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初中数学北京课改版
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  • ID:3-5545374 京改版数学七年级下册第五章二元一次方程组复习课件(共28张PPT)

    初中数学/北京课改版/七年级下册/第五章 二元一次方程组/本章综合与测试

    二元一次方程组 复习课 1、含有两个未知数且含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 2、使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 4、一般地,使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值( ),叫做二元一次方程组的解。 3、如果方程组中含有 ,且含有 未知数的 都是1次,这样的方程组叫做二元一次方程组。 两个未知数 项的次数 两个方程的公共解 基础题 下列方程中,是二元一次方程组的是( ) (3) 知识应用 1.二元一次方程2m+3n=11 ( ) A.任何一对有理数都是它的解. B.只有两组解. C.只有两组正整数解. D.有负整数解. C 练一练 8.由方程3x-2y-6=0可得到用x表示y的式子是 ,用y的式子表示x是 ;当x=2时y= . 9.已知 x+2y=3 ,若x与y互为相反数,则x= ;y= 。 基本思路: 1.解二元一次方程组的基本思路是什么? 2.用代入法解方程主要 步骤: 消元: 二元 填表: 方 程 用含x的代数式表示y 用含y的代数式表示x x—y=1 3.加减消元法解方程组主要步骤: 代入法、加减法 4. 二元一次方程组解法有: 解:解这个方程组得 代入2x+3y=6得 14m-6m=6 m=3/4. 解: (1)+(2)得(3k+6)y=0 即 (2+k)y=0 则y=0. 把y=0代入(2)得-5x=2 (2)若k=-2,则k+2=0,(2+k)y=0恒成立,原方程组有无数组解. 解:由已知得 得x=3z 把x=3z代入(2),得 y=2z. 把x=3z y=2z代入所求代数式, 解: (1)+(2)+(3)得2x+2y+2z=22 即 x+y+z=11 (4) (4)-(1)得 z=6 (4)-(2)得 x=3 (4)-(3)得 y=2 例5.小珍在儿童节前用12.4元钱,恰好买了单价为0.8元和1.2元的两种贺卡共12张。试问:两种贺卡各能买几张? 解:设单价为0.8元的贺卡买x张,单价为1.2元的贺卡买y张,根据题意列方程组,得 1.已知|x+y|+(x-y+3)2=0,则x= ,y= 。 练一练 列二元一次方程解决实际问题的一般步骤: 审: 设: 列: 解: 答: 审清题目中的等量关系. 设未知数. 根据等量关系,列出方程组. 解方程组,求出未知数. 检验所求出未知数是否符合题意,写出答案. 例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,就会提前24分钟到达乙地,求甲、乙两地间的距离. 解:设甲、乙两地间的距离为S千米,规定时间为t小时,根据题意列方程组,得 例2.入世后,国内各汽车企业展开价格大战,汽车价格大幅下降,有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单,要在规定的日期内生产一批汽车,如果每天生产35辆,则差10辆完成任务,如果每天生产40辆,则可提前半天完成任务,问订单要多少辆汽车,规定日期是多少天? 解:设订单要辆x汽车,规定日期是y天,根据题意列方程组,得 解这个方程组,得 答:订单要220辆汽车,规定日期是6天. 例3.某车间每天能生产甲种零件120个,或者乙种零件100个,或者丙种零件200个,甲,乙,丙3种零件分别取3个,2个,1个,才能配一套,要在30天内生产最多的成套产品,问甲,乙,丙3种零件各应生产多少天? 1.某学校现有甲种材料35㎏,乙种材料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用料情况如下表: (1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件? (2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱? 练一练 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 0.9㎏ 0.3㎏ 1件B型工艺品 0.4㎏ 1㎏ 2.某中学组织初一学生春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出了一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车日租金为每辆220元, 60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)初一年级的人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租用同一种车,要使每位同学都有座位,怎样租用更合算? 3.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出发,4小时相遇,6小时后 ,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度

  • ID:3-5522214 京改版七年级下册第八章因式分解章节专题模块练习题解析版

    初中数学/北京课改版/七年级下册/第八章 因式分解/本章综合与测试

    因式分解  类型:因式分解的基本概念 ?考点说明:判断一个式子由左边到右边的变形是否为因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式积的形式。 【易】1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是(  ) A.x2﹣2x+1=(x﹣1)2 B.ax﹣ay+a=a(x﹣y)+a C.x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)+1 D.x2﹣4+3x=(x+2)(x﹣2)+3x 【答案】A 【解析】解:A、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故A符合题意; B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B不符合题意; C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C不符合题意; D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D不符合题意; 故选:A. 【易】2.下列变形是因式分解的是(  ) A.6x2y2=3xy?2xy B.a2﹣4ab+4b2=(a﹣2b)2 C.(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D.x2﹣9﹣6x=(x+3)(x﹣3)﹣6x 【答案】B 【解析】解:C和D不是积的形式,应排除; A中,不是对多项式的变形,应排除.故选B.  【易】3.下列等式由左边至右边的变形中,属于因式分解的是(  ) A.x2+3x﹣1=x(x+3)﹣1 B.x2﹣9+2x=(x+3)(x﹣3)+2x C.a2﹣16=(a+4)(a﹣4) D.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4 【答案】C 【解析】解:A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故A不符合题意; B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故B不符合题意; C、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C符合题意; D、是整式的乘法,故D不符合题意;故选:C.  类型一:公因式 ?考点说明:会求公因式是因式分解的基础 【易】1.多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是(  ) A.xmyn B.xmyn﹣1 C.4xmyn D.4xmyn﹣1 【答案】D 【解析】解:多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1.故选D. 【易】2.下列各多项式有没有公因式?如果有请找出并填在横线上: (1)ac+bc:  ;(2)3x+x:  ; (3)3x+6:  ;(4)30mb+5nb:  ; (5)ab﹣2ab+ab:  ;(6)7(a﹣3)﹣b(a﹣3):  . ================================================ 压缩包内容: 京改版七年级下册第八章因式分解章节专题模块练习题.docx

  • ID:3-5511188 2018-2019学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/八年级上册

    2018-2019学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分) 1.9的平方根是(  ) A.3 B.±3 C. D.81 2.运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象.下列图腾中,不是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 3.计算(﹣)3的结果是(  ) A.﹣ B.﹣ C.﹣ D. 4.下列计算正确的是(  ) A. B. C. D. 5.下列说法错误的是(  ) A.任意抛掷一个啤酒瓶盖,落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B.一个转盘被分成8块全等的扇形区域,其中2块是红色,6块是蓝色.用力转动转盘,当转盘停止后,指针对准红色区域的可能性大小是 C.一个不透明的盒子中装有2个白球,3个红球,这些球除颜色外都相同.从这个盒子中随意摸出一个球,摸到白球的可能性大小是 D.100件同种产品中,有3件次品.质检员从中随机取出一件进行检测,他取出次品的可能性大小是 6.下列以a,b,c为边的三角形,不是直角三角形的是(  ) A.a=1,b=1, B.a=1,,c=2 C.a=3,b=4,c=5 D.a=2,b=2,c=3 7.某校开设了文艺、体育、科技和学术四类社团,要求每位学生从中任选一类社团参加.现统计出八年级(1)班40名学生参加社团的情况,如图: 如果从该班随机选出一名学生,那么该生是体育类社团成员的可能性大小是(  ) A. B. C. D. 8.如图,△ABC中,点D在AB边上,∠CAD=30°,∠CDB=50°.给出下列三组条件(每组条件中的线段的长度已知):①AD,DB;②AC,DB;③CD,CB,能使△ABC唯一确定的条件的序号为(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.写出一个含有字母m,且m≠2的分式,这个分式可以是   . 10.已知a<<b,且a,b为两个连续的整数,则a+b=   . 11.在数学课上,同学们经历了摸球的实例分析和计算过程后,对求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤进行了归纳.请你将下列求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤的正确顺序写出来   .(填写序号即可) ①确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m ②计算所求事件发生的可能性大小,即P(所求事件)= ③列出所有可能发生的结果,并判断每个结果发生的可能性都相等 12.如图1,三角形纸片ABC,AB=AC,将其折叠,如图2,使点A与点B重合,折痕为ED,点E,D分别在AB,AC上,如果∠A=40°,那么∠DBC的度数为   . 13.随着北京申办冬奥会的成功,愈来愈多的同学开始关注我国的冰雪体育项目.小健从新闻中了解到:在2018年平昌冬奥会的短道速滑男子500米决赛中,中国选手武大靖以39秒584的成绩打破世界纪录,收获中国男子短道速滑队在冬奥会上的首枚金牌.同年11月12日,武大靖又以39秒505的成绩再破世界纪录.于是小健对同学们说:“2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌的可能性大小是100%.”你认为小健的说法   (填“合理”或“不合理”),理由是   . 14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,如果AC=6cm,BC=8cm,那么EB的长为   cm,DE的长为   cm. 15.小强在做分式运算与解分式方程的题目时经常出现错误,于是他在整理错题时,将这部分内容进行了梳理,如图所示: 请你帮小强在图中的括号里补写出“通分”和“去分母”的依据. 16.在△ABC中,如果AB=5cm,AC=4cm,BC边上的高线AD=3cm,那么BC的长为   cm. 三、解答题(本题共68分,第17-20题,第25题,每小题5分,第21-24题,第26,27题,每小题5分,第28题7分) 17.计算:. 18.计算:. 19.解方程:. 20.如图,AB,CD交于点O,AD∥BC.请你添加一个条件   , 使得△AOD≌△BOC,并加以证明. 21.已知a﹣b=,求代数式的值. 22.下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程. 已知:△ABC. 求作:△ABC中BC边上的高线AD. 作法:如图, ①以点B为圆心,BA的长为半径作弧,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,两弧在BC下方交于点E; ②连接AE交BC于点D. 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵   =BA,   =CA, ∴点B,C分别在线段AE的垂直平分线上(   )(填推理的依据). ∴BC垂直平分线段AE. ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线. 23.列方程解应用题: 2018年10月24日港珠澳大桥正式开通,它是中国建设史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海桥梁项目,体现了我国逢山开路、遇水架桥的奋斗精神,体现了我国综合国力、自主创新能力,体现了我国勇创世界一流的民族志气.港珠澳大桥全长55公里,跨越伶仃洋,东接香港特别行政区,西接广东省珠海市和澳门特别行政区,首次实现了珠海、澳门与香港的跨海陆路连接,极大地缩短了三地间的距离.通车前,小亮妈妈驾车从香港到珠海的陆路车程大约220公里,如果行驶的平均速度不变,港珠澳大桥通车后,小亮妈妈驾车从香港到珠海所用的行驶时间比原来缩短了2小时15分钟,求小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要多长时间. 24.如图,已知△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DE=DF.试说明AB=AC的理由. 25.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)以格点为顶点画△ABC,使AB=,BC=,AC=(画一个即可); (2)求△ABC的面积. 26.右图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y值为   ; (2)是否存在输入有意义的x值后,却始终输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)如果输入x值后,筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”,请你分析输入的x值可能是什么情况; (4)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 27.在学习平方根的过程中,同学们总结出:在ax=N中,已知底数a和指数x,求幂N的运算是乘方运算;已知幂N和指数x,求底数a的运算是开方运算.小茗提出一个问题:“如果已知底数a和幂N,求指数x是否也对应着一种运算呢?”老师首先肯定了小茗善于思考,继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数,感兴趣的同学可以课下自主探究. 小茗课后借助网络查到了对数的定义: 小茗根据对数的定义,尝试进行了下列探究: (1)∵21=2,∴log22=1; ∵22=4,∴log24=2; ∵23=8,∴log28=3; ∵24=16,∴log216=   ; 计算:log232=   ; (2)计算后小茗观察(1)中各个对数的真数和对数的值,发现一些对数之间有关系,例如:log24+log28=   ;(用对数表示结果) (3)于是他猜想:logaM+logaN=   (a>0且a≠1,M>0,N>0). 请你将小茗的探究过程补充完整,并再举一个例子验证(3)中他的猜想. 28.(7分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB边上的一个动点(不与点A,B及AB中点重合),连接CD,点A关于直线CD的对称点为点E,直线BE,CD交于点F. (1)如图1,当∠ACD=15°时,根据题意将图形补充完整,并直接写出∠BFC的度数; (2)如图2,当45°<∠ACD<90°时,用等式表示线段AC,EF,BF之间的数量关系,并加以证明. 2018-2019学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分) 1.9的平方根是(  ) A.3 B.±3 C. D.81 【分析】根据平方与开平方互为逆运算,可得一个正数的平方根. 【解答】解:±=±3, 故选:B. 【点评】本题考查了平方根,根据平方求出平方根,注意一个正数的平方跟有两个. 2.运用图腾解释神话、民俗民风等是人类历史上最早的一种文化现象.下列图腾中,不是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断. 【解答】解:A、是轴对称图形,故不合题意; B、是轴对称图形,故不合题意; C、不是轴对称图形,故符合题意; D、是轴对称图形,故不合题意. 故选:C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合. 3.计算(﹣)3的结果是(  ) A.﹣ B.﹣ C.﹣ D. 【分析】根据分式的乘方,把分子分母分别乘方进行计算. 【解答】解:(﹣)3=﹣, 故选:C. 【点评】此题主要考查了分式的乘方,关键是掌握分式的乘方计算法则. 4.下列计算正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得. 【解答】解:A.=|﹣2|=2,此选项计算错误; B.=×=,此选项错误; C.与不是同类二次根式,不能合并,此选项错误; D.÷==,此选项计算正确; 故选:D. 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则. 5.下列说法错误的是(  ) A.任意抛掷一个啤酒瓶盖,落地后印有商标一面向上的可能性大小是 B.一个转盘被分成8块全等的扇形区域,其中2块是红色,6块是蓝色.用力转动转盘,当转盘停止后,指针对准红色区域的可能性大小是 C.一个不透明的盒子中装有2个白球,3个红球,这些球除颜色外都相同.从这个盒子中随意摸出一个球,摸到白球的可能性大小是 D.100件同种产品中,有3件次品.质检员从中随机取出一件进行检测,他取出次品的可能性大小是 【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可. 【解答】解:A.啤酒盖的正反两面不均匀,任意抛掷一个啤酒瓶盖,落地后印有商标一面向上的可能性大小不是,故本选项错误; B.一个转盘被分成8块全等的扇形区域,其中2块是红色,6块是蓝色.用力转动转盘,当转盘停止后,指针对准红色区域的可能性大小是,故本选项正确; C.一个不透明的盒子中装有2个白球,3个红球,这些球除颜色外都相同.从这个盒子中随意摸出一个球,摸到白球的可能性大小是,故本选项正确; D.100件同种产品中,有3件次品.质检员从中随机取出一件进行检测,他取出次品的可能性大小是,故本选项正确; 故选:A. 【点评】此题考查了概率公式,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=. 6.下列以a,b,c为边的三角形,不是直角三角形的是(  ) A.a=1,b=1, B.a=1,,c=2 C.a=3,b=4,c=5 D.a=2,b=2,c=3 【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系,这个就是直角三角形. 【解答】解:A、∵12+12=()2,∴该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意; B、∵12+()2=22,∴该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意; C、∵32+42=52,∴该三角形是直角三角形,故此选项不符合题意; D、∵22+22≠32,∴该三角形不是直角三角形,故此选项符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断. 7.某校开设了文艺、体育、科技和学术四类社团,要求每位学生从中任选一类社团参加.现统计出八年级(1)班40名学生参加社团的情况,如图: 如果从该班随机选出一名学生,那么该生是体育类社团成员的可能性大小是(  ) A. B. C. D. 【分析】用体育类社团成员的人数除以总人数,即可得出答案. 【解答】解:该生是体育类社团成员的可能性大小是=; 故选:B. 【点评】此题考查了条形统计图和可能性的大小,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键;用到的知识点是:概率=所求情况数与总情况数之比. 8.如图,△ABC中,点D在AB边上,∠CAD=30°,∠CDB=50°.给出下列三组条件(每组条件中的线段的长度已知):①AD,DB;②AC,DB;③CD,CB,能使△ABC唯一确定的条件的序号为(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【分析】由已知及正弦定理可得==,结合余弦定理即可得解. 【解答】解:∵∠CAD=30°,∠CDB=50°. ∴可得:∠ACD=20°, ∴在△ACD中,可得==,即给一边,可求另外两边,进而利用正弦定理,余弦定理可求△ABC的各边及角. 即①②符合题意. 故选:A. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.写出一个含有字母m,且m≠2的分式,这个分式可以是 (答案不唯一) . 【分析】根据分式含有字母m,且m≠2,可知当m=2时分式的分母为0,据此可得分式. 【解答】解:含有字母m,且m≠2的分式可以是, 故答案为:(答案不唯一). 【点评】本题考查了分式的定义,掌握分式的定义是解题的关键.因为0不能做除数,所以分式的分母不能为0. 10.已知a<<b,且a,b为两个连续的整数,则a+b= 5 . 【分析】先估算出的取值范围,得出a,b的值,进而可得出结论. 【解答】解:∵4<7<9, ∴2<<3. ∵a、b为两个连续整数, ∴a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查的是估算无理数的大小,利用夹值法求出a,b的值是解答此题的关键. 11.在数学课上,同学们经历了摸球的实例分析和计算过程后,对求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤进行了归纳.请你将下列求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤的正确顺序写出来 ③①② .(填写序号即可) ①确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m ②计算所求事件发生的可能性大小,即P(所求事件)= ③列出所有可能发生的结果,并判断每个结果发生的可能性都相等 【分析】一般地,在大量重复实验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率. 【解答】解:求简单随机事件发生的可能性大小的计算方法和步骤为: ③列出所有可能发生的结果,并判断每个结果发生的可能性都相等; ①确定所有可能发生的结果个数n和其中出现所求事件的结果个数m; ②计算所求事件发生的可能性大小,即P(所求事件)=; 故答案为:③①②. 【点评】本题主要考查了可能性的大小,利用实验的方法进行概率估算,要知道当实验次数非常大时,实验频率可作为事件发生的概率的估计值,即大量实验频率稳定于理论概率. 12.如图1,三角形纸片ABC,AB=AC,将其折叠,如图2,使点A与点B重合,折痕为ED,点E,D分别在AB,AC上,如果∠A=40°,那么∠DBC的度数为 30° . 【分析】依据三角形内角和定理,求出∠ABC的度数,再证明∠DBA=∠A=40°,即可得到∠DBC的度数. 【解答】解:如图2,∵AB=AC,∠A=40°, ∴∠ABC=∠C=(180°﹣40°)=70°; 由折叠可得:DA=DB, ∴∠DBA=∠A=40°, ∴∠DBC=70°﹣40°=30°. 故答案为:30°. 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质,灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键. 13.随着北京申办冬奥会的成功,愈来愈多的同学开始关注我国的冰雪体育项目.小健从新闻中了解到:在2018年平昌冬奥会的短道速滑男子500米决赛中,中国选手武大靖以39秒584的成绩打破世界纪录,收获中国男子短道速滑队在冬奥会上的首枚金牌.同年11月12日,武大靖又以39秒505的成绩再破世界纪录.于是小健对同学们说:“2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌的可能性大小是100%.”你认为小健的说法 不合理 (填“合理”或“不合理”),理由是 2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件 . 【分析】必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件(随机事件),那么0<P(A)<1,据此可得结论. 