果a∥b,且∠1=40°,则∠2的度数为( )  A.100° B.110° C.120° D.130° 如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角是( ) A.42°,138° B.都是10° C.42°,138°或42°,10° D.以上都不对 ================================================ 压缩包内容: 2019年春冀教版 七年级数学下册 7.5平行线的性质 同步练习.doc

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  • ID:3-5516584 2019年春 冀教版七年级数学下册 6.3二元一次方程组的应用 同步练习(含答案)

    初中数学/冀教版/七年级下册/第六章 二元一次方程组/6.3 二元一次方程组的应用

    冀教版 2019年 七年级数学下册 二元一次方程组的应用 同步练习 一、选择题 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?设安排x天精加工,y天粗加工.为解决这个问题,所列方程组正确的是(   ). A.? B. C.? D. 小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元.设1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x,y所适合的一个方程组是(  ). A.? B. C.? D. 如图,10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米,则依题意列方程组正确的是(   ).  A.?? B.? ??C.?? D. .端午节时,老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个,其中荷包每个4元,五彩绳每个3元,设老师购买荷包x个,五彩绳y个,根据题意,下列列出的方程组正确的是(  ). A.?? B. C.? D. 某校九年级(2)班40名学生为“希望工程”捐款,共捐款100元,捐款情况如下表:  表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚,若设捐款2元的有x名学生,捐款3元的有y名学生,根据题意得方程组( )  甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元,则下列方程组正确的是( )  为了丰富同学们的课余生活,体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍,若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元,小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍,若设每副羽毛球拍为x元,每副乒乓球拍为y元,列二元一次方程组得(  ) A. B. C. D. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住,某旅行团15人准备同时租用这三种客房共5间,如果每个房间都住满,租房方案有( ) A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 ================================================ 压缩包内容: 2019年春 冀教版七年级数学下册 6.3二元一次方程组的应用 同步练习.doc

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  • ID:3-5506058 冀教版七年级下册第十一章因式分解教案

    初中数学/冀教版/七年级下册/第十一章 因式分解/本章综合与测试

    11.1因式分解 教学设计思想 因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一,因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的,它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的应用,也为以后学习分式的约分与通分、解方程(组)及三解函数式的恒等变形提供了必要的基础,因此学好因式分解对于代数知识的后续学习,具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法,运用公式法来进行因式分解,必须以理解因式分解的概念为前提,所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对初一学生还比较生疏,接受起来有一定难度,再者本节还没涉及因式分解的具体方法,所以理解因式分解与整式乘法的相互关系,并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点. 教学目标 知识与技能: 1.知道因式分解与整式乘法之间的区别和联系. 2.能判断因式分解的正误,知道因式分解的过程,会进行简单的因式分解. 过程与方法: 3.经历因式分解的过程,发展和培养观察分析和应用的能力. 4.经历探索因式分解与整式乘法之间的关系,形成逆向思维能力. 教学重点及难点 重点:了解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法之间的关系,会逆用乘法分配律把多项式因式分解. 难点:正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系. 突破:通过“观察与思考”,引导学生进一步明确因式分解的意义,找出因分解与整式乘法的关系,然后老师根据学生的探究情况总结讲解,最后通过练习加强学生理解。 教学方法 1.采用以设疑探究的引课方式,激发学生的求知欲望,提高学生的学习兴趣和学习积极性。 2.把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线,训练学生思维,以设疑——感知——概括——运用为教学程序,充分遵循学生的认知规律,使学生能顺利地掌握重点,突破难点,提高能力。 3.在课堂教学中,引导学生体会知识的发生发展过程,坚持启发式,鼓励学生充分地动脑、动口、动手,积极参与到教学中来,充分体现了学生的主动性原则。 4.在充分尊重教材的前提下,融教材练习、想一想于教学过程中,增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目,为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。 5.改变传统言传身教的方式,利用计算机辅助教学手段进行教学,增大教学的容量和直观性,提高教学效率和教学质量。 课时安排 1课时 教具准备 投影仪,多媒体 教学过程设计: 一、提出问题,创设情境 问题:看谁算得快?(屏幕出示问题) (1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400 (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000 (3)若x=-3,则20x2+60x=20x(x+3)=20x(-3)(-3+3)=0 二、观察分析,探究新知 (1)请每题想得最快的同学谈思路,得出最佳解题方法(同时计算机出示答案) (2)试着做做: 根据多项式的乘法,把下列多项式写成几个因式乘积的形式: (1)7x-21=7(x-3); (2)2x2-x=x(_________); (3)a2b-2ab2=ab(_______); (4)x2-1=(x+1)(_______). (3)类比小学学过的因数分解概念,(例42=2×3×7 ④)得出因式分解概念。 板书课题: 因式分解 1.因式分解概念:把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式。 三、独立练习,巩固新知 1.下列各式从左到右哪些是因式分解?