【解答】解:因为2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌的可能性大小不一定是100%, 所以小健的说法不合理,理由:2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件, 故答案为:不合理,2022年北京冬奥会上武大靖再获金牌属于随机事件. 【点评】本题主要考查了可能性的大小,事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件,事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件,必然事件和不可能事件都是确定的. 14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,如果AC=6cm,BC=8cm,那么EB的长为 4 cm,DE的长为 3 cm. 【分析】依据△ACD≌△AED(AAS),即可得到AC=AE=6cm,CD=ED,再根据勾股定理可得AB的长,进而得出EB的长;设DE=CD=x,则BD=8﹣x,依据勾股定理可得,Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,解方程即可得到DE的长. 【解答】解:∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠EAD, 又∵∠C=90°,DE⊥AB, ∴∠C=∠AED=90°, 又∵AD=AD, ∴△ACD≌△AED(AAS), ∴AC=AE=6cm,CD=ED, ∵Rt△ABC中,AB==10(cm), ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4(cm), 设DE=CD=x,则BD=8﹣x, ∵Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2, ∴x2+42=(8﹣x)2, 解得x=3, ∴DE=3cm, 故答案为:4,3. 【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及勾股定理的运用,利用直角三角形勾股定理列方程求解是解决问题的关键. 15.小强在做分式运算与解分式方程的题目时经常出现错误,于是他在整理错题时,将这部分内容进行了梳理,如图所示: 请你帮小强在图中的括号里补写出“通分”和“去分母”的依据. 【分析】分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式. 【解答】解:异分母分式通过通分,可以转化为同分母分式,依据为:分式的基本性质; 分式方程通过去分母,可以转化为整式方程,依据为:等式的基本性质. 故答案为:①分式的基本性质;②等式的基本性质. 【点评】本题主要考查了通分以及去分母,掌握分式的基本性质以及等式的基本性质是解决问题的关键. 16.在△ABC中,如果AB=5cm,AC=4cm,BC边上的高线AD=3cm,那么BC的长为 (4+)或(4﹣) cm. 【分析】分点D落在BC上和BC延长线上两种情况,利用勾股定理分别求得BD和CD的长,从而得出答案. 【解答】解:(1)如图1,当点D落在BC上时, ∵AB=5,AD=3,AC=4, ∴BD===4, CD===, 则BC=BD+CD=4+; (2)如图2,当点D落在BC延长线上时, ∵AB=5,AD=3,AC=4, ∴BD===4, CD===, 则BC=BD﹣CD=4﹣; 综上,BC的长的为(4+)或(4﹣)cm. 【点评】本题主要考查勾股定理,解题的关键是掌握勾股定理及分类讨论思想的运用. 三、解答题(本题共68分,第17-20题,第25题,每小题5分,第21-24题,第26,27题,每小题5分,第28题7分) 17.计算:. 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可. 【解答】解:原式=2﹣2+﹣1 =3﹣3. 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算,掌握二次根式的性质,立方根的概念,绝对值的性质是解题的关键. 18.计算:. 【分析】首先把分式变形为,再根据同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减进行计算即可. 【解答】解:原式=, =, =, =﹣1. 【点评】此题主要考查了分式的加减,关键是要把结果化简. 19.解方程:. 【分析】观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解. 【解答】解: 方程两边同乘以(x+1)(x﹣1) 得(x+1)2﹣6=(x+1)(x﹣1) 整理,得2x=4 x=2(4分) 检验,把x=2代入(x+1)(x﹣1)=3≠0. 所以,原方程的根是x=2. 【点评】本题考查了分式方程的解法,(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. 20.如图,AB,CD交于点O,AD∥BC.请你添加一个条件 OA=OB或OD=OC或AD=BC , 使得△AOD≌△BOC,并加以证明. 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断. 【解答】解:添加条件:OA=OB或OD=OC或AD=BC. 理由:当添加OA=OB时, ∵AD∥BC, ∴∠A=∠B, 在△AOD和△BOC中, , ∴△AOD≌△BOC(SAS). 添加OD=OC或AD=BC同法可证. 故答案为OA=OB或OD=OC或AD=BC. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,平行线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 21.已知a﹣b=,求代数式的值. 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可. 【解答】解:原式=? =? =, 当a﹣b=时,原式=. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键. 22.下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程. 已知:△ABC. 求作:△ABC中BC边上的高线AD. 作法:如图, ①以点B为圆心,BA的长为半径作弧,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,两弧在BC下方交于点E; ②连接AE交BC于点D. 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵ BE =BA, EC =CA, ∴点B,C分别在线段AE的垂直平分线上( 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 )(填推理的依据). ∴BC垂直平分线段AE. ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线. 【分析】(1)根据要求画出图形即可; (2)根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题; 【解答】解:(1)图形如图所示: (2)理由:连接BE,EC. ∵AB=BE,EC=CA, ∴点B,点C分别在线段AE的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上), ∴直线BC垂直平分线段AE, ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线. 故答案为:BE,EC,到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 23.列方程解应用题: 2018年10月24日港珠澳大桥正式开通,它是中国建设史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海桥梁项目,体现了我国逢山开路、遇水架桥的奋斗精神,体现了我国综合国力、自主创新能力,体现了我国勇创世界一流的民族志气.港珠澳大桥全长55公里,跨越伶仃洋,东接香港特别行政区,西接广东省珠海市和澳门特别行政区,首次实现了珠海、澳门与香港的跨海陆路连接,极大地缩短了三地间的距离.通车前,小亮妈妈驾车从香港到珠海的陆路车程大约220公里,如果行驶的平均速度不变,港珠澳大桥通车后,小亮妈妈驾车从香港到珠海所用的行驶时间比原来缩短了2小时15分钟,求小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要多长时间. 【分析】设小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要x小时,则现在驾车从香港到珠海需要(x﹣)小时,根据速度=路程÷时间结合速度不变,即可得出关于x的分式方程,解之经检验即可得出结论. 【解答】解:设小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要x小时,则现在驾车从香港到珠海需要(x﹣)小时, 根据题意得:=, 解得:x=3, 经检验,x=3是所列分式方程的解,且符合题意. 答:小亮妈妈原来驾车从香港到珠海需要3小时. 【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 24.如图,已知△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DE=DF.试说明AB=AC的理由. 【分析】欲证AB=AC,可证∠B=∠C,只需证Rt△DBE≌Rt△DCF即可,由已知可根据HL证得Rt△DBE≌Rt△DCF. 【解答】解:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴△DBE与△DCF是直角三角形. ∵在Rt△DBE与Rt△DCF中,, ∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL), ∴∠B=∠C, ∴AB=AC. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 25.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点. (1)以格点为顶点画△ABC,使AB=,BC=,AC=(画一个即可); (2)求△ABC的面积. 【分析】(1)依据AB=,BC=,AC=进行作图; (2)依据割补法,即可得到△ABC的面积. 【解答】解:(1)如图所示,△ABC即为所求; (2)S△ABC=2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3=2. 【点评】本题主要考查了基本作图以及三角形的面积,利用割补法或利用三角形面积计算公式即可求得三角形面积. 26.右图是一个无理数筛选器的工作流程图. (1)当x为16时,y值为  ; (2)是否存在输入有意义的x值后,却始终输不出y值?如果存在,写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由; (3)如果输入x值后,筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”,请你分析输入的x值可能是什么情况; (4)当输出的y值是时,判断输入的x值是否唯一,如果不唯一,请写出其中的两个. 【分析】(1)根据运算规则即可求解; (2)根据0的算术平方根是0,即可判断; (3)根据二次根式有意义的条件,被开方数是非负数即可求解; (4)根据运算法则,进行逆运算即可求得无数个满足条件的数. 【解答】解:(1)当x=16时,=4,=2,则y=; 故答案是:. (2)当x=0,1时,始终输不出y值.因为0,1的算术平方根是0,1,一定是有理数; (3)当x<0时,导致开平方运算无法进行; (4)x的值不唯一.x=3或x=9. 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,正确理解给出的运算方法是关键. 27.在学习平方根的过程中,同学们总结出:在ax=N中,已知底数a和指数x,求幂N的运算是乘方运算;已知幂N和指数x,求底数a的运算是开方运算.小茗提出一个问题:“如果已知底数a和幂N,求指数x是否也对应着一种运算呢?”老师首先肯定了小茗善于思考,继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数,感兴趣的同学可以课下自主探究. 小茗课后借助网络查到了对数的定义: 小茗根据对数的定义,尝试进行了下列探究: (1)∵21=2,∴log22=1; ∵22=4,∴log24=2; ∵23=8,∴log28=3; ∵24=16,∴log216= 4 ; 计算:log232= 5 ; (2)计算后小茗观察(1)中各个对数的真数和对数的值,发现一些对数之间有关系,例如:log24+log28= log232 ;(用对数表示结果) (3)于是他猜想:logaM+logaN= logaMN (a>0且a≠1,M>0,N>0). 请你将小茗的探究过程补充完整,并再举一个例子验证(3)中他的猜想. 【分析】(1)根据对数与乘方之间的关系求解可得; (2)利用对数的定义求解可得; (3)根据所得结论求解可得. 【解答】解:(1)∵24=16,∴log216=4; ∵25=32,∴log232=5; 故答案为:4,5; (2)log24+log28=2+3=5=log232, 故答案为:log232; (3)logaM+logaN=logaMN, 验证:例如log33+log39=1+2=3=log327=log3(3×9), 故答案为:logaMN. 【点评】本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系,并熟练运用. 28.(7分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB边上的一个动点(不与点A,B及AB中点重合),连接CD,点A关于直线CD的对称点为点E,直线BE,CD交于点F. (1)如图1,当∠ACD=15°时,根据题意将图形补充完整,并直接写出∠BFC的度数; (2)如图2,当45°<∠ACD<90°时,用等式表示线段AC,EF,BF之间的数量关系,并加以证明. 【分析】(1)连接EC,只要证明△ECB是等边三角形即可解决问题; (2)结论:EF2+BF2=2AC2.只要证明∠AFG=90°,在Rt△AFB中,可得AB2=AF2+BF2,在Rt△ABC中,可得AB2=AC2+BC2=2AC2,由此即可解决问题; 【解答】解:(1)如图1中,连接EC. ∵A,E关于CD对称, ∴∠DCA=∠DCE=15°,CA=CE=CB. ∵∠ACB=90°, ∴∠ECB=60°, ∴△ECB是等边三角形, ∴∠CEB=60°, ∵∠CEB=∠BFC+∠DCE, ∴∠BFC=60°﹣15°=45°. (2)结论:EF2+BF2=2AC2. 理由:连接CE,AF,延长AC交FE的延长线于点G. ∵A,E关于CD对称, ∴△ACF≌△ECF(SSS), ∴∠CAF=∠1,AC=CE,AF=EF, ∵AC=BC, ∴BC=BE, ∴∠1=∠2, ∴∠CAF=∠2, ∵∠ACB=90°, ∴∠G+∠2=90°, ∴∠CAF+∠G=90°, ∴∠AFG=90°, 在Rt△AFB中,AB2=AF2+BF2, 在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2AC2, ∴BF2+AF2=2AC2, ∴BF2+EF2=2AC2. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

  • ID:3-5482993 2018-2019学年北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2018-2019学年北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是(  ) A. B. C. D. 2.将抛物线y=x2向下平移2个单位长度,得到的抛物线为(  ) A.y=x2+2 B.y=x2﹣2 C.y=(x﹣2)2 D.y=(x+2)2 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=1,AB=2,则cosA的值为(  ) A. B. C. D. 4.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,若AB=6,OC=1,则⊙O的半径为(  ) A. B. C. D. 5.如图,将△ABO的三边扩大一倍得到△CED(顶点均在格点上),它们是以点P为位似中心的位似图形,则点P的坐标是(  ) A.(0,3) B.(0,0) C.(0,2) D.(0,﹣3) 6.在?ABCD中,E是AD上一点,AC,BE交于点O,若AE:ED=1:2,OE=2,则OB的长为(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A,B,对系数a和b判断正确的是(  ) A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a<0,b>0 8.如图,等边三角形和正方形的边长均为a,点B,C,D,E在同一直线上,点C与点D重合.△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动.当点C与点E重合时停止运动.设△ABC的运动时间为t秒,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S,则下列图象中,能表示S与t的函数关系的图象大致是(  ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高,若AB:A'B'=2:3,则AH:A'H'=   . 10.请写出一个反比例函数的表达式,满足条件当x>0时,y随x的增大而增大”,则此函数的表达式可以为   . 11.如图,⊙O是正方形ABCD的外接圆,若E是上一点,则∠DEC=   °. 12.如图,DE是△ABC的中位线,若△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为   . 13.走进中国科技馆,同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,边长为半径画弧,则,,组成的封闭图形就是“莱洛三角形”.若AB=3,则此“莱洛三角形”的周长为   . 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象经过点A,B,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,连接OA,OB,则△OAC与△OBD的面积之和为   . 15.如图,某中学综合楼入口处有两级台阶,台阶高AD=BE=15cm,深DE=30cm,在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道,设台阶起点为A,斜坡的起点为C,若斜坡CB的坡度i=1:9,则AC的长为   cm. 16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y与x的部分对应值如下表所示: x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 6 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 m … 下面有四个论断: ①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(2,﹣3); ②b2﹣4ac=0; ③关于x的方程ax2+bx+c=﹣2的解为x1=1,x2=3; ④m=﹣3. 其中,正确的有   . 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知:P为⊙O外一点. 求作:经过点P的⊙O的切线. 作法:如图, ①连接OP,作线段OP的垂直平分线 交OP于点A; ②以点A为圆心,OA的长为半径作圆, 交⊙O于B,C两点; ③作直线PB,PC. 所以直线PB,PC就是所求作的切线. 根据小飞设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据). 证明:连接OB,OC, ∵PO为⊙A的直径, ∴∠PBO=∠PCO=   (   ). ∴PB⊥OB,PC⊥OC. ∴PB,PC为⊙O的切线(   ). 18.计算:3tan30°+sin45°﹣2sin60°. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,cosA=,AB=4,过点C作CD∥AB,且CD=2,连接BD,求BD的长. 20.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形,并选择一个进行证明. 21.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴,y轴的 交点分别为(1,0)和(0,﹣3). (1)求此二次函数的表达式; (2)结合函数图象,直接写出当y>﹣3时,x的取值范围. 22.某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验,以便与遥控器显示的高度数据进行对比.如图,在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°,在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30°,已知测角仪的高AE=BD=1m,E,D两处相距50m,请根据数据计算无人机C的高(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73). 23.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(4,3),与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点为B(2,n). (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)若点P在x轴上,且PB=AB,则点P的坐标是   . 24.小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验,已知矩形的一边长为x(单位:m),面积为y(单位:m2). (1)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,矩形的面积最大?并求出此最大面积. 25.如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,点F是的中点,连接OF并延长交CD于点E,连接BD,BF. (1)求证:BD∥OE; (2)若OE=3,tanC=,求⊙O的半径. 26.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A(m,﹣1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点. (1)求抛物线的对称轴及a的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W. ①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数; ②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围. 27.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=,过点B作直线l∥AC,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,直线CA',CB'分别交直线l于点D,E. (1)当点A',D首次重合时, ①请在图1中,补全旋转后的图形; ②直接写出∠A'CB的度数; (2)如图2,若CD⊥AB,求线段DE的长; (3)求线段DE长度的最小值. 28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部,则称点P是⊙C的外应点. (1)当⊙O的半径为1时, ①在点D(﹣1,﹣1),E(2,0),F(0,4)中,⊙O的外应点是   ; ②若点M(m,n)为⊙O的外应点,且线段MO交⊙O于点,求m的取值范围; (2)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1,直线y=﹣x+b过点A(1,1),与x轴交于点B.若线段AB上的所有点都是⊙T的外应点,直接写出t的取值范围. 2018-2019学年北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】内项之积等于外项之积,依据比例的基本性质进行判断即可. 【解答】解:A.由,可得2m=3n,符合题意; B.由,可得mn=6,不符合题意; C.由,可得3m=2n,不符合题意; D.由,可得mn=6,不符合题意; 故选:A. 【点评】本题主要考查了比例的基本性质,解决问题的关键是掌握:内项之积等于外项之积. 2.将抛物线y=x2向下平移2个单位长度,得到的抛物线为(  ) A.y=x2+2 B.y=x2﹣2 C.y=(x﹣2)2 D.y=(x+2)2 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),再利用点平移的规律得到点(0,0)变换后所得对应点的坐标为(0,﹣2),然后利用顶点式写出平移后的抛物线. 【解答】解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)下平移2个单位长度所得对应点的坐标为(0,﹣2),所以平移后的抛物线为y=x2﹣2. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=1,AB=2,则cosA的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据锐角三角的余弦函数等于邻边比斜边,可得答案. 【解答】解:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则 cosA==, 故选:A. 【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键. 4.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,若AB=6,OC=1,则⊙O的半径为(  ) A. B. C. D. 【分析】连接OB,根据垂径定理求出CB,根据勾股定理计算,求出OB. 【解答】解:连接OB, ∵OD⊥AB, ∴CB=AB=3, 在Rt△OCB中,OB==, 故选:C. 