(屏幕出示问题) (1)x2-x=x(x-1)?????????????? (√) (2)a(a-b)=a2-ab??????????? (×) (3)(a+3)(a-3)=a2-9?????????? (×) (4)a2-2a+1=a(a-2)+1?????????? (×) (5)x2-4x+4=(x-2)2???????????? (√) 2.学生完成教科书p143做一做。 3.因式分解与整式乘法的关系: 因式分解 结合:a2-b2=========(a+b)(a-b) 整式乘法 说明:从左到右是因式分解其特点是:由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式;从右到左是整式乘法其特点是:由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论:因式分解与整式乘法正好相反。 问题:你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系,举出几个因式分解的例子吗? (如:由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1) 由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等等) 4.练习:(教科书P143) 点拨:1.(2)、(3)是. 2.(1)x+2 (2)1-y (3)4x-1 (4)a+3 四、例题教学,运用新知: 例:把下列多项式分解因式:(计算机演示) (1) x2-x (2)a2-1 (3)10x+5y (4)3xy+3xz 练习1:填空:(计算机演示) (1)∵2xy( )=2x2y-6xy2 ∴2x2y-6xy2=2xy( ) (2)∵xy( )=2x2y-6xy2 ∴2x2y-6xy2=xy( ) (3)∵2x( )=2x2y-6xy2 ∴2x2y-6xy2=2x( ) 五、整理知识,形成结构(即课堂小结) 1.因式分解的概念 因式分解是整式中的一种恒等变形 2.因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形,也是思维方向相反的两种思维方式,因此,因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。 六、布置作业 1.教科书P143习题1、2 2.选做题:①x2+x-m=(x+3)( ),且m= . ②x2-3x+k=(x-5)( ),且k= . 七、板书设计 11.1因式分解 试着做做 因式分解与整式乘法关系 例题 因式分解概念: 11.2提公因式法 目标与分析 目标:(1)使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,能确定多项式各项的公因式; (2)会用提取公因式法进行因式分解. 分析:根据学生在上一节课的经验,学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断,而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然,相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固。因此,本课由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力;引导学生由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解,再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解,进一步发展学生的类比思想;寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力。 问题诊断分析 学生在寻找公因式的过程中会出现遗漏,寻找错误等情况,教师在讲解的时候要提醒学生进行验算;另外提出带有负号的公因式后的另一个式子的符号要把握好。 教学过程分析 第一环节 引入 问题1:计算:(1) 设计意图:引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算(因数分解)这一特殊算法,使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握扫清障碍. 师生活动:学生对于利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉,能很快找到这个式子各项有的相同因数,在提出公因数后,很快得出这一题的计算结果是7。 第二环节 想一想 问题2:多项式 ab+ac中,各项有相同的因式吗?多项式 x2+4x呢?多项式mb2+nb–b呢? 结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 设计意图:在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后,再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式. 师生活动:教师提出问题后主要由学生总结,由于有了第一环节的铺垫,再从数过渡到式,学生能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式,知道公因式的概念。 第三环节 议一议 设计意图:由于第二环节提供的几个多项式比较简单,不能反映公因式的全部特征,而通过本环节中寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式,引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力,顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法,培养学生的初步归纳能力。 师生活动:学生知道每一个多项式都由两部分组成:系数部分与字母部分,因此,有必要将系数部分与字母部分分开讨论。在教师的引导下,学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分,最后找到这个多项式的公因式。 第四环节 试一试 问题4:将以下多项式写成几个因式的乘积的形式: (1)ab+ac (2)x2+4x (3)mb2+nb–b 结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法. 设计意图:让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解,为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备. 师生活动:由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用,学生能较快地从数的分解过渡到字母的因式分解。学生在刚开始可能还是不能够按照正确的步骤去找到一个多项式的公因式,教师应鼓励学生多说明公因式是怎样找到的。 第五环节 例题讲解 例1:把分解因式。 分析:首先要确定各项的公因式。不难看出这个公因式是一个单项式,因此要从系数与字母两部分来考虑:(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数;(2)公因式中的字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取次数最低的。所以各项的公因式是,其中(1)是与的最大公约数。(2)是各项相同的字母,其指数最低是1,即为;也是各项相同的字母,其指数最低是2,即为;而不是各项相同的字母。 解: 例2:把分解因式。 解: 注意:不要漏项。这里把写成,可知提出一个因式后,另一个因式是。所以原式分解因式应防止出现的错误。 因为分解因式与整式乘法相反,所以可以用整式乘法检查因式分解的结果对不对。 例3:把 分解因式。 解: 注意:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的。在提出“-”号时,多项式的各项都要变号。 第六环节 做一做 问题5:将下列多项式进行分解因式: (1)3x+6 (2)7x2–21x (3)8a3b2–12ab3c+ab (4)–24x3–12x2+28x 设计意图:根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题,为提取公因式积累经验. 