【点评】本题考查的是勾股定理,垂径定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 5.如图,将△ABO的三边扩大一倍得到△CED(顶点均在格点上),它们是以点P为位似中心的位似图形,则点P的坐标是(  ) A.(0,3) B.(0,0) C.(0,2) D.(0,﹣3) 【分析】根据位似图形的性质连接各对应点,进而得出其交点位置,进而得出答案. 【解答】解:如图所示:P(0,﹣3)点即为所求点. 故选:D. 【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质,得出P点位置是解题关键. 6.在?ABCD中,E是AD上一点,AC,BE交于点O,若AE:ED=1:2,OE=2,则OB的长为(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】先利用平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC,则由AE:ED=1:2得到AE:BC=1:3,然后证明△AOE∽△COB,再利用相似比可计算出OB的长. 【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵AE:ED=1:2, ∴AE:BC=1:3, ∵AE∥BC, ∴△AOE∽△COB, ∴=,即=, ∴OB=6, 故选:C. 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识,解题的关键是证明△AOE∽△COB,此题难度不大. 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A,B,对系数a和b判断正确的是(  ) A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a>0,b<0 D.a<0,b>0 【分析】根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A,B,画出函数图象的草图,根据开口方向和对称轴即可判断. 【解答】解:由二次函数y=ax2+bx+1可知图象经过点(0,1), ∵二次函数y=ax2+bx+1的图象还经过点A,B, 则函数图象如图所示, ∴a<0,﹣>0, ∴b>0, 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质,利用数形结合是解题的关键. 8.如图,等边三角形和正方形的边长均为a,点B,C,D,E在同一直线上,点C与点D重合.△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动.当点C与点E重合时停止运动.设△ABC的运动时间为t秒,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S,则下列图象中,能表示S与t的函数关系的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】分t≤a、t>a两种情况,分别列出S与t的函数关系即可求解. 【解答】解:如图所示,设△ABC平移中与DG交于点H, 当t≤a时,S=S△HCD=CD?HD=t?t?tan60°=t2, 该函数为开口向上的抛物线; 当t>a时, S=S四边形ACDH=S△ABC﹣S△BDH =﹣(a﹣t)(a﹣t)tan60°═﹣(a﹣t)2, 该函数为开口向下的抛物线; 故选:C. 【点评】本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.如图,△ABC∽△A'B'C',AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高,若AB:A'B'=2:3,则AH:A'H'= 2:3 . 【分析】相似三角形的对应线段的比等于相似比,依据相似三角形的性质进行判断即可. 【解答】解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴相似比=AB:A'B'=2:3, 又∵AH,A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高, ∴AH:A'H'=2:3, 故答案为:2:3. 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质,相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比等于相似比. 10.请写出一个反比例函数的表达式,满足条件当x>0时,y随x的增大而增大”,则此函数的表达式可以为 y= . 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以写出一个符合要求的函数解析式,本题得以解决. 【解答】解:∵当x>0时,y随x的增大而增大, ∴此函数的解析式可以为y=, 故答案为:y=. 【点评】本题考查反比例函数的性质,解答本题的关键是明确题意,写出相应的函数解析式,注意本题答案不唯一. 11.如图,⊙O是正方形ABCD的外接圆,若E是上一点,则∠DEC= 45 °. 【分析】连接OD、OC,如图,根据正方形的性质得到∠COD=90°,然后根据圆周角定理得到∠CED的度数. 【解答】解:连接OD、OC,如图, ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆, ∴∠COD=90°, ∴∠COD=90°, ∴∠CED=∠COD=45°. 故答案为45. 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理. 12.如图,DE是△ABC的中位线,若△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为 3 . 【分析】由DE是△ABC的中位线得到DE∥BC,接着得到△ADE∽△ABC,然后利用相似三角形的性质可以求解. 【解答】解:∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴S△ADE:S△ABC=()2=, 又∵△ADE的面积是1, ∴△ABC的面积为4, ∴四边形DBCE的面积=4﹣1=3. 故答案为:3. 【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键. 13.走进中国科技馆,同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子.如图,分别以等边△ABC的三个顶点为圆心,边长为半径画弧,则,,组成的封闭图形就是“莱洛三角形”.若AB=3,则此“莱洛三角形”的周长为 3π . 【分析】连接OB、OC,作OD⊥BC于D,根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角,根据弧长的计算公式求解即可. 【解答】解:连接OB、OC,作OD⊥BC于D, ∵△ABC是正三角形, ∴∠BAC=60°, ∴的长为:=π, ∴“莱洛三角形”的周长=π×3=3π. 故答案为3π. 【点评】本题考查的是正多边形和圆的知识,理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公式是解题的关键. 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象经过点A,B,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D,连接OA,OB,则△OAC与△OBD的面积之和为 2 . 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=×2=1,再相加即可. 【解答】解:∵函数y=(x>0)的图象经过点A,B,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D, ∴S△OAC=S△OBD=×2=1, ∴S△OAC+S△OBD=1+1=2. 故答案为2. 【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:过反比例函数图象上的点向x轴或y轴作垂线,这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于|k|. 15.如图,某中学综合楼入口处有两级台阶,台阶高AD=BE=15cm,深DE=30cm,在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道,设台阶起点为A,斜坡的起点为C,若斜坡CB的坡度i=1:9,则AC的长为 240 cm. 【分析】过B作BF⊥AC,根据已知条件和tan∠BCA=,求出CF的长,再根据AC=CF﹣AF,即可得出答案. 【解答】解:过B作BF⊥AC, 由题可知BF=30cm,AF=30cm. ∵tan∠BCA==, ∴CF=270cm, ∴AC=CF﹣AF=270﹣30=240(cm). 故答案为:240. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题,要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题). 16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y与x的部分对应值如下表所示: x … ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 6 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 m … 下面有四个论断: ①抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(2,﹣3); ②b2﹣4ac=0; ③关于x的方程ax2+bx+c=﹣2的解为x1=1,x2=3; ④m=﹣3. 其中,正确的有 ①③ . 【分析】①由当x=1,x=3时y值相等,可得出抛物线的对称轴为直线x=2,进而可得出抛物线的顶点为(2,﹣3),结论①正确; ②由抛物线的最低点的纵坐标小于0,可得出抛物线与x轴有两个交点,即b2﹣4ac>0,结论②错误; ③由当x=1,x=3时y=﹣2,可得出关于x的方程ax2+bx+c=﹣2的解为x1=1,x2=3,结论③正确; ④利用抛物线的对称性,可得出m=1,结论④错误. 综上,此题得解. 【解答】解:①∵当x=1时,y=﹣2;当x=3时,y=﹣2, ∴抛物线的对称轴为直线x==2, ∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(2,﹣3),结论①正确; ②∵抛物线上最低点为(2,﹣3), ∴抛物线开口向上, 又∵﹣3<0, ∴抛物线与x轴有两个交点,即b2﹣4ac>0,结论②错误; ③∵当x=1时,y=﹣2;当x=3时,y=﹣2, ∴抛物线与直线y=﹣2交于点(1,﹣2)和(3,﹣2), ∴关于x的方程ax2+bx+c=﹣2的解为x1=1,x2=3,结论③正确; ④∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴当x=4时y值与当x=0时的y值相等, ∴m=1,结论④错误. 故答案为:①③. 【点评】本题考查了二次函数的性质,利用二次函数的性质逐一分析四条结论的正误是解题的关键. 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 已知:P为⊙O外一点. 求作:经过点P的⊙O的切线. 作法:如图, ①连接OP,作线段OP的垂直平分线 交OP于点A; ②以点A为圆心,OA的长为半径作圆, 交⊙O于B,C两点; ③作直线PB,PC. 所以直线PB,PC就是所求作的切线. 根据小飞设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据). 证明:连接OB,OC, ∵PO为⊙A的直径, ∴∠PBO=∠PCO= 90° ( 直径所对的圆周角是直角 ). ∴PB⊥OB,PC⊥OC. ∴PB,PC为⊙O的切线( 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 ). 【分析】(1)根据要求画出图形即可解决问题; (2)根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可; 【解答】解:(1)图形如图所示. (2)理由:连接OB,OC, ∵PO为⊙A的直径, ∴∠PBO=∠PCO=90°(直径所对的圆周角是直角). ∴PB⊥OB,PC⊥OC. ∴PB,PC为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线). 故答案为:90°,直径所对的圆周角是直角,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定,圆周角定理,切线的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 18.计算:3tan30°+sin45°﹣2sin60°. 【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算解答即可. 【解答】解:原式===. 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,cosA=,AB=4,过点C作CD∥AB,且CD=2,连接BD,求BD的长. 【分析】在Rt△ABC中,求出BC,再在Rt△利用勾股定理求出BD即可. 【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,, ∴, ∵AB=4, ∴AC=6, ∴, ∵DC∥AB, ∴∠DCB=∠ABC=90°, ∵CD=2, ∴BD===2. 【点评】本题考查解直角三角形,勾股定理,锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 20.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形,并选择一个进行证明. 【分析】根据已知条件得到∠AEF=∠BDF=90°,∠AFE=∠BFD,推出△AFE∽△BFD;同理△AFE∽△ACD,根据相似三角形的性质得到∠AFE=∠C,又∠AEF=∠BEC=90°,于是得到△AFE∽△BCE. 【解答】解:与△AFE相似的三角形有:△BFD,△ACD,△BCE. 选择求证:△ACD∽△AFE. 证明:∵△ABC的高AD,BE交于点F, ∴∠ADC=∠AEF=90°. ∵∠CAD=∠FAE, ∴△ACD∽△AFE. 【点评】此题考查了相似三角形的判定,三角形的高的定义.掌握有两角对应的两个三角形相似是解题的关键. 21.如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴,y轴的 交点分别为(1,0)和(0,﹣3). (1)求此二次函数的表达式; (2)结合函数图象,直接写出当y>﹣3时,x的取值范围. 【分析】(1)把(1,0)和(0,﹣3)代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组即可得到抛物线解析式; (2)利用抛物线的对称性得到点(0,﹣3)关于直线x=﹣1的对称点的坐标为(﹣2,﹣3),然后利用函数图象写出函数值大于﹣3对应的自变量的范围即可. 【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,﹣3), ∴,解得:. ∴抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3. (2)当y>﹣3时,x的取值范围是x<﹣2或x>0. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解.也考查了二次函数的性质. 22.某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验,以便与遥控器显示的高度数据进行对比.如图,在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°,在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30°,已知测角仪的高AE=BD=1m,E,D两处相距50m,请根据数据计算无人机C的高(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73). 【分析】如图,过点C作点CH⊥AB于H.设AH=CH=x,根据AB=50,构建方程即可解决问题. 【解答】解:如图,过点C作点CH⊥AB于H. ∵∠CAB=45°, ∴AH=CH, 设CH=x,则AH=x, ∵∠CBA=30°, ∴, 由题意知:AB=ED=50, ∴, 解得:.18.3+1=19.3, 答:计算得到的无人机的高约为19.3m. 【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 23.在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(4,3),与反比例函数y=(k≠0)图象的一个交点为B(2,n). (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)若点P在x轴上,且PB=AB,则点P的坐标是 (1,0)或(3,0) . 【分析】(1)依据直线y=x+b过点A(4,3),即可得到b的值,依据反比例函数的图象过点B(2,2),即可得到k的值; (2)设点P的坐标为(x,0),依据PB=AB,利用两点间距离公式可得方程,即可得到点P的坐标. 【解答】解:(1)∵直线y=x+b过点A(4,3), ∴3=×4+b, ∴b=1. 将B(2,n)代入直线y=x+1,得n=1+1=2, ∴B(2,2). ∵反比例函数的图象过点B(2,2), ∴k=2×2=4, ∴反比例函数的表达式为. (2)设点P的坐标为(x,0),则 由PB=AB,可得 =, 解得x=1或x=3, ∴点P的坐标是(1,0),(3,0). 故答案为:(1,0),(3,0). 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题,利用待定系数法求得函数解析式是关键. 24.小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验,已知矩形的一边长为x(单位:m),面积为y(单位:m2). (1)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,矩形的面积最大?并求出此最大面积. 【分析】(1)利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式; (2)利用配方法得出二次函数的最值即可. 【解答】解:(1)由题意得:y=x(6﹣x)=﹣x2+6x, ∵, ∴自变量的取值范围为:0<x<6; (2)变形得:y=﹣(x﹣3)2+9, ∴当x=3时,函数y有最大值. 又∵0<x<6, ∴当x=3时,函数y的最大值为9, 答:当x为3m时,矩形的面积最大,此最大面积为9m2. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用,正确得出函数关系式是解题关键. 25.如图,AB是⊙O的直径,C为AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线CD,D为切点,点F是的中点,连接OF并延长交CD于点E,连接BD,BF. (1)求证:BD∥OE; (2)若OE=3,tanC=,求⊙O的半径. 【分析】(1)通过证明∠2=∠3得到BD∥OE; (2)连接OD,如图,利用切线性质得OD⊥CD,利用正切定义得到tanC==,则可设OD=3k,CD=4k.所以OC=5k,BC=2k.再利用平行线分线段成比例定理得到DE=6k,然后在Rt△ODE中利用勾股定理得到(3)2=(3k)2+(6k)2,从而求出k得到⊙O的半径的长. 【解答】(1)证明:∵OB=OF, ∴∠1=∠3, ∵点F是的中点, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴BD∥OE; (2)解:连接OD,如图, ∵直线CD是⊙O的切线, ∴OD⊥CD, 在Rt△OCD中,∵tanC==, ∴设OD=3k,CD=4k. ∴OC=5k,BO=3k, ∴BC=2k. ∵BD∥OE, ∴.即. ∴DE=6k, 在Rt△ODE中,∵OE2=OD2+DE2, ∴(3)2=(3k)2+(6k)2,解得k= ∴OB=3, 即⊙O的半径的长. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了解直角三角形. 26.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A(m,﹣1),点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点. (1)求抛物线的对称轴及a的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y=kx+b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W. ①当k=1时,直接写出区域W内的整点个数; ②若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,求b的取值范围. 【分析】(1)配方求出抛物线的对称轴,进而确定点A坐标,代入点A的对称点坐标即可求出a的值; (2)①当k=1时代入点A坐标即可求出直线解析式,进而分析出整点个数; ②当k>0时分别以(1,﹣2),(2,﹣1);(0,﹣4),(2,﹣1)为边界点代入确定解析式,进而根据对称性分析当k小于0的情况即可. 【解答】解:(1)变形得:y=a(x2﹣4x)+3a=a(x﹣2)2﹣a, ∴对称轴为x=2, ∴点A的坐标为(2,﹣1)可得抛物线顶点为(2,1), 把点A坐标代入抛物线可得:a=﹣1. (2)①当k=1时,y=x+b,把A(2,﹣1)代入得﹣1=2+b, 解得:b=﹣3, ∴y=x﹣3, 如图1, 区域W内的整点个数为2个,分别为(2,0)与(1,﹣1). ②如图2, i.若k>0, 当直线过(1,﹣2),(2,﹣1)时,b=﹣3. 当直线过(0,﹣4),(2,﹣1)时,b=﹣4. ∴﹣4≤b<﹣3, ii.若k<0,由对称性可得:1<b≤2. ∴b的取值范围是:﹣4≤b<﹣3或1<b≤2. 【点评】此题主要考查二次函数与一次函数综合问题,会运用待定系数法求解析式,会运用边界点分析问题是解题的关键 27.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=,过点B作直线l∥AC,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,直线CA',CB'分别交直线l于点D,E. (1)当点A',D首次重合时, ①请在图1中,补全旋转后的图形; ②直接写出∠A'CB的度数; (2)如图2,若CD⊥AB,求线段DE的长; (3)求线段DE长度的最小值. 【分析】解:(1)①根据题意补全图形; ②由旋转的性质可得AC=A'C=2,根据锐角三角函数可求∠A'CB的度数; (2)由题意可证四边形ABEC是平行四边形,可得BE=AC=2,根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD,根据锐角三角函数可求BD的长,即可求DE的长; (3)取DE中点F,连接CF,根据直角三角形的性质可得CF=DE,即CF的值最小时,DE有最小值,则当点F与点B重合时,CF的值最小,可得DE的最小值为2. 【解答】解:(1)①补全图形如图所示: ②∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C, ∴AC=A'C=2, ∵cos∠A'CB= ∴∠A'CB的度数为 30°; (2) ∵CD⊥AB,A'C⊥B'C ∴CE∥AB,且BE∥CA, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴BE=AC=2, ∵CD⊥AB,∠ACB=90°, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°. ∴∠A=∠BCD ∵AC∥BE ∴∠CBD+∠ACB=90° ∴∠CBD=90° ∵tan∠BCD=tan∠A== ∴BD= ∴DE=BE+BD=2+= (3)如图,取DE中点F,连接CF, ∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点, ∴CF=DE, 即CF的值最小时,DE有最小值, ∴当点F与点B重合时,CF的值最小, ∴DE的最小值为2. 【点评】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定和性质,锐角三角函数等知识,熟练运用这些性质进行推理是本题的关键. 28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部,则称点P是⊙C的外应点. (1)当⊙O的半径为1时, ①在点D(﹣1,﹣1),E(2,0),F(0,4)中,⊙O的外应点是 D,E ; ②若点M(m,n)为⊙O的外应点,且线段MO交⊙O于点,求m的取值范围; (2)⊙T的圆心为T(t,0),半径为1,直线y=﹣x+b过点A(1,1),与x轴交于点B.若线段AB上的所有点都是⊙T的外应点,直接写出t的取值范围. 【分析】(1)①根据⊙O的外应点的定义,画出图形即可判断; ②作射线GO,交⊙O于点H(,),作点H关于点G的对称点H'(,),由点M为⊙O的外应点,推出点M在线段GH'上(不与G,H'重合),由此即可解决问题; (2)求出四种特殊位置t的值即可判断; 【解答】解:(1)①如图1中, 根据点P是⊙O的外应点定义,观察图象可知,⊙O的外应点是D,E. 故答案为D,E. ②作射线GO,交⊙O于点H(,), 作点H关于点G的对称点H'(,), ∵点M为⊙O的外应点, ∴点M在线段GH'上(不与G,H'重合). ∴<m<. (2)由题意A(1,1),∵直线y=﹣x+b过点A(1,1), ∴b=2,可得B(2,0) 如图3中,当半径为3的⊙T经过点B时,T(﹣1,0) 如图4中,当半径为1的⊙T与AB相切于F时,易知TF=FB=1,TB=, ∴OT=2﹣, ∴T(2﹣,0) 观察图象可知:当﹣1<t<2﹣时,线段AB上的所有点都是⊙T的外应点 如图5中,当半径为1的⊙T经过点B时,T(3,0) 如图6中,当半径为3的⊙T经过点A时,易知T(1+2,0) 观察图象可知:当3<t<1+2时,线段AB上的所有点都是⊙T的外应点 综上所述,满足条件的t的值为:或. 【点评】本题属于圆综合题,考查了圆的有关知识,点与圆的位置关系,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会利用特殊位置解决问题,属于中考压轴题.