师生活动:学生归纳:提取公因式的步骤: (1)找公因式; (2)提公因式. 易出现的问题:(1)第(3)题中的最后一项提出ab后,漏掉了“+1”; (2)第(4)题提出“–”时,后面的因式不是每一项都变号. 矫正对策:(1)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同;(2)如果多项式的第一项带“–”,则先提取“–”号,然后提取其它公因式;(3)将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘,其积是否与原式相等. 第七环节 反馈练习 1、找出下列各多项式的公因式: (1)4x+8y (2)am+an (3)48mn–24m2n3 (4)a2b–2ab2+ab 2、将下列多项式进行分解因式: (1)8x–72 (2)a2b–5ab (3)4m3–8m2   (4)a2b–2ab2+ab   (5)–48mn–24m2n3 (6)–2x2y+4xy2–2xy 设计意图:通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏。从学生的反馈情况来看,学生对公因式概念的理解基本到位,提取公因式的方法与步骤基本掌握,但依然有部分同学出现第五环节中的问题,如对首项出现负号时不能正确处理,此时,需要老师进一步引导. 师生活动:从学生掌握的情况出发,看看学生的问题是在寻找公因式方面还是在提公因式方面没有很好的掌握,教师再加以强调公因式的找法和提公因式应该注意的事项。 第八环节 课堂小结 从今天的课程中,你学到了哪些知识?你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系? 提公因式法也单项式乘多项式是一组互逆运算 九:课后作业 11.3公式法(1) 教学设计思想: 本小节首先说明什么叫做运用公式法,然后着重介绍了平方差公式,并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解。这节课内容是用平方差公式对多项式进行因式分解,通过整式乘法的平方差公式,逆向得出用公式法分解因式的方法,发展学生的逆向思维和推理能力,然后让学生独立去完成“试着做做”,独立去做例题、练习中的题目,并对结果通过展示、解释、相互点评,达到能较好的运用平方差公式进行因式分解的目的。 教学目标 知识与技能: 1.会用平方差公式对多项式进行因式分解,提高分解因式的灵活性 2.提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力. 过程与方法: 3.经历用公式法分解因式的探索过程,进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向,加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识,体会从正逆两方面认识和研究事物的方法 情感态度价值观: 4.通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 教学重点和难点 重点:运用平方差公式分解因式. 难点:灵活运用平方差公式分解因式,正确判断因式分解的彻底性. 解决方法:在学生总结出平方差公式进行因式分解的方法后强调公式的结构和特点,以利于学生了解运用公式的条件及要求. 教学用具 多媒体或小黑板 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习提问 1.口述乘法公式,并把其中的平方差公式写到黑板上来,同时说明公式中的字母可以表示什么? 2.计算: (1)(x+1)(x-1);(2)(3x+2)(3x-2); (3)什么叫分解因式?它和乘法相乘有什么关系? 二、引入新课 分解因式和乘法相乘既然是互逆的关系,那么我们把乘法反过来就是分解因式。 同学们试着将:x2-1与9x2-4进行因式分解。 x2-1=(x+1)(x-1) 9x2-4=(3x+2)(3x-2) 三、进行新课 做一做: 你能类似地将下面的多项式分解因式吗? 问:在上面的计算中,你运用了哪一个乘法公式?请口述它的内容,并用式子表示出来. 答:在计算中运用了平方差公式.内容是:两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.用式子表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2. 问:请同学们总结一下用平方差公式因式分解的公式 学生回答,老师总结:因为多项式的因式分解与整式乘法是相反的变形,因此把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来写,就得到式子 INCLUDEPICTURE "http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/DGJC2/DS2/YSFJ/YYGSF/a1821023.jpg" \* MERGEFORMATINET 用语言叙述就是:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.利用这个公式,可以把具有平方差形式的多项式分解因式. 问:公式有怎样的特点,运用该公式需满足什么条件? 总结:这里 INCLUDEPICTURE "mhtml:http://tbkt.educast.com.cn/cz03-04-1/02/XK09_NJ08/ZY20030813091948312/WBZY/SC20030813152627812.mht!file:///\\\\192.168.2.222\\资源\\腾图2002-2003学年第一学期资源备份(02.7-02.12)\\第一期9.2-9.6\\腾图整合资源\\初中频道1\\xkjx\\c2sx\\c2sx01\\yunyong\\jxjy\\image006.gif" \* MERGEFORMATINET 可以表示数、单项式、多项式. ①左侧为两部分; ②两部分都是平方项; ③两部分的符号相反. 下面我们来实际应用一下. 例1 把下列各式分解因式: (1)(36-a2 (2)) 4x2-9y2 (2)(3m-1)2-9 (1)学生分析,先说出怎样化成平方差的形式,然后分解因式. 解:4x2-9y2 =(2x)2-(3y)2 =(2x+3y)(2x-3y) (2)分析:式中9可以写成32,这样原式就变形为用平方差公式分解因式的形式。 解:(3m-1)2-9 = (3m-1)2-32 = (3m-1+3) (3m-1-3) = (3m+2) (3m-4) 例2 把下列各式分解因式: (1)a3-16a; (2)2ab3-2ab 分析:(1)有公因式a,所以先提取公因式,再利用平方差公式因式分解 解:(1)a3-16a =a(a2-16) =a(a+4)(a-4); (2)2ab3-2ab =2ab(b2-1) =2ab(b+1)(b-1) 下面我们要做一下这方面的练习. 四、课堂练习 (用投影仪或小黑板出示练习) 1.填空 (1)4x2=( )2; (2)25m2=( )2; (3)64x2y2=( )2; (4)100p4q2=( )2. 2.课本练习1、2 3.下列多项式可不可以用平方差公式来分解因式?如果可以,应分解成什么式子?如果不可以,说明为什么. (1)x2+y2;(2)x2-y2; (3)-x2+y2;(4)-x2-y2. 五、小结 能用平方差公式分解因式的多项式,应具备如下条件(用投影仪或小黑板出示): 1.(1)式子可以分为两部分; (2)这两部分都可以写成整式(数)的平方的形式; (3)这两部分的符号应相反. 2.分解因式时,有公因式时应先提取公因式,再看能否用公式法进行因式分解。 3.因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。 教师应指出上面总结的内容中提到的“两部分”不是“两项”,这是因为平方差公式中的字母a、b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式. 六、布置作业 必做题:课本P149 A组 补充作业:熟记112=121,122=144,…,302=900. 选作题: 1.利用因式分解计算: (1)7582-2582;(2)4292-1712. 2.如图,在一块边长为acm的正方形纸板的四角,各剪去一个边长为b(b<)cm的正方形,利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4时剩余部分的面积 INCLUDEPICTURE "http://res.yp.edu.sh.cn/RESOURCE/CZ/CZSX/DGJC2/DS2/YSFJ/YYGSF/a1821024.jpg" \* MERGEFORMATINET 七、板书设计 11.3 公式法——平方差公式 试着做做 例1 例2 公式: 特点: 11.3公式法(2) 教学设计思想: 利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的,因此在教学设计中,重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上,采取启发式的教学方法,引导学生积极思考问题,从中培养学生的思维品质. 教学目标 知识与技能: 1.会用完全平方公式对多项式进行因式分解,提高分解因式的灵活性 2.提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力. 过程与方法: 3.经历用公式法分解因式的探索过程,进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向,加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识,体会从正逆两方面认识和研究事物的方法 情感态度价值观: 4.通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。 教学重点和难点 重点:运用完全平方式分解因式. 难点:灵活运用完全平方公式分解因式. 关键:把握住因式分解的基本思路,观察多项式的特征,灵活地运用“换元”和“划归思想” 教学用具 多媒体或小黑板 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习 1.问:什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答:把一个多项式化成几个整式乘积形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式: (1)ax4-ax2 (2)16m4-n4. 解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1) (2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2 =(4m2+n2)(4m2-n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m-n). 问:我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式? 答:有完全平方公式. 请写出完全平方公式. 完全平方公式是: (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2. 这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子,可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问:具备什么特征的多项式是完全平方式? 答:一个多项式如果是由三部分组成,其中的两部分是两个式子(或数)的平方,并且这两部分的符号都是正号,第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍,符号可正可负,像这样的式子就是完全平方式. 问:下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9;(2)x2+xy+y2; (3)25x4-10x2+1;(4)16a2+1. 答:(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方,6x=2·x·3,所以 x2+6x+9=(x+3). (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x=(5x),1=1,10x=2×5x·1,所以 25x-10x+1=(5x-1). (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a,b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项,其中a=?b=?2ab=? 答:完全平方公式为: a2+2ab+b2=(a+b)2. 9x2+6xy+y2=(3x)2+2·(3y)·y+y2=(3x+y)2.??? a2+2ab+b2=(a+b)2 其中a=3x,b=y,2ab=2·(3x)·y. 例3 把下列各式分解因式; (1)t2+22t+121;(2)m2+n2-mn (1)分析:这个多项式是由三部分组成,第一项“t2”是t的平方,第三项“121”是11的平方,第二项“22t”是t与11的积的2倍.所以多项式t2+22t+121是完全平方式,可以运用完全平方公式分解因式. (2)问:请同学分析这个多项式的特点,是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法? 解:(1)t2+22t+121 =t2+2×11t+112 =(t+11)2; (2)m2+n2-mn =m2-2·m·n+(n)2 =(m-n)2 例4 把下列各式分解因式: (1)ax2+2a2x+a3; (2)(x+y)2-4(x+y)+4; (3)(3m-1)2+(3m-1)+ 解:(1)ax2+2a2x+a3 =a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2; (2)(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y)2-2·(x+y)·2+22 =(x+y-2)2 (3)(3m-1)2+(3m-1)+ =(3m-1)2-2·(3m-1)·+()2 =(3m-1+)2 =(3m-)2 注:例4让有学生自己完成,并找部分学生上台讲解,出现问题,老师及时给予纠正 三、课堂练习(投影) 1.填空: (1)x2-10x+( )2=( )2; (2)9x2+( )+4y2=( )2; (3)1-( )+m2/9=( )2. 2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是,可以分解成什么式子?如果不是,请把多 项式改变为完全平方式. (1)x2-2x+4;(2)9x2+4x+1;(3)a2-4ab+4b2; (4)9m2+12m+4;(5)1-a+a2/4. 3.把下列各式分解因式: (1)a2-24a+144;(2)4a2b2+4ab+1; (3) x2+2xy+9y2;(4) a2-ab+b2 答案: 1.(1)25,(x-5) 2;(2)12xy,(3x+2y) 2;(3)m, (1-m) 2.(1)不是完全平方式,如果把第二项的“-2x”改为“-4x”,原式就变为x2-4x+4,它是完全平方式;或把第三项的“4”改为1,原式就变为x2-2x+1,它是完全平方式. (2)不是完全平方式,如果把第二项“4x”改为“6x”,原式变为9x2+6x+1,它是完全平方式. (3)是完全平方式,a2-4ab+4b2=(a-2b)2. (4)是完全平方式,9m2+12m+4=(3m+2) 2. (5)是完全平方式,1-a+a2/4=(1-a)2 3.(1)(a-12) 2;(2)(2ab+1) 2; (3)( x+3y) 2;(4)(a-b)2. 四、小结 运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是: 1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解. 2.在选用完全平方公式时,关键是看多项式中的第二项的符号,如果是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2;如果是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b) 2. 