  • ID:3-5460549 2018-2019学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2018-2019学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共8个小题,每小题2分,共16分.每小题只有一个正确选项) 1.如图,点D、E分别在△ABC的AB、AC边上,下列条件中:①∠ADE=∠C;②=;③=.使△ADE与△ACB一定相似的是(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.如图,A、B、C是半径为4的⊙O上的三点.如果∠ACB=45°,那么的长为(  ) A.π B.2π C.3π D.4π 3.小王抛一枚质地均匀的硬币,连续抛4次,硬币均正面朝上落地,如果他再抛第5次,那么硬币正面朝上的概率为(  ) A.1 B. C. D. 4.如图,数轴上有A、B、C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在⊙O外,⊙O内,⊙O上,则原点O的位置应该在(  ) A.点A与点B之间靠近A点 B.点A与点B之间靠近B点 C.点B与点C之间靠近B点 D.点B与点C之间靠近C点 5.如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B的切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=50°,则∠ACB的大小是(  ) A.65° B.60° C.55° D.50° 6.如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得∠α=30°,∠β=45°,量得BC长为80米.如果设河的宽度为x米,那么下列关系式中正确的是(  ) A.= B.=1 C.= D.= 7.体育节中,某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛,要求每班选派10名队员参加.下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图(每人投篮10次,每投中1次记1分),请根据图中信息判断: ①二班学生比一班学生的成绩稳定;②两班学生成绩的中位数相同;③两班学生成绩的众数相同.上述说法中,正确的序号是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线可以看作是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度y(单位:m)与足球被踢出后经过的时间x(单位:s)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了3个时刻的数据,根据函数模型和所给数据,可推断出足球飞行到最高点时,最接近的时刻x是(  ) A.4 B.4.5 C.5 D.6 二、填空题(本题共8个小题,每小题2分,共16分) 9.如图,线段BD、CE相交于点A,DE∥BC.如果AB=4,AD=2,DE=1.5,那么BC的长为   . 10.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象如图,将二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象平移,使二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象的最高点与坐标原点重合,请写出一种平移方法:   . 11.如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度   . 12.“阅读让自己内心强大,勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书,下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表.请你根据统计表中提供的信息,求出表中a、b的值:a=   ,b=   . 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他 36 0.06 13.中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2017年年人均收入300美元,预计2019年年人均收入将达到y美元.设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是   . 14.如图,直角三角形纸片ABC,AC边长为10cm,现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条,若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形,那么BC的长度是   cm. 15.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与x轴只有一个交点.请写出一组满足条件的a,b的值:a=   ,b=   . 16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图 已知:直线a和直线外一点P. 求作:直线a的垂线,使它经过P. 作法:如图2. (1)在直线a上取一点A,连接PA; (2)分别以点A和点P为圆心,大于AP的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,连接BC交PA于点D; (3)以点D为圆心,DP为半径作圆,交直线a于点E(异于点A),作直线PE.所以直线PE就是所求作的垂线. 请回答:该尺规作图的依据是   . 三、解答题(本题共68分,第17-25题,每小题6分,第26-27题,每小题6分) 17.计算:4cos30°+(π﹣)0﹣﹣|﹣1|. 18.已知:如图,AB为⊙O的直径,OD∥AC.求证:点D平分. 19.如图,在?ABCD中,连接DB,F是边BC上一点,连接DF并延长,交AB的延长线于E,且∠EDB=∠A. (1)求证:△BDF∽△BCD; (2)如果BD=3,BC=9,求的值. 20.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形DECO是矩形; (2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30°,DE=2时,求AF的长度. 21.如图,直线y=x+2与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交于点A(2,m),与y轴交于点 B. (1)求m、k的值; (2)连接OA,将△AOB沿射线BA方向平移,平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B',当点O'恰好落在反比例函数y=(k>0)的图象上时,求点O'的坐标; (3)设点P的坐标为(0,n)且0<n<4,过点P作平行于x轴的直线与直线y=x+2和反比例函数y=(k>0)的图象分别交于点C,D,当C、D间距离小于或等于4时,直接写出n的取值范围. 22.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD,过点C作CE⊥DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)当BD=,sinF=时,求OF的长. 23.为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题: (1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中∠α的度数是多少? (2)请把条形统计图补充完整; (3)学校为举办2018年度校园文化艺术节,决定从A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率. 24.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB=30°,D是直径AB上一动点,连接CD并过点D作CD的垂线,与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧),连接EC.已知AB=6cm,设A、D两点间的距离为xcm,C、D两点间的距离为y1cm,E、C两点间的距离为y2cm. 小雪根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小雪的探究过程: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值,请将表格补充完整; x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.20 4.36 3.60     2.65 2.65     y2/cm 5.20 4.56 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当∠ECD=60°时,AD的长度约为   cm. 25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A、B,(点A在点B的左侧),且AB=2. (1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示); (2)若抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,﹣1)和(0,0)之间,求a的取值范围; (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围. 26.如图1,在正方形ABCD中,点F在边BC上,过点F作EF⊥BC,且FE=FC(CE<CB),连接CE、AE,点G是AE的中点,连接FG. (1)用等式表示线段BF与FG的数量关系是   ; (2)将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转,使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上,点G仍是AE的中点,连接FG、DF. ①在图2中,依据题意补全图形; ②求证:DF=FG. 27.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,点P与圆心C不重合,给出如下定义:若在⊙C上存在一点M,使∠MPC=30°,则称点P为⊙C的特征点. (1)当⊙O的半径为1时,如图1 ①在点P1(﹣1,0),P2(1,),P3(3,0)中,⊙O的特征点是   . ②点P在直线y=﹣x+b上,若点P为⊙O的特征点,求b的取值范围. (2)如图2,⊙C的圆心在x轴上,半径为2,点A(﹣2,0),B(0,2).若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点,直接写出圆心C的横坐标m的取值范围. 2018-2019学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共8个小题,每小题2分,共16分.每小题只有一个正确选项) 1.如图,点D、E分别在△ABC的AB、AC边上,下列条件中:①∠ADE=∠C;②=;③=.使△ADE与△ACB一定相似的是(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似对①进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对②③进行判断. 【解答】解:∵∠DAE=∠BAC, ∴当ADE=∠C时,△ADE∽△ACB; 当=时,△ADE∽△ACB. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定:三组对应边的比相等的两个三角形相似;两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似. 2.如图,A、B、C是半径为4的⊙O上的三点.如果∠ACB=45°,那么的长为(  ) A.π B.2π C.3π D.4π 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB=90°,再根据弧长公式计算即可. 【解答】解:如图,连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠AOB=90°, ∵OA=4, ∴的长是:=2π. 故选:B. 【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理,解题的关键是掌握弧长公式l=. 3.小王抛一枚质地均匀的硬币,连续抛4次,硬币均正面朝上落地,如果他再抛第5次,那么硬币正面朝上的概率为(  ) A.1 B. C. D. 【分析】直接利用概率的意义分析得出答案. 【解答】解:因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面, 所以不管抛多少次,硬币正面朝上的概率都是, 故选:B. 【点评】此题主要考查了概率的意义,明确概率的意义是解答的关键. 4.如图,数轴上有A、B、C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在⊙O外,⊙O内,⊙O上,则原点O的位置应该在(  ) A.点A与点B之间靠近A点 B.点A与点B之间靠近B点 C.点B与点C之间靠近B点 D.点B与点C之间靠近C点 【分析】画出图象,利用图象法即可解决问题; 【解答】解:如图,观察图象可知, 原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点, 故选:C. 【点评】本题考查点与圆的位置关系,解题的关键是理解题意,学会利用图象法解决问题. 5.如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和B的切点,AC是⊙O的直径,已知∠P=50°,则∠ACB的大小是(  ) A.65° B.60° C.55° D.50° 【分析】连接OB,如图,利用切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°,再利用四边形内角和计算出∠AOB的度数,然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质求∠ACB的度数. 【解答】解:连接OB,如图, ∵PA、PB是⊙O的切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°, ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, 而∠AOB=∠OCB+∠OBC, ∴∠OCB=×130°=65°, 即∠ACB=65°. 故选:A. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决本题的关键是求出∠AOB的度数. 6.如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C,测得∠α=30°,∠β=45°,量得BC长为80米.如果设河的宽度为x米,那么下列关系式中正确的是(  ) A.= B.=1 C.= D.= 【分析】过点A作AD⊥BC于点D,直接利用已知条件得出AD=CD,再利用tan30°=,进而得出关系式. 【解答】解:如图,过点A作AD⊥BC于点D, ∵∠β=45°, ∴AD=CD=x, ∵Rt△ABD中,tanα=, ∴tan30°==. 故选:D. 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握锐角三角函数关系是解题关键. 7.体育节中,某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛,要求每班选派10名队员参加.下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图(每人投篮10次,每投中1次记1分),请根据图中信息判断: ①二班学生比一班学生的成绩稳定;②两班学生成绩的中位数相同;③两班学生成绩的众数相同.上述说法中,正确的序号是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【分析】求出两个班的众数,中位数,方差即可判断. 【解答】解:一班10名队员投篮成绩:7,10,7,5,8,10,8,6,9,10; 从小到大排列为:5,6,7,7,8,8,9,10,10,10,中位数为:8;众数为:10;平均数为8;方差为2.8; 二班10名队员投篮成绩:8,9,8,8,7,8,9,8,8,7; 从小到大排列为:7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,则中位数为:8;,众数为:8;平均数为:8;方差为0.4 ∴②正确, ∵二班1的方差小于一班的方差, ∴二班学生比一班学生的成绩稳定, ∴①正确, 故选:A. 【点评】本题考查折线统计图,中位数,众数,方差等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 8.运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线可以看作是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度y(单位:m)与足球被踢出后经过的时间x(单位:s)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了3个时刻的数据,根据函数模型和所给数据,可推断出足球飞行到最高点时,最接近的时刻x是(  ) A.4 B.4.5 C.5 D.6 【分析】由题意得出点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上,再用待定系数法求出抛物线解析式,进而配成顶点式,即可得出结论. 【解答】解:由题意得,点(3,18)、(5,20)、(7,14)在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上, ∴, ∴, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+9x=﹣(x﹣)2+, ∴当x=时,足球飞行达到最高点, 故选:B. 【点评】此题是二次函数的应用,主要考查了待定系数法,配方法,利用待定系数法求出抛物线的解析式是解本题的关键. 二、填空题(本题共8个小题,每小题2分,共16分) 9.如图,线段BD、CE相交于点A,DE∥BC.如果AB=4,AD=2,DE=1.5,那么BC的长为 3 . 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ABC∽△ADE, ∴, ∴, ∴BC=3, 故答案为:3 【点评】本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于基础题型. 10.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象如图,将二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象平移,使二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象的最高点与坐标原点重合,请写出一种平移方法: 向左平移1个单位,再向下平移4个单位 . 【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值,根据点的平移规律“左减右加,上加下减”可知移动后的顶点坐标,再由顶点式可求移动后的函数表达式. 【解答】解:将二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象平移,使二次函数y=﹣(x﹣1)2+4的图象的最高点与坐标原点重合, 则平移的方法是向左平移1个单位,再向下平移4个单位, 故答案为:向左平移1个单位,再向下平移4个单位. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标. 11.如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,则直尺的宽度 3cm . 【分析】过点O作OF⊥DE,垂足为F,由垂径定理可得出EF的长,再由勾股定理即可得出OF的长. 【解答】解:过点O作OF⊥DE,垂足为F, ∵OF过圆心, ∵DE=8cm, ∴EF=DE=4cm, ∵OC=5cm, ∴OB=5cm, ∴OF====3. 故答案为:3cm. 【点评】本题考查的是垂径定理的应用,解答此类题目先构造出直角三角形,再根据垂径定理及勾股定理进行解答. 12.“阅读让自己内心强大,勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书,下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表.请你根据统计表中提供的信息,求出表中a、b的值:a= 150 ,b= 0.35 . 图书种类 频数 频率 科普常识 210 b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他 36 0.06 【分析】首先计算出总数,然后利用总数减去各组的頻数可得a的值,然后再利用1减去各组的频率可得b的值. 【解答】解:36÷0.06=600, a=600﹣210﹣204﹣36=150, b=1﹣0.34﹣0.25﹣0.06=0.35. 故答案为:150,0.35. 【点评】此题主要考查了频数分布表,关键是掌握频率=,各组频率之和为1. 13.中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2017年年人均收入300美元,预计2019年年人均收入将达到y美元.设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是 y=300(x+1)2 . 【分析】是关于增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么根据题意可用x表示2019年年人均收入,然后根据已知可以得出关系式. 【解答】解:设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x, 那么根据题意得2019年年人均收入为:300(x+1)2, y与x的函数关系式是为:y=300(x+1)2. 故答案为y=300(x+1)2. 【点评】考查了根据实际问题列二次函数关系式,对于平均增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量. 14.如图,直角三角形纸片ABC,AC边长为10cm,现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条,若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形,那么BC的长度是 20 cm. 【分析】根据矩形的性质,可知:DE∥BC,进而可得出△ADE∽△ACB,根据相似三角形的性质即可求出BC的长度. 【解答】解:在图中标上字母,如图所示. 根据矩形的性质,可知:DE∥BC, ∴△ADE∽△ACB, ∴=, ∴BC=?DE=×4=20cm. 故答案为:20. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的性质,根据矩形的性质结合相似三角形的判定定理找出△ADE∽△ACB是解题的关键. 15.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与x轴只有一个交点.请写出一组满足条件的a,b的值:a= 1 ,b= 2 . 【分析】根据判别式的意义得到△=b2﹣4a=0,然后a取一个不为0的实数,再确定对应的b的值. 【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象与x轴只有一个交点, ∴△=b2﹣4a=0, 若a=1,则b可取2. 故答案为1,2. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程. 16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图 已知:直线a和直线外一点P. 求作:直线a的垂线,使它经过P. 作法:如图2. (1)在直线a上取一点A,连接PA; (2)分别以点A和点P为圆心,大于AP的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,连接BC交PA于点D; (3)以点D为圆心,DP为半径作圆,交直线a于点E(异于点A),作直线PE.所以直线PE就是所求作的垂线. 请回答:该尺规作图的依据是 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,直径所对的圆周角是直角,两点确定一条直线 . 【分析】利用基本作图得到BC垂直平分AP得到AP的中点,然后利用圆周角定理判断PE⊥AE. 【解答】解:由作法得BC垂直平分AP得到AP的中点,由AP为直径得到∠AEP=90°,从而得到PE⊥AE. 故答案为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,直径所对的圆周角是直角,两点确定一条直线. 