3.特别强调:分解因式时,有公因式时应先提取公因式,再看能否用公式法进行因式分解。 4.因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。 五、作业 1.必做作业:课本P152A组 2.补充作业:把下列各式分解因式: 1.(1)a2+8a+16;(2)1-4t+4t2; (3)m2-14m+49; (4)y2+y+1/4. 2.(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81; (3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2; (5)a2b2-4ab+4; (6)25a4-40a2b2+16b4. 3.(1)m2n2-2mn+1 (2) x-4x; 答案: 1.(1)(a+4)2;(2)(1-2t)2; (3)(m-7) 2;(4)(y+)2. 2.(1)(5m-8) 2; (2)(2a+9) 2; (3)(2p-5q) 2;(4)(4-xy) 2; (5)(ab-2) 2; (6)(5a2-4b2) 2. 3.(1)(mn-1) 2; (2)x(x+4)(x-4);六、板书设计 11.3 公式法——完全平方公式 公式: 例3 例4 特点:

  • ID:3-5506042 冀教版七年级下册第十章一元一次不等式和一元一次不等式组教案

    初中数学/冀教版/七年级下册/第十章 一元一次不等式和一元一次不等式组/本章综合与测试

    10.1 不等式 教学目标 知识与技能 1.经历从具体问题情境中建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号意识. 2.了解不等式的意义,能够认识到不等式是表示不相等关系的重要数学模型. 过程与方法 1.经历由具体实例建立不等模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力. 2.探索中发展学生归纳、猜想能力及有条理地表达的能力. 情感态度与价值观 培养在独立思考的基础上积极参与对数学问题 的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,在交流中受益. 【重点】  1.不等式概念的总结. 2.建立不等关系. 【难点】 从现实情境中建立不等关系. 准备 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材有关知识. 教学过程 新课导入 导入一: 师:我们学过等式,等式的定义是什么? 生:表示相等关系的式子叫等式. 师:我们知道相等关系的量可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在许多反映不等关系的量. 师:比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些不等关系的例子. 生1:我的年龄不小于13岁. 生2:我的体重不低于30公斤. (同学们各抒己见) [设计意图] 通过这一活动,希望学生体会不等关系和相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质. 导入二: 如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为q cm,小明身高为p cm,小丽站在20 cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大? [设计意图] 通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系. 新知构建 活动1 生活中的不等量关系 1.两个数之间大小的表示 我们知道,用不等号“>”“<”可以表示两个数之间的大小关系,如7>3,-5<-2等. [设计意图] 两个数的大小关系是进一步学习不等式知识的基础.通过简单的复习过程帮助学生做好知识迁移的准备. 2.用不等号表示两个数量之间的关系 (1)小明与小亮进行百米训练,小明先到达终点.小明到达终点所用的时间为15.2 s.如果小亮所用的时间为a s,那么a与15.2之间的关系可以表示为    .(a>15.2)? (2)小明在某一周的零用钱为m元,他在这一周的支出情况如下表. 为灾区捐款 就餐 购买文具 买冷饮 5元 50元 3元 2元   在略有节余的情况下,m(元)与60(元)之间的关系可以表示为    .(m>60)? 【追问】 表示两个数的大小关系和表示两个具体数量的大小关系有什么类似之处? 活动2 不等式的概念 在高速公路上,有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为60 km/h,小卡车的行驶速度为80 km/h,大卡车比小卡车早出发1 h. (1)如果设小卡车行驶的时间为x h,那么它行驶的路程该怎样表示?这时,大卡车行驶的路程又该怎样表示? (小卡车行驶的路程为80x km,大卡车行驶的路程为60(x+1)km.) (2)小卡车赶上或超过大卡车后,它们所行驶的路程之间的关系应怎样表示? (小卡车赶上大卡车的关系为80x=60(x+1). 小卡车超过大卡车的关系为80x>60(x+1).) (3)完成下表. 小卡车行驶 的时间x/h 小卡车行驶 的路程/km 大卡车行驶 的路程/km 1 80 120 2 160 180 3 240 240 4 320 300 5 400 360 6 480 420 … … …   (4)小卡车开出多少小时后赶上或超过大卡车? (3h后.) [设计意图] 在问题情境中,从列代数式、填表感悟数量之间的关系、列不等式等几个方面进行分析,都是为了让学生感受数学化的过程. (5)通过以上四个问题,我们发现了哪些等量关系和不等量关系? 借助于前面的问题情境,小卡车赶上和超过大卡车,两车行驶路程的关系式分别为: 80x=60(x+1)和80x>60(x+1). 由列表可知当x=3时,80x=60(x+1); 当x>3时,80x>60(x+1). 即当x≥3时,80x≥60(x+1). (6)不等式的概念:像7>3,-5<-2,a>15.2,6060(x+1)这样的式子都是用不等号连接而成的.我们把用不等号“>”“<”“≥”或“≤”连接而成的式子叫做不等式.其中“≥”表示“不小于”,读作“大于或等于”;“≤”表示“不大于”,读作“小于或等于”. [知识拓展] (1)不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”;(2)读作“不等于”,它没有明确大小关系. 活动3 试着做一做(列不等式) 用不等式表示: (1)y的3倍不小于8.(3y≥8.) (2)m与10的和不大于m的一半.m+10≤m. (3)某湖,汛前水位是340 cm,警戒水位是400 cm.汛期,湖水平均每天上涨8 cm,x天后湖水将超过警戒水位.(340+8x>400.) 小结 把用不等号“>”“<”“≥”或“≤”连接而成的式子叫做不等式. 检测反馈 1.下列式子不是不等式的是 (  ) A.-2>6 B.x>-8 C.3x+2=8 D.|x-2|+4≠0 解析:不等式是指式子在形式上由符号“≠”“≤”“≥”“<”“>”连接,而不受不等式是否成立的影响.如问题中对-2>6的理解应为:它是不等式但不成立;不是不等式的是C.故选C. 2.如图所示,a,b,c分别表示苹果、梨、桃子的质量.若同类水果每个质量相等,则下列关系正确的是 (  ) A.a>c>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b 解析:考查不等关系.从图知3b<2a,2c=b,可确定a,b,c的大小关系为a>b>c.故选C. 3.用适当的符号表示下列关系. (1)a的3倍与b的和不大于3; (2)x2是非负数; (3)x的相反数与1的差不小于2; (4)x与17的和比它的5倍小. 解:(1)3a+b≤3; (2)x2≥0; (3)-x-1≥2; (4)x+17<5x. 板书设计 10.1 不等式 活动1 生活中的不等量关系 活动2 不等式的概念 活动3 试着做一做(列不等式) 布置作业 【必做题】 教材第118页习题A组的第1,2题. 【选做题】 教材第119页习题B组的第2题. 10.2不等式的基本性质 【教学目标】 【知识与技能】 1、探索并掌握不等式的基本性质; 2、理解不等式与等式性质的联系与区别. 【数学思考】 1、在观察、实验、猜想等数学活动中,发展合情推理的能力 2、体会转化、抽象、归纳的数学思想和方法。 【解决问题】 1、初步体会水平数学化的过程。 2、提升归纳概括的能力。 【情感态度与价值观】 (1)形成严谨求实的科学态度。 (2)逐步养成独立思考、合作交流的习惯。 (3)体会获得成功的乐趣。 教学重难点 【教学重点】 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用. 【教学难点】 能根据不等式的基本性质进行化简. 教学方法 探究、类比 教学流程 \探究性质 应用性质 回顾反思 课下延伸 教学 环节 师“导”生“动” 教学互动 设计意图 教师活动 学生活动 一、 探 究 性 质 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄,某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约3cm。这棵树至少生长多少年其树围才能超过32cm? 解:设这棵树生长x年其树围才能超过32cm, 根据题意得: 5+3x>32 剖出生活中的问题,请学生思考应该如何解决,进人今天的课题 请大家和老师一起做游戏: 比身高 活动一: 1、请两位同学站在水平地面上,问,两位同学谁更高呢? 2、教师接着问学生的身高分别是多少呢?你能用不等式表示这种关系吗?若学生同时向上再走一个台阶呢?若两名同学再向上走n个台阶呢? 活动二: 1、另请两位同学站在讲台上,问,两位同学谁更高呢? 2、教师接着问你能提出不等关系吗?若学生继续同时向下再走一个台阶呢?n个台阶呢? 3、类比等式的基本性质,尝试着总结你在生活中发现的不等式的基本性质 不等式的性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。 符号化: 学生在学习了不等关系之后,应该能很快写出不等关系的模型,产生疑问“如何解决这个问题呢”,让学生带着疑问进人今天的学习 思考一: 提出不等关系,如: 180cm160cm 180+10160+10 归纳出: 180+n160+n 思考二: 继续提出不等模型,如: 170cm165cm 170-10165-10 归纳出: 170-n165-n 学生在感性认识中抽象出理性的数学模型,实现水平数学化的过程。 通过两组活动的设置,实现了课堂的隐形分层,由提出模型到理性思考,为不同层次的学生设计了阶梯和思考空间,发展学生的归纳能力。 类比等式的基本性质,学生总结归纳,使法则上升到符号化,同时发展学生的符号感 教学 环节 师“导”生“动” 教学互动 设计意图 教师活动 学生活动 一、 探 究 性 质 一、 探 究 性 质 二、 应 用 性 质 二、 应 用 性 质 二、 应 用 性 质 三、 回 顾 反 思 四、 课 下 延 伸 继续探究之旅: 生活情境:某商场销售甲乙两种品牌的服装,原价分别为100元和200元,用不等式比较价格的高低。 问题串: 若商品滞销,商家决定打折销售,若打九折,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 若打八折,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 若打n折,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 若商品紧俏,商家决定涨价销售,若提价为原来的两倍,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 若提价为原来的三倍,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 若提价为原来的n倍,那么两件商品的价格分别是多少?不等关系还存在吗? 观察右侧的不等关系,你能总结出不等式的其他性质吗? 探究不等式的性质3 教师给出基础不等式,并让学生完成下列填空: 活动一: 活动二:观察数轴上的a 、b,提出不等式ab 0 a b 利用数轴操作: 不等式的性质3: 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向发生改变 即学即用:用不等号填空,并说明理由 ( ( 4 )若 a > b, 则 2a a+b ( 5 )若 ab, 则 a-3 b-3 ) 对比辨析:请你来当小老师! 小明在学了不等式的性质后,类比等式的性质,给出了两组变形,请你帮助老师分析一下,他的变形正确吗?如果不正确,请你改正. 变形一: 变形二: 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄,某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约3cm。这棵树至少生长多少年其树围才能超过32cm? 5+3x>32 3x>27 x>9 所以,至少要十年。 闯关练习一: (全班总动员) 已知 ,下列不等式一定能成立吗?并说明理由 闯关练习二:(相信自己,一定行) 任务一:选择恰当的不等号填空,并说出理由(每题5分) ( 2 、 若 a > - b ,则 a+b____0 ____ ) 任务二:选择恰当的不等号填空,并说出理由(每题5分) 1、若-a<b,则a____ -b 2、 若a <b,则2-a___2-b 3、 任务三:将下列不等式化成“x>a” 或“x7. (4)将不等式的解集在数轴上表示时,向左画表示什么?向右画表示什么?实心圆点表示什么?空心圆圈表示什么?请将x>4.5,x≤-2在数轴上表示出来. [设计意图] 通过复习总结先前的课时知识,为本节课新的知识学习做准备. 2.新知构建   [过渡语] 根据不等式的基本性质,怎样解一元一次不等式呢? 活动1 不等式的解集 1.不等式的解 对于含有未知数的不等式,能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 如x=4,5,6都是不等式80x>60(x+1)的解. 思考:不等式的解和一元一次方程的解有什么相似之处? 2.不等式的解集 (1)对给定的x的值,完成下表. x 80x 60(x+1) x的值是否为80x >60(x+1)的解 3.5 280 270 是 4.1 328 306 是 5.4 432 384 是 6.8 544 468 是 (2)请你再任意选择两个大于3的x的值,检验其是否为不等式的解.(是) (3)你认为不等式80x>60(x+1)的解有多少个?(无数个) 不等式80x>60(x+1)的解有很多,我们把它的所有解叫做这个不等式的解集. 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. [知识拓展] 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值. 不等式的解和解集的区别和联系. 区别 举例:x-1>2 概念 个数 表示方法 不等式 的解 x=4,x=4.3, x=10,… 是一些具 体的值 无数个 用等号 表示 不等式 的解集 x>3 是一个 范围 一个 用不等 号表示 联系 在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内 活动2 在数轴上表示不等式的解集 1.解不等式 求不等式解集的过程,叫做解不等式. 2.不等式的解集,可以在数轴上表示出来 (1)“大于”的表示方法. 例如,不等式80x>60(x+1)的解集为x>3,在数轴上表示,如图所示. 数轴上用空心圆圈表示3,指的是解集中不包含3. (2)含有等于的不等式的解的表示. 例如,-2x≥2的解集为x≤-1,在数轴上表示,如图所示. 活动3 一元一次不等式 思路一 在前面遇到了这样的不等式:x>3,80x>60(x+1),m+10≥m,2x30;(2)x+17<5x;(3)x>5;(4)>.这些不等式有哪些共同点? 【总结】 不等式的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数最高次数是1,这样的不等式,叫做一元一次不等式. 