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 三、解答题(本题共68分,第17-25题,每小题6分,第26-27题,每小题6分) 17.计算:4cos30°+(π﹣)0﹣﹣|﹣1|. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案. 【解答】解:原式=4×+1﹣2﹣1 =0. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 18.已知:如图,AB为⊙O的直径,OD∥AC.求证:点D平分. 【分析】连接BC,根据圆周角定理求出∠ACB=90°,求出OD⊥BC,根据垂径定理求出即可. 【解答】证明:连接CB, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵OD∥AC, ∴∠OEB=∠ACB=90°, 即OD⊥BC, ∵OD过O, ∴点D平分. 【点评】本题考查了圆周角定理和垂径定理,能正确运用定理进行推理是解此题的关键. 19.如图,在?ABCD中,连接DB,F是边BC上一点,连接DF并延长,交AB的延长线于E,且∠EDB=∠A. (1)求证:△BDF∽△BCD; (2)如果BD=3,BC=9,求的值. 【分析】(1)由平行四边形的性质可得出∠A=∠C,结合∠EDB=∠A可得出∠EDB=∠C,再由∠DBF=∠CBD即可证出△BDF∽△BCD; (2)由△BDF∽△BCD,利用相似三角形的性质可求出BF的长度,由DC∥AE可得出△DFC∽△EFB,再利用三角形的性质及AB=DC即可求出的值. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AE,∠A=∠C. ∵∠EDB=∠A, ∴∠EDB=∠C. ∵∠DBF=∠CBD, ∴△BDF∽△BCD; (2)解:∵△BDF∽△BCD, ∴=,即=, ∵BF=5. ∵DC∥AE, ∴△DFC∽△EFB, ∴=,即=. 又∵AB=DC, ∴=. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,解题的关键是:(1)利用“两角对应相等,两个三角形相似”证出△BDF∽△BCD;(2)牢记相似三角形对应边的比相等. 20.如图,菱形ABCD的对角线交于点O,点E是菱形外一点,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形DECO是矩形; (2)连接AE交BD于点F,当∠ADB=30°,DE=2时,求AF的长度. 【分析】(1)根据菱形的性质求出∠DOC=90°,根据平行四边形和矩形的判定得出即可; (2)求出DF=FO,解直角三角形求出OD,求出OF,根据勾股定理求出AF即可. 【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, 即∠DOC=90°, ∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形DECO是平行四边形, ∴四边形DECO是矩形; (2)解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=OC, ∵四边形DECO是矩形, ∴DE=OC, ∵DE=2, ∴DE=AO=2, ∵DE∥AC, ∴∠OAF=∠DEF, 在△AFO和△EFD中 ∴△AFO≌△EFD(AAS), ∴OF=DF, 在Rt△ADO中,tan∠ADB=, ∴=, ∴DO=2, ∴FO=, ∴AF===. 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键. 21.如图,直线y=x+2与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象交于点A(2,m),与y轴交于点 B. (1)求m、k的值; (2)连接OA,将△AOB沿射线BA方向平移,平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B',当点O'恰好落在反比例函数y=(k>0)的图象上时,求点O'的坐标; (3)设点P的坐标为(0,n)且0<n<4,过点P作平行于x轴的直线与直线y=x+2和反比例函数y=(k>0)的图象分别交于点C,D,当C、D间距离小于或等于4时,直接写出n的取值范围. 【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值,进而可得出点A的坐标,再利用待定系数法即可求出k值; (2)由直线AB的解析式可得出直线OO′的解析式为y=x,联立直线OO′及反比例函数解析式成方程组,通过解方程组即可得出点O'的坐标(取正值); (3)由点P的坐标,可得出点C,D的坐标,结合CD≤4即可得出关于n的一元二次不等式,再结合0<n<4即可求出n的取值范围. 【解答】解:(1)∵直线y=x+2过点A(2,m), ∴m=2+2=4, ∴点A的坐标为(2,4). 将A(2,4)代入y=,得:4=, ∴k=8. (2)∵△AOB沿射线BA方向平移,直线AB的解析式为y=x+2, ∴直线OO′的解析式为y=x. 联立直线OO′及反比例函数解析式成方程组,得:, 解得:,(舍去), ∴点O′的坐标为(2,2). (3)∵点P的坐标为(0,n), ∴点C的坐标为(n﹣2,n),点D的坐标为(,n). ∵CD=﹣(n﹣2)≤4,n>0, ∴n2+2n﹣8≥0, 解得:n≥2或n≤﹣4(舍去), 又∵0<n<4, ∴2≤n<4. 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、解一元二次不等式以及反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是:(1)利用一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法,求出m,k的值;(2)联立直线与反比例函数解析式成方程组,通过解方程组求出点O'的坐标;(3)由CD的范围,找出关于n的一元二次不等式. 22.如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD,过点C作CE⊥DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)当BD=,sinF=时,求OF的长. 【分析】(1)连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1,由已知∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC∥DB,再由CE⊥DB,得到OC⊥CF,根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线; (2)连接AD.由圆周角定理得出∠D=90°,证出∠BAD=∠F,得出sin∠BAD=sin∠F==,求出AB=BD=6,得出OB=OC=3,再由sinF==即可求出OF. 【解答】解:(1)连接OC.如图1所示: ∵OA=OC, ∴∠1=∠2. 又∵∠3=∠1+∠2, ∴∠3=2∠1. 又∵∠4=2∠1, ∴∠4=∠3, ∴OC∥DB. ∵CE⊥DB, ∴OC⊥CF. 又∵OC为⊙O的半径, ∴CF为⊙O的切线; (2)连接AD.如图2所示: ∵AB是直径, ∴∠D=90°, ∴CF∥AD, ∴∠BAD=∠F, ∴sin∠BAD=sinF==, ∴AB=BD=6, ∴OB=OC=3, ∵OC⊥CF, ∴∠OCF=90°, ∴sinF==, 解得:OF=5. 【点评】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果. 23.为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题: (1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中∠α的度数是多少? (2)请把条形统计图补充完整; (3)学校为举办2018年度校园文化艺术节,决定从A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率. 【分析】(1)用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数,用360°乘以C对应的百分比可得∠α的度数; (2)用总人数乘以C科目的百分比即可得出其人数,从而补全图形; (3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好是“书法”“乐器”的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:(1)本次调查的学生总人数为4÷10%=40人,∠α=360°×(1﹣10%﹣20%﹣40%)=108°; (2)C科目人数为40×(1﹣10%﹣20%﹣40%)=12人, 补全图形如下: (3)画树状图为: 共有12种等可能的结果数,其中恰好是书法与乐器组合在一起的结果数为2, 所以书法与乐器组合在一起的概率为=. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.也考查了统计图. 24.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠CAB=30°,D是直径AB上一动点,连接CD并过点D作CD的垂线,与⊙O的其中一个交点记为点E(点E位于直线CD上方或左侧),连接EC.已知AB=6cm,设A、D两点间的距离为xcm,C、D两点间的距离为y1cm,E、C两点间的距离为y2cm. 小雪根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小雪的探究过程: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值,请将表格补充完整; x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.20 4.36 3.60  3  2.65 2.65  3  y2/cm 5.20 4.56 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当∠ECD=60°时,AD的长度约为 4.5或6 cm. 【分析】(1)当x=3时,点D与等O重合,此时△DCE是等腰直角三角形,当x=6时,点D与B重合,由此即可解决问题; (2)利用描点法画出函数图象即可; (3)利用直角三角形30度角的性质可知:EC=2CD,推出y2=2y1,观察函数图象可知,满足条件的x的值为4.5cm或6cm. 【解答】解:(1)当x=3时,∵AB=6,AD=3, ∴点D与等O重合,此时△DCE是等腰直角三角形, ∴CD=DE=3, ∴y1=3, 当x=6时,点D与B重合, ∴CD=BC, ∵∠CAB=30°, ∴CD=BC=AB=3, 故答案为3,3. (2)函数图象如图所示: (3)当∠ECD=60°时, 在Rt△ECD中,∵∠EDC=90°, ∴∠CED=30°, ∴EC=2CD, ∴y2=2y1, 关系图象可知,满足条件的x的值为4.5cm或6cm. 故答案为4.5或6. 【点评】本题属于圆综合题,动点问题,考查了解直角三角形,函数图象,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题,属于中考压轴题. 25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A、B,(点A在点B的左侧),且AB=2. (1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示); (2)若抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,﹣1)和(0,0)之间,求a的取值范围; (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围. 【分析】(1)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴,把A(1,0)代入y=ax2﹣4ax+m(a≠0)中,可得结论; (2)根据抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,﹣1)和(0,0)之间得:﹣1<m<0,得﹣1<3a<0; (3)分两种情况: ①当a>0时,由题意得:﹣3<﹣4a+m≤﹣2, ②当a<0时,由题意得:2≤﹣4a+m<3, 解出即可得结论. 【解答】解:(1)由抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)可知:对称轴为直线x=﹣=2, ∵AB=2,点A在点B的左侧, ∴A(1,0),B(3,0), 把A(1,0)代入y=ax2﹣4ax+m(a≠0)中,得a﹣4a+m=0, ∴m=3a; (2)∵抛物线y=ax2﹣4ax+m(a≠0)与y轴的交点在(0,﹣1)和(0,0)之间, ∴a<0, 当抛物线经过点(0,﹣1)时,可得a=﹣, ∴a的取值范围是﹣<a<0; (3)y=ax2﹣4ax+m=a(x﹣2)2﹣4a+m, ∴顶点(2,﹣4a+m), ∵线段AB上有三个整点(1,0),(2,0),(3,0), ①当a>0时,由题意得:﹣3<﹣4a+m≤﹣2, ∵m=3a, ∴﹣3<﹣4a+3a≤﹣2, ∴2≤a<3, ②当a<0时,由题意得:2≤﹣4a+m<3, ∵m=3a, ∴2≤﹣4a+3a<3, ∴﹣3<a≤﹣2. 综上,a的取值范围:2≤a<3或﹣3<a≤﹣2. 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,属于中考常考题型. 26.如图1,在正方形ABCD中,点F在边BC上,过点F作EF⊥BC,且FE=FC(CE<CB),连接CE、AE,点G是AE的中点,连接FG. (1)用等式表示线段BF与FG的数量关系是 BF=FG ; (2)将图1中的△CEF绕点C按逆时针旋转,使△CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上,点G仍是AE的中点,连接FG、DF. ①在图2中,依据题意补全图形; ②求证:DF=FG. 【分析】(1)先判断出△AGB≌△CGB,得到∠GBF=45°,再判断出△EFG≌△CFG,得到∠GFB=45°,从而得到△BGF为等腰直角三角形,即可. (2)①画图2即可; ②如图2,连接BF、BG,证明△ADF≌△ABF得DF=BF,根据直角三角形斜边中线的性质得:AG=EG=BG=FG,由圆的定义可知:点A、F、E、B在以点G为圆心,AG长为半径的圆上,∠BGF=2∠BAC=90°,所以△BGF是等腰直角三角形,可得结论. 【解答】解:(1)BF=FG, 理由是:如图1,连接BG,CG, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABC=90°,∠ACB=45°,AB=BC, ∵EF⊥BC,FE=FC, ∴∠CFE=90°,∠ECF=45°, ∴∠ACE=90°, ∵点G是AE的中点, ∴EG=CG=AG, ∵BG=BG, ∴△AGB≌△CGB(SSS), ∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=45°, ∵EG=CG,EF=CF,FG=FG, ∴△EFG≌△CFG(SSS), ∴∠EFG=∠CFG=(360°﹣∠BFE)=(360°﹣90°)=135°, ∵∠BFE=90°, ∴∠BFG=45°, ∴△BGF为等腰直角三角形, ∴BF=FG. 故答案为:BF=FG; (2)①如图2所示, ②如图2,连接BF、BG, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠ABC=∠BAD=90°,AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=45°, ∵AF=AF, ∴△ADF≌△ABF(SAS), ∴DF=BF, ∵EF⊥AC,∠ABC=90°,点G是AE的中点, ∴AG=EG=BG=FG, ∴点A、F、E、B在以点G为圆心,AG长为半径的圆上, ∵=,∠BAC=45°, ∴∠BGF=2∠BAC=90°, ∴△BGF是等腰直角三角形, ∴BF=FG, ∴DF=FG. 【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的判定和性质,圆的性质,判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键,作出辅助线是解本题的难点. 27.在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,点P与圆心C不重合,给出如下定义:若在⊙C上存在一点M,使∠MPC=30°,则称点P为⊙C的特征点. (1)当⊙O的半径为1时,如图1 ①在点P1(﹣1,0),P2(1,),P3(3,0)中,⊙O的特征点是 P1,P2 . ②点P在直线y=﹣x+b上,若点P为⊙O的特征点,求b的取值范围. (2)如图2,⊙C的圆心在x轴上,半径为2,点A(﹣2,0),B(0,2).若线段AB上的所有点都是⊙C的特征点,直接写出圆心C的横坐标m的取值范围. 【分析】(1)①根据⊙O的特征点的定义,如果0<OP≤2r(r为⊙O的半径),则点P是⊙O的特征点; ②分两种情形考虑问题:如图1中,当b>0时,设直线y=﹣x+b与2为半径的⊙O相切于点C,与y轴交于点E,与x轴交于点F.解直角三角形求出OE即可,当b<0时,根据对称性可得结论; (2)如图2中,取点K(2,0),连接BK.由题意满足条件点C到点B的距离小于等于4且点C到点A的距离小于等于4(点A除外),由此即可解决问题; 【解答】解:(1)①由题意当0<OP≤2r(r为⊙O的半径),则点P是⊙O的特征点, ∵OP1=1,OP2=2,OP3=3, ∴P1,P2是特征点, 故答案为P1,P2. ①如图1中,当b>0时,设直线y=﹣x+b与2为半径的⊙O相切于点C,与y轴交于点E,与x轴交于点F. 则有:E(0,b),F(b,0),OC⊥EF, ∴tan∠FEO===, ∴∠FEO=30°, ∴sin∠OEC==,OC=2, ∴OE=4, ∴b=4, 当b<0时,根据对称性可知:b=﹣4, ∴满足条件的b的范围:﹣4≤b≤4. (3)如图2中,取点K(2,0),连接BK. 易知△ABK是边长为4的等边三角形, ∵线段AB上的所有点都是⊙C的特征点, ∴点C到点B的距离小于等于4且点C到点A的距离小于等于4(点A除外), ∴点C在线段AK上(点A除外), ∴满足条件的m的值为﹣2<m≤2. 【点评】本题属于圆综合题,考查了直线与圆的位置关系,解直角三角形,锐角三角函数,等边三角形的判定和性质,⊙C的特征点的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题.

  • ID:3-5460547 2018-2019学年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/八年级上册

    2018-2019学年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.36的算术平方根是(  ) A.6 B.﹣6 C.±6 D. 2.下列成语描述的事件中,属于随机事件的是(  ) A.水中捞月 B.风吹草动 C.一手遮天 D.守株待兔 3.下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 4.下列各式计算正确的是(  ) A.=2 B.÷= C.()2=3 D.=﹣2 5.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣10x+21=0的一个根,则该三角形第三边的长是(  ) A.6 B.3或7 C.3 D.7 6.下列各式计算正确的是(  ) A.= B.=﹣ C.()3= D.=x2 7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(  ) A.20° B.35° C.40° D.70° 8.某市从2018年开始大力发展旅游产业.据统计,该市2018年旅游收入约为2亿元.预计2020年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是(  ) A.2(1+x)2=2.88 B.2x2=2.88 C.2(1+x%)2=2.88 D.2(1+x)+2(1+x)2=2.88 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.要使二次根式有意义,那么x的取值范围是   . 10.如果分式的值为0,那么x=   . 11.下列实数、π、、中,无理数是   . 12.等腰三角形的一内角是40°,则其它两角的度数分别是   . 13.将一元二次方程x2+2x﹣1=0化成(x+a)2=b的形式,其中a,b是常数,则a=   ,b=   . 14.随意的抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全相同),那么这粒豆子落在黑色方格中的可能性是   . 15.如果实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么+=   . 16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,则CD的长是   . 三、解答题(本题共68分,第17~22题每小题5分,第23~26题每小题5分,第27~28题每小题5分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算: (1)﹣+|﹣|; (2)2×÷4. 18.解方程:x2﹣2x﹣4=0. 19.已知m2+3m﹣4=0,求代数式(m+2﹣)÷的值. 20.解方程:﹣=0 21.已知:如图,∠1=∠2.请添加一个条件   ,使得△ABD≌△CDB,然后再加以证明. 22.老师给同学们布置了一个“在平面内找一点,使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务:下面是小聪同学设计的尺规作图过程: 已知:如图,△ABC中,AB=AC.求作:一点P,使得PA=PB=PC. 作法: ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D; ②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P; ③连接PB,PC.所以,点P就是所求作的点. 根据小聪同学设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形.(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵AB=AC,AM平分∠BAC交BC于点D, ∴AD是BC的垂直平分线;(   )(填推理依据) ∴PB=PC. ∵EF垂直平分AB,交AM于点P, ∴PA=PB;(   )(填推理依据) ∴PA=PB=PC. 23.学习了分式运算后,老师布置了这样一道计算题:﹣,甲、乙两位同学的解答过程分别如下: 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以改正. (1)我选择   同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”) (2)该同学的解答从第   步开始出现错误(填序号),错误的原因是   ; (3)请写出正确解答过程. 24.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是BC、AC上的点,且DE=3,AD=4,AE=5.若∠BAD=73°,∠C=35°,求∠AED的度数. 25.列方程解应用题: 京西山峦,首都的生态屏障.我区坚持生态优先、绿色发展的理念,持续拓展绿色生态空间. 某公园为了拓展绿色生态空间,特安排了甲、乙两个工程队进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍,并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时,甲工程队比乙工程队少用4天,求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米? 26.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+=0. (1)当b=a+1时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的a,b的值,并求出此时方程的根. 27.阅读材料: 我们定义:如果两个实数的差等于这两个实数的商,那么这两个实数就叫做“差商等数对”.即:如果a﹣b=a÷b,那么a与b就叫做“差商等数对”,记为(a,b).例如: 4﹣2=4÷2; ﹣3=÷3; (﹣)﹣(﹣1)=(﹣)÷(﹣1); 则称数对(4,2),(,3),(﹣,﹣1)是“差商等数对”.根据上述材料,解决下列问题: (1)下列数对中,“差商等数对”是   (填序号); ①(﹣8.1,﹣9),②(,),③(2+2,) (2)如果(x,4)是“差商等数对”,请求出x的值; (3)如果(m,n)是“差商等数对”,那么m=   (用含n的代数式表示). 28.已知:△ABC是等边三角形,D是直线BC上一动点,连接AD,在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP=30°,作点A关于射线DP的对称点E,连接DE、CE. (1)当点D在线段BC上运动时, ①依题意将图1补全; ②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系,并证明; (2)当点D在直线BC上运动时,请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系,不需证明. 2018-2019学年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.36的算术平方根是(  ) A.6 B.﹣6 C.±6 D. 【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果. 【解答】解:36的算术平方根是6. 故选:A. 【点评】此题考查了算术平方根,熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键. 2.下列成语描述的事件中,属于随机事件的是(  ) A.水中捞月 B.风吹草动 C.一手遮天 D.守株待兔 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别对每一项进行分析,即可得出答案. 【解答】解:A、水中捞月是不可能事件,故A错误; B、风吹草动是必然事件,故B错误; C、一手遮天是不可能事件,故C错误; D、守株待兔是随机事件,故D正确; 故选:D. 【点评】此题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 3.下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可. 【解答】解:A不属于轴对称图形,故此选项错误; B不属于轴对称图形,故此选项错误; C属于轴对称图形,故此选项正确; D不属于轴对称图形,故此选项错误; 故选:C. 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形. 4.下列各式计算正确的是(  ) A.=2 B.÷= C.()2=3 D.=﹣2 【分析】根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的性质逐一计算可得. 【解答】解:A.==,此选项错误; B.÷==,此选项错误; C.()2=3,此选项正确; D.=2,此选项错误; 故选:C. 【点评】本题主要考查二次根式的乘除法,解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则和二次根式的性质. 5.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2﹣10x+21=0的一个根,则该三角形第三边的长是(  ) A.6 B.3或7 C.3 D.7 【分析】把方程的左边利用十字相乘法分解因式,根据两数之积为0,两因式至少有一个为0,转化为两个一元一次方程,分别求出两方程的解即可得到原方程的解,进而得到三角形的第三边长. 【解答】解:方程x2﹣10x+21=0可化为:(x﹣3)(x﹣7)=0, 解得:x1=3,x2=7, ∴三角形的第三边长为3或6, 当第三边长为3时,由3+3=6,得到三边不能构成三角形,舍去; 所以第三边长为7, 故选:D. 【点评】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程,以及三角形的三边关系,运用因式分解的方法解一元二次方程的前提必须是方程坐标利用因式分解的方法把和的形式化为积的形式,右边为0,此方法的理论依据为ab=0,得到a=0或b=0,三角形的三边关系为:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,利用此性质把求出的方程的解x=3舍去. 6.下列各式计算正确的是(  ) A.= B.=﹣ C.()3= D.=x2 【分析】根据分式的基本性质和运算法则逐一判别即可得. 【解答】解:A.≠,此选项错误; B.==﹣,此选项正确; C.()3=,此选项错误; D.=x3,此选项错误; 故选:B. 【点评】本题主要考查分式的乘除法,解题的关键是熟练掌握分式的基本性质和分式的乘除运算法则. 7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(  ) A.20° B.35° C.40° D.70° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB,根据三角形内角和定理求出∠ACB,根据角平分线的定义计算即可. 【解答】解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线, ∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB, ∴∠ACB==70°, ∵CE是△ABC的角平分线, ∴∠ACE=∠ACB=35°, 故选:B. 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理,掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键. 8.某市从2018年开始大力发展旅游产业.据统计,该市2018年旅游收入约为2亿元.预计2020年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为x,下面所列方程正确的是(  ) A.2(1+x)2=2.88 B.2x2=2.88 C.2(1+x%)2=2.88 D.2(1+x)+2(1+x)2=2.88 【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x,根据该市2018年旅游收入及2020年旅游预计收入,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:设该市旅游收入的年平均增长率为x, 根据题意得:2(1+x)2=2.88. 故选:A. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.要使二次根式有意义,那么x的取值范围是 x≥1 . 【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解. 【解答】解:根据题意得,x﹣1≥0, 解得x≥1. 故答案为:x≥1. 【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 10.如果分式的值为0,那么x= ﹣3 . 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案. 【解答】解:∵分式的值为0, ∴x+3=0, 解得:x=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件,正确把握定义是解题关键. 11.下列实数、π、、中,无理数是 π, . 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定. 【解答】解:在实数、π、、中,无理数是π,, 故答案为:π,. 【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数. 12.等腰三角形的一内角是40°,则其它两角的度数分别是 70°,70°或40°,100° . 【分析】已知给出了一个内角是40°,没有明确是顶角还是底角,所以要进行分类讨论,分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立. 【解答】解:①当40°角是顶角时,底角的度数为:(180°﹣40°)÷2=70°,故其它两角的度数分别是:70°,70°; ②当40°角是底角时,顶角的度数为:180°﹣2×40°=100°,故其它两角的度数分别是:40°,100°; 故答案为:70°,70°或40°,100°. 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 13.将一元二次方程x2+2x﹣1=0化成(x+a)2=b的形式,其中a,b是常数,则a= 1 ,b= 2 . 【分析】方程常数项移到右边,两边加上1,变形得到结果,即可确定出a与b的值. 【解答】解:方程x2+2x﹣1=0, 变形得:x2+2x=1, 配方得:x2+2x+1=2,即(x+1)2=2, 则a=1,b=2. 故答案为:1,2. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 14.随意的抛一粒豆子,恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全相同),那么这粒豆子落在黑色方格中的可能性是  . 【分析】根据面积法:求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答. 【解答】解:∵共有15个方格,其中黑色方格占5个, ∴这粒豆子落在黑色方格中的概率是=, 故答案为:. 【点评】此题考查了几何概率的求法,利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键. 15.如果实数a、b在数轴上的位置如图所示,那么+= 2b﹣a . 【分析】由数轴知a<0<b且|a|<|b|,据此得a﹣b<0,再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得. 【解答】解:由数轴知a<0<b,且|a|<|b|, 则a﹣b<0, ∴+=|a﹣b|+|b| =b﹣a+b =2b﹣a, 故答案为:2b﹣a. 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简,解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、绝对值的性质. 16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AB、AC于点M、N,再分别以M、N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,则CD的长是  . 【分析】如图,作DH⊥AB于H.由△ADH≌△ADC(AAS),推出DH=DC,AC=AH=3,在Rt△ABC中,易知BC==4,设DC=DH=m,在Rt△BHD中,根据BD2=BH2+DH2,构建方程求出m即可; 【解答】解:如图,作DH⊥AB于H. ∵DA平分∠BAC, ∴∠DAH=∠DAC, ∵∠AHD=∠C=90°,AD=AD, ∴△ADH≌△ADC(AAS), ∴DH=DC,AC=AH=3, 在Rt△ABC中,∵AB=5,AC=3, ∴BC==4,设DC=DH=m, 在Rt△BHD中,∵BD2=BH2+DH2, ∴(4﹣m)2=m2+22, ∴m=, ∴CD=, 故答案为. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 三、解答题(本题共68分,第17~22题每小题5分,第23~26题每小题5分,第27~28题每小题5分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.计算: (1)﹣+|﹣|; (2)2×÷4. 【分析】(1)直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案; (2)直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案. 【解答】解:(1)原式=2﹣3+ =3﹣3; (2)原式=2×× =× =. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 18.解方程:x2﹣2x﹣4=0. 【分析】在本题中,把常数项﹣4移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方. 【解答】解:由原方程移项,得 x2﹣2x=4, 等式两边同时加上一次项系数一半的平方,得 x2﹣2x+1=5, 配方,得 (x﹣1)2=5, ∴x=1±, ∴x1=1+,x2=1﹣. 【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法.配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数. 19.已知m2+3m﹣4=0,求代数式(m+2﹣)÷的值. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值. 【解答】解:原式=?=?=m(m+3)=m2+3m, ∵m2+3m﹣4=0, ∴m2+3m=4, ∴原式=4. 【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20.解方程:﹣=0 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1后即可得到方程的解. 【解答】解:去分母得:6x﹣(x+5)=0, 去括号得:6x﹣x﹣5=0, 合并同类项移项得:5x=5, 系数化为1得:x=1, 检验:把x=1代入x(x﹣1)=0, 所以原方程无解. 【点评】考查了分式方程的解法,解答完毕后必须要检验,难度不大. 21.已知:如图,∠1=∠2.请添加一个条件 AB=CD(答案不唯一) ,使得△ABD≌△CDB,然后再加以证明. 【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,如AB=CD或∠A=∠C或∠ABD=∠BDC或AB∥CD. 【解答】解:AB=CD, 理由是:∵在△ABD和△CDB中 ∵, ∴△ABD≌△CDB(SAS), 故答案为:AB=CD(答案不唯一). 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS. 22.老师给同学们布置了一个“在平面内找一点,使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图任务:下面是小聪同学设计的尺规作图过程: 已知:如图,△ABC中,AB=AC.求作:一点P,使得PA=PB=PC. 作法: ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D; ②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P; ③连接PB,PC.所以,点P就是所求作的点. 根据小聪同学设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形.(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵AB=AC,AM平分∠BAC交BC于点D, ∴AD是BC的垂直平分线;( 等腰三角形的三线合一 )(填推理依据) ∴PB=PC. ∵EF垂直平分AB,交AM于点P, ∴PA=PB;( 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 )(填推理依据) ∴PA=PB=PC. 【分析】(1)利用基本作图作角平分线AD和AB的垂直平分线,它们相交于P点; (2)根据等腰三角形的性质得到PB=PC.再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到PA=PC,从而得到PA=PB=PC. 【解答】解:(1)如图,AD、点P为所作; (2)证明:∵AB=AC,AM平分∠BAC交BC于点D, ∴AD是BC的垂直平分线;(等腰三角形的三线合一) ∴PB=PC. ∵EF垂直平分AB,交AM于点P, ∴PA=PB;(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等), ∴PA=PB=PC. 故答案为等腰三角形的三线合一;线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 23.学习了分式运算后,老师布置了这样一道计算题:﹣,甲、乙两位同学的解答过程分别如下: 老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以改正. (1)我选择 甲(答案不唯一) 同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”) (2)该同学的解答从第 ② 步开始出现错误(填序号),错误的原因是 通分时,将分母乘以x+1,而分子没有乘以x+1 ; (3)请写出正确解答过程. 【分析】(1)根据甲和乙的解答过程判别,选择擅长的即可; (2)由分式加减运算法则和分式的基本性质求解; (3)根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得. 【解答】解:(1)我选择甲同学的解答过程进行分析(或者选择乙均可), 故答案为:甲(答案不唯一); (2)甲同学在第②步计算错误,对分式进行通分时,将分母乘以x+1,而分子没有乘以x+1, 故答案为:②,通分时,将分母乘以x+1,而分子没有乘以x+1; (3)正确解答过程如下: ﹣ =﹣ =﹣ = = =﹣. 【点评】本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质. 24.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是BC、AC上的点,且DE=3,AD=4,AE=5.若∠BAD=73°,∠C=35°,求∠AED的度数. 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=35°,根据勾股定理的逆定理得到∠ADE=90°,根据三角形的内角和得到∠ADB=72°,进而根据平角的定义得到∠EDC=18°,再根据三角形外角的性质得到∠AED的度数. 【解答】解:∵AB=AC,∠C=35°, ∴∠B=∠C=35°, ∵DE=3,AD=4,AE=5, ∴DE2+AD2=3+4=25,AE2=5=25, ∴DE2+AD2=AE2, ∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°; 又∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°,∠BAD=73°, ∴∠ADB=180°﹣73°﹣35°=72°; 又∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°, ∴∠EDC=180°﹣72°﹣90°=18°; ∴∠AED=∠EDC+∠C=18°+35°=53°. 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,三角形外角的性质,熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键. 25.列方程解应用题: 京西山峦,首都的生态屏障.我区坚持生态优先、绿色发展的理念,持续拓展绿色生态空间. 某公园为了拓展绿色生态空间,特安排了甲、乙两个工程队进行绿化.已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的2倍,并且两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时,甲工程队比乙工程队少用4天,求甲、乙两工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米? 【分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是x平方米,则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x平方米,根据工作时间=总工作量÷工作效率结合两工程队在独立完成面积为400平方米区域的绿化时甲工程队比乙工程队少用4天,即可得出关于x的分式方程,解之经检验即可得出结论. 【解答】解:设乙工程队每天能完成的绿化面积是x平方米,则甲工程队每天能完成的绿化面积是2x平方米, 根据题意得:﹣=4, 解得:x=50, 经检验,x=50是所列方程的解,并且符合实际问题的意义, ∴2x=100. 答:甲工程队每天能完成的绿化面积是100平方米,乙工程队每天能完成的绿化面积是50平方米. 【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式是解题的关键. 26.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+=0. (1)当b=a+1时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的a,b的值,并求出此时方程的根. 【分析】(1)由方程的系数结合根的判别式、b=a+1,可得出△=a2+1>0,进而可找出方程ax2+bx+=0有两个不相等实数根; (2)由根的判别式△=b2﹣2a=0,可得出:若b=2,a=2,则原方程为2x2+2x+=0,解之即可得出结论. 【解答】解:(1)△=b2﹣4a×=b2﹣2a, ∵b=a+1, ∴△=(a+1)2﹣2a =a2+2a+1﹣2a =a2+1>0, ∴原方程有两个不相等的实数根; (2)∵方程有两个相等的实数根, ∴b2﹣2a=0,即b2=2a, 取a=2,b=2, 则方程为2x2+2x+=0, ∴x1=x2=﹣. 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等实数根”;(2)取b=2、a=2解方程. 27.阅读材料: 我们定义:如果两个实数的差等于这两个实数的商,那么这两个实数就叫做“差商等数对”.即:如果a﹣b=a÷b,那么a与b就叫做“差商等数对”,记为(a,b).例如: 4﹣2=4÷2; ﹣3=÷3; (﹣)﹣(﹣1)=(﹣)÷(﹣1); 则称数对(4,2),(,3),(﹣,﹣1)是“差商等数对”.根据上述材料,解决下列问题: (1)下列数对中,“差商等数对”是 ①③ (填序号); ①(﹣8.1,﹣9),②(,),③(2+2,) (2)如果(x,4)是“差商等数对”,请求出x的值; (3)如果(m,n)是“差商等数对”,那么m=  (用含n的代数式表示). 【分析】(1)利用题中的新定义判断即可; (2)根据题中的新定义列出方程,求出方程的解即可得到x的值; (3)利用题中的新定义得到等式,表示出m即可. 【解答】解:(1)下列数对中,“差商等数对”是①③; 故答案为:①③; (2)根据题中的新定义得:x﹣4=x÷4, 解得:x=; (3)根据题意得:m﹣n=,整理得:m=. 故答案为: 【点评】此题考查了实数的运算,弄清题中的新定义是解本题的关键. 28.已知:△ABC是等边三角形,D是直线BC上一动点,连接AD,在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP=30°,作点A关于射线DP的对称点E,连接DE、CE. (1)当点D在线段BC上运动时, ①依题意将图1补全; ②请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系,并证明; (2)当点D在直线BC上运动时,请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系,不需证明. 【分析】(1)①根据题意补全图形; ②先判断出△ADE为等边三角形,进而判断出△ABD≌△ACE,即可得出结论; (2)分点D在线段BC上,在CB的延长线上,在BC的延长线上,同(1)①的方法即可得出结论. 【解答】解:(1)①补全图形如图1所示: ②AB=CE+CD, 理由:∵点A关于射线DP的对称点为E, ∴DP垂直平分AE, ∴AD=DE. 又∵∠ADP=30°, ∴∠ADE=2∠ADP=60°; ∴△ADE是等边三角形, ∴AD=AE,∠DAE=∠ADE=60°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=60°. ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC, 即:∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE (SAS) ∴BD=CE ∴AB=BC=BD+CD=CE+CD. (2)①当点D在线段BC上时,AB=CE+CD, 理由:如图1,在(1)②的过程; ②当点D在CB的延长线上时,AB=CD﹣CE, 如图2, 理由:由(1)①得,△ADE是等边三角形, ∴AD=AE,∠DAE=∠ADE=60°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=60°. ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE, 即:∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE (SAS) ∴BD=CE ∴AB=BC=CD﹣BD=CD﹣CE; ③当点D在BC的延长线上时,AB=CE﹣CD, 理由:如图3,由(1)①得,△ADE是等边三角形, ∴AD=AE,∠DAE=∠ADE=60°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=60°. ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即:∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE (SAS) ∴BD=CE ∴AB=BC=BD﹣CD=CE﹣CD; 即:AB=CE+CD,AB=CD﹣CE,AB=CE﹣CD. 【点评】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的判定和性质,对称的性质,全等三角形的判定和性质,分三种情况画图图形是解本题的关键.

  • ID:3-5460546 2018-2019学年北京市怀柔区七年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/七年级上册

    2018-2019学年北京市怀柔区七年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共20分,每小题2分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1.北京市中小学学生“四个一”活动2014年启动,4年来共有1460000人次中小学生到天安门观礼台参加升国旗仪式、走进一次国家博物馆、首都博物馆和抗日战争纪念馆,接受社会主义核心价值观教育.将1460000用科学记数法表示应为(  ) A.146×104 B.14.6×105 C.1.46×106 D.1.46×107 2.如图,在数轴上点A、B、C、D表示的数,其中绝对值最大的是(  ) A.点A B.点B C.点C D.点D 3.如图所示,在数轴上有四个点A、B、C、D,其中表示﹣2的相反数的是(  ) A.点 A B.点B C.点C D.点D 4.在下列变形中,错误的是(  ) A.(﹣2)﹣3+(﹣5)=﹣2﹣3﹣5 B.(﹣3)﹣(﹣5)=﹣3﹣﹣5 C.a+(b﹣c)=a+b﹣c D.a﹣(b+c)=a﹣b﹣c 5.如果x=1是关于x的方程2x+a=6的解,那么a的值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图的立体图形,从左面看可能是(  ) A. B. C. D. 7.下列语句,叙述正确的是(  ) A.A、B两点间的距离是指连接A、B两点的线段 B.点A到直线BC的距离是指点A到直线BC的垂线段 C.过线段AB上一点M只能作出1条直线和AB垂直 D.过线段AB外一点M可以作出n条直线和AB垂直 8.如图,图1和图2中,两个剪刀张开的角度α和β的大小关系为(  ) A.α>β B.α<β C.α=β D.不能确定 9.a为绝对值小于2019的所有整数的和,则2a的值为(  ) A.4036 B.4038 C.2 D.0 10.一组数:2,1,3,x,7,y,23,…,满足“前两个数依次为a、b,紧随其后的第三个数是2a﹣b”,例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的,那么这组数中y表示的数为(  ) A.9 B.﹣9 C.8 D.﹣8 二、填空题(本题共12分,每小题2分) 11.写出一个单项式,要求:此单项式含有字母a、b,系数是负数,次数是3.我写的单项式为   . 12.写出一个一元一次方程,要求:解此方程时第一步必须是利用合并同类项法则合并同类项.我写的方程为   . 13.角度换算:16°36′=   °. 14.下列是运用有理数加法法则计算﹣7+5思考过程的叙述: ①结果的符号是取﹣7的符号﹣﹣负号;②计算结果为﹣2;③﹣7+5是异号两数相加; ④﹣7的绝对值7较大;⑤结果的绝对值是用7﹣5得到; ⑥﹣7和5的绝对值分别为7和5; ⑦5的绝对值5较小. 请按运用法则计算的先后顺序排序(只写序号):   . 15.如图,O为直线AB上一点,射线OC平分∠AOE,射线OD平分∠EOB,那么∠COD的度数为   . 16.1949年9月27日,全国政协第一届全体会议上通过的《关于中华人民共和国国都、纪年、国歌、国徽、国旗的决议》中,第四点规定:“中华人民共和国的国旗为红底五星旗(如图1),象征中国革命人民大团结.长宽比例为3:2,左上方缀黄色五角星五颗,四颗小星环拱在一颗大星的右面,并各有一个角尖正对大星的中心点.” 第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日﹣21日在巴西的里约热内卢举行.在此次的奥运颁奖舞台上出了尴尬情况,多名细心网友指出,射击和游泳颁奖仪式中,冉冉升起的五星红旗被搞错了(如图2). 请你先阅读五星红旗制作的相关规定,再仔细观察图①和图②中的国旗,用所学到的图形知识和语言解释错误的原因. 错误的原因是:   . 三、解答题(本题共68分,其中第21、26、28小题,每小题5分,其余每小题5分) 17.计算:﹣6+(﹣5)﹣(﹣12). 18.计算:6÷(﹣3)×(). 19.计算:24÷(﹣2)3﹣9×(﹣)2. 20.计算:﹣12﹣12×(﹣+﹣). 21.指出下列单项式中的同类项,并将所有同类项写成一个多项式,再合并同类项. ﹣y2x、2xy、2xy2、x、y、﹣3xy、﹣yx、2. 22.先解方程:4x=2.并回答:为什么这样做和这样做的依据: (1)为什么这样做:   ; (2)这样做的依据:   . 23.下面是明明同学解方程2+6x=3x﹣13的第一步: 6x﹣3x=﹣13﹣2. 请回答:为什么这样做和这样做的依据. (1)为什么这样做:   ; (2)这样做的依据:   ; (3)求出此方程的解. 24.解方程:1﹣(2x﹣5)=7﹣3x. 25.在解方程x+(x﹣94)=35时,小明被难住.以下是小明、小丽、小飞同学的对话和解答过程,请你将其补充完整: 小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了. 小丽:解此方程的第一步,我观察到含有括号,我认为应先   ,依据是   ,就可以考虑合并同类项了. 小明利用小丽的想法写出了完整的解答过程如下: 小飞:解此方程的第一步还可以这样想,我观察到此方程含分母,我认为应先   ,在方程两边都   ,依据是   . 小明利用小飞的想法写出了完整的解答过程如下: 26.请你用实例解释下列代数式的意义. (1)﹣4+3; (2)3a; (3)()3. 27.饺子(如图1)源于古代的角子,饺子原名“娇耳”,相传是我国医圣张仲景首先发明的,距今已有一千八百多年的历史了.有一句民谣叫“大寒小寒,吃饺子过年.”包饺子时,将面团揉成长条状,后用刀切或用手揪成一个个小面团,这些小面团就是箕(jì)子(如图2).擀皮时,将箕子压扁后擀成圆形面皮,一个面箕子可以擀出一个饺子皮(如图3),就可以用来包饺子了. 中国北方,尤其是在京、津地区流行的一种面食﹣合子(如图4),含有团团圆圆的美好寓意.用两层饺子皮在中间加一层馅,就可以包成一个合子.北方有风俗曰:初一的饺子、初二的面、初三的合子往家转. 小亮的妈妈喜爱研究中华美食,自己动手经常给家人做出色香味俱佳的食品.妈妈在传承古人的做法的同时,也进行了加工创新.在每次包饺子临近结束时,如果饺子馅少了,饺子皮多了,这时妈妈会停止包饺子,改包合子,这样既不浪费食材,家人既吃到了饺子又吃到了合子. 这天,妈妈从厨房走到书房,对正在学习的小亮说:“妈妈刚才在厨房包饺子,结果面和多了,做了88个饺子箕,最后包了饺子和合子一共是81个.” 小亮说:“妈妈,我能用刚刚学到的列一元一次方程解应用题的知识和方法得出您包的饺子和合子分别是多少.” 请你写出小亮同学的解答过程. 28.如图,小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的同侧居民住宅的一排住宅楼内居住,四个家庭的住址位于同一直线上.小明家到小英家的距离约为480米,小丽家到小英家的距离约为320米,小华家在小明家和小丽家之间线段的中点的位置. 请你通过所学图形知识建立数学模型,画出图形,求出小明家和小华家的距离. 29.实践探究 在数学实践课上,小明提出了这样的问题:分数可以写为小数形式,即0.反过来,无限循环小数0.写成分数形式即为.那么无限循环小数0.应怎样化为分数呢? 小明是这样思考的: 在学习解一元一次方程时,当变形到ax=b(a≠0)形式后,通过系数化1,两边同时除以a,得到方程的解x=,就是分数形式. 设0.=x,即x=0.777…,又10x=7.77…,这里x、0.777…、10x、7.77…存在着关系,根据这一关系我就可以找到相等关系,列出方程. 请你阅读小明的思考过程,把无限循环小数0.化为分数的过程写出来. 2018-2019学年北京市怀柔区七年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共20分,每小题2分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1.北京市中小学学生“四个一”活动2014年启动,4年来共有1460000人次中小学生到天安门观礼台参加升国旗仪式、走进一次国家博物馆、首都博物馆和抗日战争纪念馆,接受社会主义核心价值观教育.将1460000用科学记数法表示应为(  ) A.146×104 B.14.6×105 C.1.46×106 D.1.46×107 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:1460000用科学记数法表示为1.46×106, 故选:C. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 2.如图,在数轴上点A、B、C、D表示的数,其中绝对值最大的是(  ) A.点A B.点B C.点C D.点D 【分析】直接利用数轴结合绝对值的定义得出答案. 【解答】解:∵绝对值越大则点距离原点越远, ∴由数轴可得A点距离原点最远,故A点表示的数绝对值最大. 故选:A. 【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确理解绝对值的意义是解题关键. 3.如图所示,在数轴上有四个点A、B、C、D,其中表示﹣2的相反数的是(  ) A.点 A B.点B C.点C D.点D 【分析】根据相反数的含义和求法,判断出﹣2的相反数是2,即可判断出表示﹣2的相反数的是哪个点. 【解答】解:∵﹣2的相反数是2, ∴表示﹣2的相反数的是点C. 故选:C. 【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法,以及相反数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是判断出﹣2的相反数是2. 4.在下列变形中,错误的是(  ) A.(﹣2)﹣3+(﹣5)=﹣2﹣3﹣5 B.(﹣3)﹣(﹣5)=﹣3﹣﹣5 C.a+(b﹣c)=a+b﹣c D.a﹣(b+c)=a﹣b﹣c 【分析】在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式. 【解答】解:A.(﹣2)﹣3+(﹣5)=﹣2﹣3﹣5,本选项正确; B.(﹣3)﹣(﹣5)=﹣3++5,本选项错误; C.a+(b﹣c)=a+b﹣c,本选项正确; D.a﹣(b+c)=a﹣b﹣c,本选项正确; 故选:B. 【点评】本题考查去括号的方法:去括号时,括号前是“+”,去括号后,括号里的各项都不改变符号;括号前是“﹣”,去括号后,括号里的各项都改变符号.运用这一法则去掉括号. 5.如果x=1是关于x的方程2x+a=6的解,那么a的值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据题意将x=1代入方程即可求出a的值. 【解答】解:把x=1代入方程,得 2×1+a=6, 解得a=4. 故选:D. 【点评】此题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 6.如图的立体图形,从左面看可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】依据几何体的位置,从左面看该立体图形,可得左视图为一个三角形. 【解答】解:如图的立体图形,从左面看可能是: 故选:A. 【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图,掌握左视图的观察方向是解决问题的关键. 7.下列语句,叙述正确的是(  ) A.A、B两点间的距离是指连接A、B两点的线段 B.点A到直线BC的距离是指点A到直线BC的垂线段 C.过线段AB上一点M只能作出1条直线和AB垂直 D.过线段AB外一点M可以作出n条直线和AB垂直 【分析】依据两点间的距离、点到直线的距离以及垂线的性质,即可得到结论. 【解答】解:A.A、B两点间的距离是指连接A、B两点的线段的长度,故本选项错误; B.点A到直线BC的距离是指点A到直线BC的垂线段的长度,故本选项错误; C.过线段AB上一点M只能作出1条直线和AB垂直,故本选项正确; D.过线段AB外一点M可以作出1条直线和AB垂直,故本选项错误; 故选:C. 【点评】本题主要考查了两点间的距离、点到直线的距离以及垂线的性质,解题时注意:点到直线的距离是一个长度,而不是一个图形,也就是垂线段的长度,而不是垂线段. 8.如图,图1和图2中,两个剪刀张开的角度α和β的大小关系为(  ) A.α>β B.α<β C.α=β D.不能确定 【分析】将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合,观察另一边的位置,即可得到角的大小关系. 【解答】解:由图可得,两个剪刀张开的角度α和β的大小关系为α=β, 故选:C. 【点评】本题主要考查了角的大小比较,比较角的大小有两种方法:①测量法,②叠合法. 9.a为绝对值小于2019的所有整数的和,则2a的值为(  ) A.4036 B.4038 C.2 D.0 【分析】根据绝对值的性质求得符合题意的整数,再得出它们的和,即可得出结论. 【解答】解:∵绝对值小于2019的所有整数有0,±1,2,±3,…,±2016,±2017,±2018, ∴a=2018+2017+2016+…+1+0+(﹣1)+(﹣2)+…+(﹣2017)+(﹣2018) =[2018+(﹣2018)]+[2017+(﹣2017)]+…+[2+(﹣2)]+[1+(﹣1)]+0 =0 ∴2a=0 故选:D. 【点评】本题考查了绝对值,能求出符合的所有整数是解此题的关键. 10.一组数:2,1,3,x,7,y,23,…,满足“前两个数依次为a、b,紧随其后的第三个数是2a﹣b”,例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的,那么这组数中y表示的数为(  ) A.9 B.﹣9 C.8 D.﹣8 【分析】根据“从第三个数起,前两个数依次为a、b,紧随其后的数就是2a﹣b”,首先建立方程2×3﹣x=7,求得x,进一步利用此规定求得y即可. 【解答】解:解法一:常规解法 ∵从第三个数起,前两个数依次为a、b,紧随其后的数就是2a﹣b, ∴2×3﹣x=7, ∴x=﹣1, 则2×(﹣1)﹣7=y, 解得y=﹣9. 解法二:技巧型 ∵从第三个数起,前两个数依次为a、b,紧随其后的数就是2a﹣b, ∴7×2﹣y=23, ∴y=﹣9. 故选:B. 【点评】此题考查数字的变化规律,注意利用定义新运算方法列方程解决问题. 二、填空题(本题共12分,每小题2分) 11.写出一个单项式,要求:此单项式含有字母a、b,系数是负数,次数是3.我写的单项式为 答案不唯一,如:﹣ab2 . 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解.单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 【解答】解:根据题意,得:﹣ab2(答案不唯一), 故答案为:答案不唯一,如:﹣ab2 【点评】本题考查了单项式的定义,解答本题的关键是理解单项式的定义中的单项式的次数的正确含义. 12.写出一个一元一次方程,要求:解此方程时第一步必须是利用合并同类项法则合并同类项.我写的方程为 x+3x=5(答案不唯一) . 【分析】此题属于开放型题目,答案不唯一,根据一元一次方程的定义和解法填空. 【解答】解:依题意,得x+3x=5. 故答案是:x+3x=5(答案不唯一). 【点评】考查了一元一次方程的定义和合并同类项.一元一次方程的通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0). 13.角度换算:16°36′= 16.6 °. 【分析】1度=60分,即1°=60′,据此解答. 【解答】解:16°36′=16.6°. 故答案是:16.6. 【点评】考查了度分秒的换算.度、分、秒之间是60进制,将高级单位化为低级单位时,乘以60,反之,将低级单位转化为高级单位时除以60.同时,在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法. 14.下列是运用有理数加法法则计算﹣7+5思考过程的叙述: ①结果的符号是取﹣7的符号﹣﹣负号;②计算结果为﹣2;③﹣7+5是异号两数相加; ④﹣7的绝对值7较大;⑤结果的绝对值是用7﹣5得到; ⑥﹣7和5的绝对值分别为7和5; ⑦5的绝对值5较小. 请按运用法则计算的先后顺序排序(只写序号): 答案不唯一,如:③⑥④⑦①⑤②,④、⑦可以交换,①⑤可以交换 . 【分析】绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.依此即可求解. 【解答】解:算﹣7+5思考过程的叙述: ③﹣7+5是异号两数相加; ⑥﹣7和5的绝对值分别为7和5; ④﹣7的绝对值7较大; ⑦5的绝对值5较小; ①结果的符号是取﹣7的符号﹣﹣负号; ⑤结果的绝对值是用7﹣5得到; ②计算结果为﹣2. 故答案为:答案不唯一,如:③⑥④⑦①⑤②,④、⑦可以交换,①⑤可以交换. 【点评】考查了有理数的加法,在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”. 15.如图,O为直线AB上一点,射线OC平分∠AOE,射线OD平分∠EOB,那么∠COD的度数为 90° . 【分析】由角平分线的性质和平角的定义解答. 【解答】解:∵射线OC平分∠AOE,射线OD平分∠EOB, ∴∠COE=∠AOE,∠EOD=∠EOB, ∴∠COE+∠EOD=(∠AOE+∠EOB)=×180°=90°, 故答案是:90°. 【点评】考查了角平分线的性质.根据题意推知∠COE+∠EOD=(∠AOE+∠EOB)是解题的关键. 16.1949年9月27日,全国政协第一届全体会议上通过的《关于中华人民共和国国都、纪年、国歌、国徽、国旗的决议》中,第四点规定:“中华人民共和国的国旗为红底五星旗(如图1),象征中国革命人民大团结.长宽比例为3:2,左上方缀黄色五角星五颗,四颗小星环拱在一颗大星的右面,并各有一个角尖正对大星的中心点.” 第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日﹣21日在巴西的里约热内卢举行.在此次的奥运颁奖舞台上出了尴尬情况,多名细心网友指出,射击和游泳颁奖仪式中,冉冉升起的五星红旗被搞错了(如图2). 请你先阅读五星红旗制作的相关规定,再仔细观察图①和图②中的国旗,用所学到的图形知识和语言解释错误的原因. 错误的原因是: 环绕大五角星的四个小五角星不是平行的,而应该是各有一个角尖正对大星的中心点 . 【分析】根据题意中关于国旗的诠释可得答案. 【解答】解:错误的国旗上,环绕大五角星的四个小五角星不是平行的,而应该是各有一个角尖正对大星的中心点. 故答案为:环绕大五角星的四个小五角星不是平行的,而应该是各有一个角尖正对大星的中心点. 【点评】本题主要考查图形的变化规律,解题的关键是理解并掌握国旗的诠释和中心点、平行的概念. 三、解答题(本题共68分,其中第21、26、28小题,每小题5分,其余每小题5分) 17.计算:﹣6+(﹣5)﹣(﹣12). 【分析】先化简,再计算加减法即可求解. 【解答】解:﹣6+(﹣5)﹣(﹣12) =﹣6﹣5+12 =1. 【点评】考查了有理数的加减混合运算,方法指引:①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式. ②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化. 18.计算:6÷(﹣3)×(). 【分析】从左往右依次计算即可求解. 【解答】解:6÷(﹣3)×() =﹣2×() =3. 【点评】考查了有理数的乘除法,关键是熟练掌握计算法则正确进行计算. 19.计算:24÷(﹣2)3﹣9×(﹣)2. 【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案. 【解答】解:原式=24÷(﹣8)﹣9× =﹣4. 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键. 20.计算:﹣12﹣12×(﹣+﹣). 【分析】先计算乘方、利用乘法分配律展开,再计算乘法,最后计算加减可得. 【解答】解:原式=﹣1﹣12×(﹣)﹣12×﹣12×(﹣) =﹣1+6﹣4+2 =3. 【点评】本题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则. 21.指出下列单项式中的同类项,并将所有同类项写成一个多项式,再合并同类项. ﹣y2x、2xy、2xy2、x、y、﹣3xy、﹣yx、2. 【分析】先根据同类项定义找出同类项,再根据合并同类项法则合并即可. 【解答】解:同类项为:﹣y2x和2xy2,2xy、﹣3xy和﹣yx, 多项式为:﹣y2x+2xy2+2xy﹣3xy﹣yx, 合并同类项:﹣y2x+2xy2+2xy﹣3xy﹣yx. 原式=(﹣1+2)xy2+(2﹣3﹣1)xy. =xy2﹣2xy. 【点评】本题考查了合并同类项法则和同类项定义的应用,注意:把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变. 22.先解方程:4x=2.并回答:为什么这样做和这样做的依据: (1)为什么这样做: 方程两边都除以4就可以将mx=n(m≠0)化成x=a的形式,从而得到方程的解 ; (2)这样做的依据: 等式的基本性质2 . 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤,等式的基本性质解答. 【解答】解:系数化为1得,x=, (1)方程两边都除以4就可以将mx=n(m≠0)化成x=a的形式,从而得到方程的解; (2)等式的基本性质2, 故答案为:方程两边都除以4就可以将mx=n(m≠0)化成x=a的形式,从而得到方程的解;等式的基本性质2. 【点评】本题考查的是一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤,等式的基本性质是解题的关键. 23.下面是明明同学解方程2+6x=3x﹣13的第一步: 6x﹣3x=﹣13﹣2. 请回答:为什么这样做和这样做的依据. (1)为什么这样做: 先通过移项,把已知项移到方程的右边,未知项移到方程的左边,为合并同类项做准备 ; (2)这样做的依据: 等式的基本性质1 ; (3)求出此方程的解. 【分析】(1)根据移项法则解答; (2)根据等式的性质解答; (3)根据解一元一次方程的一般步骤解出方程. 【解答】解:(1)这样做的目的是:先通过移项,把已知项移到方程的右边,未知项移到方程的左边,为合并同类项做准备; (2)这样做的依据是:等式的基本性质1; (3)6x﹣3x=﹣13﹣2 3x=﹣15 x=﹣5. 故答案为:(1)先通过移项,把已知项移到方程的右边,未知项移到方程的左边,为合并同类项做准备;(2)等式的基本性质1. 【点评】本题考查是的是一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤和每一步的依据是解题的关键. 24.解方程:1﹣(2x﹣5)=7﹣3x. 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解出方程. 【解答】解:去括号,得1﹣2x+5=7﹣3x 移项,得﹣2x+3x=7﹣5﹣1 系数化为1,得x=1. 【点评】本题考查的是一元一次方程的解法,掌握解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键. 25.在解方程x+(x﹣94)=35时,小明被难住.以下是小明、小丽、小飞同学的对话和解答过程,请你将其补充完整: 小明:你俩只要帮我讲讲解此方程第一步的想法、依据就可以了. 小丽:解此方程的第一步,我观察到含有括号,我认为应先 去括号 ,依据是 乘法分配律 ,就可以考虑合并同类项了. 小明利用小丽的想法写出了完整的解答过程如下: 小飞:解此方程的第一步还可以这样想,我观察到此方程含分母,我认为应先 去分母 ,在方程两边都 同时乘以4 ,依据是 等式的基本性质2 . 小明利用小飞的想法写出了完整的解答过程如下: 【分析】小丽:解此方程的第一步,应先去括号,依据是乘法分配律,就可以考虑合并同类项了. 小飞:解此方程的第一步,应先去分母,在方程两边都同时乘以4,依据是等式的基本性质2. 【解答】解:小丽:解此方程的第一步,我观察到含有括号,我认为应先去括号,依据是乘法分配律,就可以考虑合并同类项了. x+(x﹣94)=35, x+x﹣×94=35, x+x=×94+35, x=×94+35, x=78; 小飞:解此方程的第一步还可以这样想,我观察到此方程含分母,我认为应先去分母,在方程两边都同时乘以4,依据是等式的基本性质2. x+(x﹣94)=35, 2x+(x﹣94)=4×35, 2x+x﹣94=140, 3x=234, x=78. 故答案为:去括号,乘法分配律;去分母,同时乘以4,等式的基本性质2. 【点评】此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 26.请你用实例解释下列代数式的意义. (1)﹣4+3; (2)3a; (3)()3. 【分析】根据代数式的表达方式,可得代数式现实的意义,答案不唯一. 【解答】解:(1)﹣4+3表示气温从﹣4℃,上升3℃后的温度; (2)3a表示一辆车以akm/h的速度行驶3小时的路程; (3)()3表示棱长为的正方体的体积. 【点评】本题考查了代数式,体验了数学的现实意义,注意一个代数式可以表示不同的实际意义. 27.饺子(如图1)源于古代的角子,饺子原名“娇耳”,相传是我国医圣张仲景首先发明的,距今已有一千八百多年的历史了.有一句民谣叫“大寒小寒,吃饺子过年.”包饺子时,将面团揉成长条状,后用刀切或用手揪成一个个小面团,这些小面团就是箕(jì)子(如图2).擀皮时,将箕子压扁后擀成圆形面皮,一个面箕子可以擀出一个饺子皮(如图3),就可以用来包饺子了. 中国北方,尤其是在京、津地区流行的一种面食﹣合子(如图4),含有团团圆圆的美好寓意.用两层饺子皮在中间加一层馅,就可以包成一个合子.北方有风俗曰:初一的饺子、初二的面、初三的合子往家转. 小亮的妈妈喜爱研究中华美食,自己动手经常给家人做出色香味俱佳的食品.妈妈在传承古人的做法的同时,也进行了加工创新.在每次包饺子临近结束时,如果饺子馅少了,饺子皮多了,这时妈妈会停止包饺子,改包合子,这样既不浪费食材,家人既吃到了饺子又吃到了合子. 这天,妈妈从厨房走到书房,对正在学习的小亮说:“妈妈刚才在厨房包饺子,结果面和多了,做了88个饺子箕,最后包了饺子和合子一共是81个.” 小亮说:“妈妈,我能用刚刚学到的列一元一次方程解应用题的知识和方法得出您包的饺子和合子分别是多少.” 请你写出小亮同学的解答过程. 【分析】设妈妈包了x个饺子,则包了(81﹣x)个合子,根据饺子箕数=饺子数+2×合子数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 【解答】解:设妈妈包了x个饺子,则包了(81﹣x)个合子, 根据题意得:x+2(81﹣x)=88, 解得:x=74, ∴81﹣x=7. 答:妈妈包了74个饺子,7个合子. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 28.如图,小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的同侧居民住宅的一排住宅楼内居住,四个家庭的住址位于同一直线上.小明家到小英家的距离约为480米,小丽家到小英家的距离约为320米,小华家在小明家和小丽家之间线段的中点的位置. 请你通过所学图形知识建立数学模型,画出图形,求出小明家和小华家的距离. 【分析】设小明家为点A、小英家为点B、小丽家为点C、小华家为点Q.先确定直线上A、B的位置,AB=480m,B、C两点位于A点的同侧,C点的位置分两种情况:第一种情况:当点C在点B的左侧时;第二种情况:当点C在点B的右侧时;进行讨论可求小明家和小华家的距离. 【解答】解:设小明家为点A、小英家为点B、小丽家为点C、小华家为点Q. ∵小明、小英、小丽和小华的家都在同一条街的东侧居民住宅的一排住宅楼内居住,且四个家庭的住址位于同一直线上, 根据题意AB=480m,BC=320m, ∵AB>BC, ∴先确定直线上A、B的位置,AB=480m,B、C两点位于A点的同侧,C点的位置分两种情况: 第一种情况:当点C在点B的左侧时(如图1), AB=480m,BC=320m, ∴AC=160m, ∵点Q是AC的中点, ∴AQ=AC=80m; 第二种情况:当点C在点B的右侧时(如图2), ∵AB=480m,BC=320m, ∴AC=800m. ∵点Q是AC的中点, ∴AQ=AC=400m. ∴综上所述,小明家和小华家的距离为80m或400m. 【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用,分类讨论思想的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要分两种情况:第一种情况:当点C在点B的左侧时;第二种情况:当点C在点B的右侧时. 29.实践探究 在数学实践课上,小明提出了这样的问题:分数可以写为小数形式,即0.反过来,无限循环小数0.写成分数形式即为.那么无限循环小数0.应怎样化为分数呢? 小明是这样思考的: 在学习解一元一次方程时,当变形到ax=b(a≠0)形式后,通过系数化1,两边同时除以a,得到方程的解x=,就是分数形式. 设0.=x,即x=0.777…,又10x=7.77…,这里x、0.777…、10x、7.77…存在着关系,根据这一关系我就可以找到相等关系,列出方程. 请你阅读小明的思考过程,把无限循环小数0.化为分数的过程写出来. 【分析】设0.=x,即x=0.777…,则10x=7.77…,做差后即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,此题得解. 【解答】解:设0.=x,即x=0.777…,则10x=7.77…, ∴10x﹣x=7, 解得:x=. ∴无限循环小数0.化为分数为. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.

  • ID:3-5460544 2018-2019学年北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2018-2019学年北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分)下列各题均有四个选项,符合题意的选项只有一个 1.已知∠A为锐角,且sinA=,那么∠A等于(  ) A.15° B.30° C.45° D.60° 2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=50°,则∠BOC的度数为(  ) A.40° B.50° C.80° D.100° 3.已知△ABC∽△A'B'C',如果它们的相似比为2:3,那么它们的面积比是(  ) A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:4 4.如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是(  ) A.y=x2 B. C. D. 5.正方形ABCD内接于⊙O,若⊙O的半径是,则正方形的边长是(  ) A.1 B.2 C. D. 6.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若BC=3,DE=1.5,AD=2,则AB的长为(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.若要得到函数y=(x﹣1)2+2的图象,只需将函数y=x2的图象(  ) A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 8.如图,一条抛物线与x轴相交于M,N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动,点A,B的坐标分别为(﹣2,﹣3),(1,﹣3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为(  ) A.﹣1 B.﹣3 C.﹣5 D.﹣7 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.二次函数y=﹣2x2+4x+1图象的开口方向是   . 10.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则tanA的值为   . 11.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为   m. 12.已知一个扇形的半径是1,圆心角是120°,则这个扇形的弧长是   . 13.如图所示的网格是正方形网格,则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是   . 14.写出抛物线y=2(x﹣1)2图象上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以是   . 15.如图,小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=50米,则小岛B到公路L的距离为   米. 16.在平面直角坐标系xOy内有三点:(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37).则过这三个点   (填“能”或“不能”)画一个圆,理由是   . 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.已知:.求:. 18.计算:2cos30°﹣4sin45°+. 19.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3. (1)将y=x2﹣2x﹣3化成y=a(x﹣h)2+k的形式; (2)求该二次函数图象的顶点坐标. 20.如图,在△ABC中,∠B为锐角,AB=3,BC=7,sinB=,求AC的长. 21.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在AB上,AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5.求证:∠DEC=90°. 22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点,使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知:△ABC. 求作:在BC边上求作一点P,使得△PAC∽△ABC. 作法:如图, ①作线段AC的垂直平分线GH; ②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O; ③以点O为圆心,以OA为半径作圆; ④以点C为圆心,CA为半径画弧,交⊙O于点D(与点A不重合); ⑤连接线段AD交BC于点P. 所以点P就是所求作的点. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵CD=AC, ∴=   . ∴∠   =∠   . 又∵∠   =∠   , ∴△PAC∽△ABC(   )(填推理的依据). 23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与双曲线相交于点A(m,3). (1)求反比例函数的表达式; (2)画出直线和双曲线的示意图; (3)若P是坐标轴上一点,当OA=PA时.直接写出点P的坐标. 24.如图,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,点A,C,D分别为⊙O的三等分点,连接AC,AD,DC,延长AD交BM于点E,CD交AB于点F. (1)求证:CD∥BM; (2)连接OE,若DE=m,求△OBE的周长. 25.在如图所示的半圆中,P是直径AB上一动点,过点P作PC⊥AB于点P,交半圆于点C,连接AC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm. 小聪根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小聪的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值; x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当△APC有一个角是30°时,AP的长度约为cm. 26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2ax+c(其中a、c为常数,且a<0)与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4. (1)求抛物线的表达式; (2)求∠CAB的正切值; (3)如果点P是x轴上的一点,且∠ABP=∠CAO,直接写出点P的坐标. 27.在菱形ABCD中,∠ADC=60°,BD是一条对角线,点P在边CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,在BD上取一点H,使HQ=HD,连接HQ,AH,PH. (1)依题意补全图1; (2)判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数,并加以证明; (3)若∠AHQ=141°,菱形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果) 28.在平面直角坐标系xOy中,点A(x,0),B(x,y),若线段AB上存在一点Q满足,则称点Q是线段AB的“倍分点”. (1)若点A(1,0),AB=3,点Q是线段AB的“倍分点”. ①求点Q的坐标; ②若点A关于直线y=x的对称点为A′,当点B在第一象限时,求; (2)⊙T的圆心T(0,t),半径为2,点Q在直线y=x上,⊙T上存在点B,使点Q是线段AB的“倍分点”,直接写出t的取值范围. 2018-2019学年北京市怀柔区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分)下列各题均有四个选项,符合题意的选项只有一个 1.已知∠A为锐角,且sinA=,那么∠A等于(  ) A.15° B.30° C.45° D.60° 【分析】根据特殊角的三角函数值求解. 【解答】解:∵sinA=,∠A为锐角, ∴∠A=30°. 故选:B. 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=50°,则∠BOC的度数为(  ) A.40° B.50° C.80° D.100° 【分析】由⊙O是△ABC的外接圆,∠A=50°,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得∠BOC的度数. 【解答】解:∵⊙O是△ABC的外接圆,∠A=50°, ∴∠BOC=2∠A=100°. 故选:D. 【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用. 3.已知△ABC∽△A'B'C',如果它们的相似比为2:3,那么它们的面积比是(  ) A.3:2 B.2:3 C.4:9 D.9:4 【分析】直接利用相似三角形的性质求解. 【解答】解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴S△ABC:S△A'B'C'=22:32=4:9. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的性质:相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 4.如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是(  ) A.y=x2 B. C. D. 【分析】根据图象知是双曲线,知是反比例函数,根据在一三象限,知k>0,即可选出答案. 【解答】解:根据图象可知:函数是反比例函数,且k>0, 答案B的k=4>0,符合条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查对反比例函数的图象,二次函数的图象,正比例函数的图象等知识点的理解和掌握,能熟练地掌握反比例的函数的图象是解此题的关键. 5.正方形ABCD内接于⊙O,若⊙O的半径是,则正方形的边长是(  ) A.1 B.2 C. D. 【分析】连接OB,CO,在Rt△BOC中,根据勾股定理即可求解. 【解答】解:连接OB,OC,则OC=OB=,∠BOC=90°, 在Rt△BOC中,BC==2. ∴正方形的边长是2, 故选:B. 【点评】此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用勾股定理即可解决问题. 6.如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若BC=3,DE=1.5,AD=2,则AB的长为(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】由DE∥BC,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠B=∠D,∠C=∠E,进而可得出△ABC∽△ADE,再利用相似三角形的性质可得出=,代入BC=3,DE=1.5,AD=2即可求出AB的长,此题得解. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠B=∠D,∠C=∠E, ∴△ABC∽△ADE, ∴=,即=, ∴AB=4. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键. 7.若要得到函数y=(x﹣1)2+2的图象,只需将函数y=x2的图象(  ) A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 【分析】找出两抛物线的顶点坐标,由a值不变即可找出结论. 【解答】解:∵抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2),抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0), ∴将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x﹣1)2+2. 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,通过平移顶点找出结论是解题的关键. 8.如图,一条抛物线与x轴相交于M,N两点(点M在点N的左侧),其顶点P在线段AB上移动,点A,B的坐标分别为(﹣2,﹣3),(1,﹣3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的横坐标的最小值为(  ) A.﹣1 B.﹣3 C.﹣5 D.﹣7 【分析】当图象顶点在点B时,点N的横坐标的最大值为4,求出a=;当顶点在点A时,M点的横坐标为最小,此时抛物线的表达式为:y=(x+2)2﹣3,令y=0,求出x值,即可求解. 【解答】解:当图象顶点在点B时,点N的横坐标的最大值为4, 则此时抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)2﹣3, 把点N的坐标代入得:0=a(4﹣1)2﹣3, 解得:a=, 当顶点在点A时,M点的横坐标为最小, 此时抛物线的表达式为:y=(x+2)2﹣3, 令y=0,则x=﹣5或1, 即点M的横坐标的最小值为﹣5, 故选:C. 【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点,涉及到函数基本性质和函数的最值,其中确定坐标取得最值时,图象所处的位置是本题的关键. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.二次函数y=﹣2x2+4x+1图象的开口方向是 下 . 【分析】根据二次函数y=﹣2x2+4x+1中a=﹣2<0,即可判定. 【解答】解:∵y=﹣2x2+4x+1中a=﹣2<0, ∴图象的开口向下, 故答案为:下. 【点评】本题考查了二次函数的性质,通过a的符号即可判断开口方向. 10.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则tanA的值为  . 【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边,即可解答. 【解答】解:如图,tanA==. 故答案为:. 【点评】此题考查了锐角三角函数的定义,掌握在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边是解题的关键. 11.如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为 7 m. 【分析】此题中,竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形,利用相似三角形的对应边成比例即可求得树的高度. 【解答】解:如图; AD=6m,AB=21m,DE=2m; 由于DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,得: ,即, 解得:BC=7m, 故答案为:7. 【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用;解题的关键是找出题中的相似三角形,并建立适当的数学模型来解决问题. 12.已知一个扇形的半径是1,圆心角是120°,则这个扇形的弧长是  . 【分析】根据弧长公式l=进行解答即可. 【解答】解:根据弧长的公式l=, 得到:=π. 故答案为π. 【点评】本题考查了弧长的计算,熟记弧长公式即可解答该题. 13.如图所示的网格是正方形网格,则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是 sin∠BAC>sin∠DAE . 【分析】作辅助线,构建三角形及高线NP,利用面积法求出高线PN=,再分别求出∠BAC、∠DAE的正弦值即可判断. 【解答】解:如图,连接NH、BC,过N作NP⊥AD于P. ∵S△ANH=2×2﹣×1×2×2﹣×1×1=AH?NP, ∴=PN, ∴PN=. 在Rt△ANP中,sin∠NAP====0.6, 在Rt△ABC中,sin∠BAC===>0.6, ∴sin∠BAC>sin∠DAE. 故答案为:sin∠BAC>sin∠DAE. 【点评】本题考查了解直角三角形,三角形的面积,作辅助线构建直角三角形,从而利用面积法求出高线PN的值是解题的关键. 14.写出抛物线y=2(x﹣1)2图象上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以是 (2,2),(0,2)(答案不唯一) . 【分析】根据抛物线的对称轴是直线x=1作答. 【解答】解:∵抛物线y=2(x﹣1)2的对称轴是直线x=1, ∴这对对称点的坐标可以是(2,2),(0,2)(答案不唯一). 故答案是:(2,2),(0,2)(答案不唯一). 【点评】考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换.需要掌握抛物线的轴对称性. 15.如图,小明要测量河内小岛B到河边公路L的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=50米,则小岛B到公路L的距离为  米. 【分析】作BE⊥L于点E,易得AC=BC.那么利用60°的正弦函数可求得BE长,也就是小岛B到公路L的距离. 【解答】解:作BE⊥L于点E. ∵∠BAD=30°,∠BCD=60°, ∴∠ABC=30°, ∴BC=AC=50米, ∴BE=BC×sin60°=25米. 【点评】用到的知识点为:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和;等角对等边;一个角的正弦值等于这个角所在的直角三角形中对边与斜边之比. 16.在平面直角坐标系xOy内有三点:(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37).则过这三个点 能 (填“能”或“不能”)画一个圆,理由是 因为这三点不在一条直线上 . 【分析】先设出过其中两点的函数的解析式,把(0,﹣2),(1,﹣1)代入求出其解析式,再把(2.17,0.37)代入解析式看是否与(0,﹣2),(1,﹣1)在同一条直线上.然后根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可求解. 【解答】解:设经过(0,﹣2),(1,﹣1)的直线解析式为y=kx+b, 则,解得. 所以经过(0,﹣2),(1,﹣1)的直线解析式为y=x﹣2; 当x=2.17时,y=2.17﹣2=0.17≠0.37, 所以点(2.17,0.37)不在经过(0,﹣2),(1,﹣1)的直线上, 即三点:(0,﹣2),(1,﹣1),(2.17,0.37)不在同一直线上, 所以过这三个点能画一个圆. 故答案为能,因为这三点不在一条直线上. 【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式,及三点能确定圆的条件. 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.已知:.求:. 【分析】将=代入=+1中,即可求出结论. 【解答】解:∵=, ∴=+1=+1=. 【点评】本题考查了比例的性质,将原式变形为=+1是解题的关键. 18.计算:2cos30