注意三个条件:未知数的个数,未知数的次数,且不等式的两边都是整式. [设计意图] 引导学生通过对上述不等式的观察、比较,发现其异同,结合一元一次方程的概念类比,学生不难得出一元一次不等式的概念,让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转换的意识. 活动4 例题讲解  (教材第124页例1)解不等式x+1<5,并把解集在数轴上表示出来. 解:不等式两边都减去1,得x<5-1, 即x<4, 两边都乘2,得x<8. 解集在数轴上表示,如图所示. 3.课堂小结 解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为x>a(x≥a)或x2 B.x2>9 C.2x+y≤5 D.(x-3)<0 解析:A中左边的不是整式,B中未知数的次数是2,C中含有两个未知数,根据一元一次不等式的定义可知A,B,C都不是一元一次不等式,只有D是一元一次不等式.故选D. 2.(泉州中考)把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来,则正确的是 (  ) 解析:按照解不等式的步骤,先移项,然后合并同类项,最后系数化为1,即得到不等式的解集,再在数轴上表示出来,移项,得x≤-2,所以不等式的解集x≤-2在数轴上表示正确的选项为D.故选D. 3.(桂林中考)下列数值中不是不等式5x≥2x+9的解的是 (  ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:移项,得5x-2x≥9,合并同类项,得3x≥9,系数化1,得x≥3,所给选项中只有2不在范围内.故选D. 4.已知3m-2x3+2m>1是关于x的一元一次不等式. (1)求m的值; (2)求出不等式的解集,并把解集表示在数轴上. 解:(1)因为3m-2x3+2m>1是关于x的一元一次不等式, 所以3+2m=1,解得m=-1. (2)由(1)可知题目中的不等式是-3-2x>1, 解这个不等式,得-2x>4,x<-2. 解集在数轴上表示如图所示. 5.板书设计 第1课时 活动1 不等式的解集 活动2 在数轴上表示不等式的解集 活动3 一元一次不等式 活动4 例题讲解 例题 6.布置作业 【必做题】 教材第125页习题A组的第1,2题. 【选做题】 教材第125页习题B组的第1,2题. 10.3解一元一次不等式(2) 教学目标 知识与技能 1.领会一元一次不等式和解一元一次方程之间的内在联系. 2.会解比较复杂的一元一次不等式. 3.能利用一元一次不等式解决简单的实际问题. 过程与方法 通过具体的问题情境,体会一元一次不等式和一元一次方程之间的内在联系,总结解一元一次不等式的基本方法. 情感态度与价值观 通过一元一次不等式解法的总结,提高学生的自主学习能力,激发学生的探究兴趣. 【重点】  利用解不等式解决简单的应用问题. 【难点】 构建不等式模型解决简单的实际问题. 教学准备 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P126~127. 教学过程 1.新课导入 导入一: 师:上节课,我们学习了什么叫一元一次不等式,以及如何解一些简单的一元一次不等式,哪位同学能简单总结下? 生1:不等式的两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫一元一次不等式. 生2:解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似,大致有:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项、合并同类项;(4)系数化成1. 师:很好,在解不等式的过程中,有需要注意的问题吗? 生:有,在去分母和系数化成1这两步中,如果两边同时乘或除以同一个负数,要注意改变不等号的方向. [设计意图] 通过师生对话,活跃课堂气氛,便于老师及时肯定或纠正学生在解决问题中遇到的问题. 导入二: 求不等式3(x+1)≥5x-5的非负整数解,若它的最大非负整数解是a,求不等式的(a-7)x<12解集. 解:3(x+1)≥5x-5, 去括号得3x+3≥5x-5, 解得x≤4, 所以a=4, 所以不等式(a-7)x<12即为-3x<12. 解得x>-4. 【追问】 根据上述解题过程,你能总结下解一元一次不等式和解一元一次方程之间的内在联系吗? [设计意图] 结合实例,便于学生直接发现一元一次不等式和一元一次方程之间的内在联系. 2.新知构建 活动1 一元一次不等式和一元一次方程之间的联系 1.请你谈一谈解一元一次不等式的一般步骤. 解一元一次不等式的一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,将未知数系数化为1. 2.解一元一次不等式和解一元一次方程的过程有什么异同?与同学进行交流. 解一元一次不等式和解一元一次方程的过程基本相同,只是在解不等式时,当不等式的两边都乘(或除以)同一个负数时,要改变不等号的方向. 活动2 例题讲解  (教材第126页例2)当x在什么范围内取值时,代数式的值比x+1的值大? 解:根据题意,x应满足不等式>x+1, 去分母,得1+2x>3(x+1). 去括号,得1+2x>3x+3. 移项,合并同类项,得-x>2, 将未知数系数化为1,得x<-2, 即当x<-2时,代数式的值比x+1的值大. 【追问】 (1)当x在什么范围内取值时,代数式的值与x+1的值相等? (2)当x在什么范围内取值时,代数式的值比x+1的值小? (3)如果用数轴表示例题方程的解,你能根据x在数轴上的情况判断出的值与x+1的值的大小么?  (教材第127页例3)求不等式≥的正整数解. 解:去分母,得3(x+1)≥2(2x-1), 去括号,得3x+3≥4x-2, 移项,合并同类项,得-x≥-5, 将未知数系数化为1,得x≤5, 所以满足这个不等式的正整数解为x=1,2,3,4,5. 【追问】 你还能提出一个什么条件,能够改变现有不等式解集的情况? [知识拓展] 一元一次不等式和一元一次方程解法的比较. 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.在上面的步骤(1)和(5)中,如果不等式两边乘(或除以)同一个负数,要改变不等号的方向 标准形式 ax+b=0(a≠0) (1)ax+b>0;(2)ax+b<0(a≠0) 解或解集 x=- 当a>0时:(1)x>-;(2)x<-. 当a<0时:(1)x<-;(2)x>- 3课堂小结. 1.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系. 联系:两种解法的步骤相似. 区别:(1)不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变;而方程两边乘(或除以)同一个负数时,等号不变. (2)一元一次不等式有无限多个解,而一元一次方程只有一个解. 2.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行,每一步的依据如下: (1)去分母(根据不等式的基本性质2或3); (2)去括号(根据整式运算法则); (3)移项(根据不等式的基本性质1); (4)合并同类项(根据整式运算法则); (5)系数化1(根据不等式的基本性质2或3). 4.检测反馈 1.不等式2x-1≥3x-5的正整数解的个数为 (  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:首先解出此不等式的解集,移项,得2x-3x≥-5+1,合并同类项,得-x≥-4,系数化为1,得x≤4,在x≤4范围内,x的正整数解有4,3,2,1,共计4个.故选D. 2.已知关于x的不等式2x+m>-5的解集如图所示,则m的值为 (  ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 解析:由图可知不等式的解集为x>-3,而解不等式2x+m>-5得x>,所以=-3,即m=1.故选A. 3.(铜仁中考)不等式5x-3<3x+5的最大整数解是    .? 解析:移项得5x-3x<5+3,合并同类项得2x<8,系数化为1,得x<4,故不等式5x-3<3x+5的最大整数解是3.故填3. 4.当x为何值时,代数式-1的值不小于的值? 解:依题意,得-1≥, 所以4(2x+1)-12≥3(3+5x), 8x-15x≥9+12-4, -7x≥17, 所以x≤-. 所以,当x≤-时,代数式-1的值不小于的值. 5.板书设计 第2课时 活动1 一元一次不等式和一元一次方程之间的联系 活动2 例题讲解 例1 例2 6.布置作业 【必做题】 教材第127页习题A组的第1题. 【选做题】 教材第128页习题B组的第2题. 10.4 一元一次不等式的应用 教学目标 知识与技能 1.类比列一元一次方程解应用题的方法,能从实际问题中抽象出数量之间的不相等关系,会解决有关一元一次不等式的简单问题. 2.体会不等式在解决实际问题中的作用,发展学生的应用意识,分析和解决问题的能力. 过程与方法 通过分析实际问题中的不等关系,建立不等式模型,通过对不等式的求解来解决实际问题,训练学生的分析和建立数学模型的能力. 情感态度与价值观 通过利用一元一次不等式解决实际问题,使学生认识数学与人们生活的密切联系,以激发学生学习数学的兴趣与信心. 【重点】  一元一次不等式的应用. 【难点】 将实际问题抽象成数学问题的思维过程. 教学准备 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材P129~130. 教学过程 1.新课导入 七年级(一)班的学生准备用500元购买甲、乙两种图书共12套,送给老区的幼儿园小朋友.已知甲种图书每套45元,乙种图书每套40元.这些钱最多能买甲种图书多少套? [设计意图] 通过教材中的问题情境,帮助学生体会通过不等式建模对解决问题的作用. 2.新知构建   [过渡语] 我们能用列方程的方法解决一些现实生活中数量相等关系的问题.实际上,现实生活中还存在着许多数量之间的不相等关系.在这些问题中,有些可以用类似于列方程的方法,通过列一元一次不等式来解决. 活动1 尝试用不等式解决问题 (针对导入一的问题情境) 1.设可购买甲种图书x套,则购买甲种图书所需钱数为    元,购买乙种图书    套,购买乙种图书所需钱数为    元.(45x,(12-x),40(12-x).)? 2.购买甲、乙两种图书所需钱数与500元有什么关系?你能用不等式把这种关系表示出来吗? (购买甲、乙两种图书所需钱数小于或等于500元,45x+40(12-x)≤500.) 3.解上面列出的不等式,并根据解集确定实际问题的答案. (x≤4,最多能买4套甲种图书.) 活动2 例题讲解  (教材第129页例题)某商场响应国家“家电下乡”的惠农政策,决定采购一批电冰箱,优惠销售给农民朋友.商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱共80台,其中,甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍,购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱每台的出厂价格分别为1200元、1600元和2000元,那么该商场购进的乙种电冰箱至少为多少台? 〔解析〕 数量之间的关系是1200×甲种冰箱数+1600×乙种冰箱数+2000×丙种冰箱数≤132000. 解:设购买乙种电冰箱x台,则购买甲种电冰箱2x台,丙种电冰箱(80-3x)台. 根据题意列不等式,得: 1200×2x+1600x+2000(80-3x)≤132000. 解这个不等式,得x≥14. 答:至少购进乙种电冰箱14台. 【强调】 在用不等式解决实际问题时,当求出不等式的解集后,还要根据问题的实际意义确定问题的解. [知识拓展] 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题有相似之处,一般方法步骤是“审、设、列、解、验、答”六步.“审”即审清题意,是不需要写在纸面上的,但一定要通过审题找出已知量和未知量,其他五步都要写在纸面上.“设”是指由题意恰当地设未知数,有直接设法和间接设法两种,因题而异;“列”是指找出不等关系,列出不等式;“解”是指求出这个不等式的解集;“验”是指在不等式的解集内找到适合条件的解;“答”是指针对题目的问题,写出答案.其中“列”是关键. 3.课堂小结 通过设立未知数,利用不等的数量关系建立不等式,是利用不等式解决实际问题的核心,同时要注意不等式解集的实际意义. 4.检测反馈 1.某射箭运动员在一次比赛中前6次射击共击中52环,若他要打破89环(10次射击,每次射击最高中10环)的记录,则他第7次射击不能少于 (  ) A.6环 B.7环 C.8环 D.9环 解析:设第7次射击为x环,由题意得52+x+30>89,解得x>7,所以第7次射击至少要8环.故选C. 2.(东营中考)东营市出租车的收费标准是:起步价8元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费),超过3千米以后,每增加1千米,加收1.5元(不足1千米按1千米计).某人从甲地到乙地经过的路程是x千米,出租车车费为15.5元,那么x的最大值是 (  ) A.11 B.8 C.7 D.5 解析:根据数量关系列出关于x的不等式,再求解确定其最大值.根据题意,得1.5(x-3)≤15.5-8,解得x≤8,即x的最大值为8.故选B. 3.在一次“人与自然”知识竞赛中,竞赛试题中共有25道题,每道题都给出4个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得4分,不选或选错倒扣2分,如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分,那么他至少选对了    道题.? 解析:不等式应用题的难点之一是辨别它与方程应用题的异同,如何列出不等式,要善于抓住题中“不低于”“至少”等词的数学含义.本题中对“倒扣2分”应理解为不选或选错实际应扣6分,故设选对了x道题,则不选或选错题为(25-x)道,则有100-6(25-x)≥60,解得x≥,所以x=19,即他至少选对了19道题.故填19. 4.(株洲中考)为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍? 解:设孔明应该买x个球拍, 根据题意,得1.5×20+22x≤200, 解得x≤7, 由于x取整数, 故x的最大值为7,即孔明应该买7个球拍. 5.板书设计 10.4 一元一次不等式的应用 活动1 尝试用不等式解决问题 活动2 例题讲解 例题 6.布置作业 【必做题】 教材第130页习题A组的第1题. 【选做题】 教材第131页习题B组的第2题. 10.5解一元一次不等式组 教学目标: 1.理解一元一次不等式组及解集的概念; 2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴求出不等式组的解集 教学重点: 一元一次不等式组及其解集的概念;一元一次不等式组解集在数轴上的表示. 教学难点: 解一元一次不等式组 教学过程:. 回顾旧知 前面我们学习了解一元一次不等式,现在我们做个小练习巩固一下我们所学知识。学生完成学案第一层次训练 导入语:我们学习解一元一次不等式学习的很好,今天我们来学习解一元一次不等式组.(师板题) 探究新知 (一)师出示学习目标(见投影),生齐读; 学习目标 1.理解一元一次不等式组及解集的概念; 2.会解一元一次不等式组,并会利用数轴求出不等式组的解集 过渡语:我们能不能完成今天的学习目标?请看自学指导(见投影) (二)自学指导:生自学P132—P133例1上面内容,找出不等式组,一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集的概念。生代表回答,师强调概念关键点(见投影). 过渡语:概念理解了没有?那我们检测一下大家掌握的怎么样,请同学们完成学案上第二层次训练的1、2题。 1、下列不等式中,是一元一次不等式组的是( ) A { B { C { D { 2、写出下列不等式在数轴上表示的解集 (1){ (2){ (3){ (1)示例 ( 师示范第(1)题,生独立完成(2)、(3),生自由交流,代表板演 ) (三)自学例1,仿照例1步骤完成第二层次训练3题 (1){ (2){ (3){ (生独立完成,生代表板演,生纠错,师点评总结) (四)大家做的都很好,我们来继续挑战一下自己吧!(第三层次训练) 解不等式组{ (生板演,小组订正,师出示多媒体上答案) 三、课堂小结 这节课你学到了什么?和大家分享一下你的收获吧 四、当堂作业: 必做题:P134 A组1(3)(5) 选做题: P134 B组1 课后反思: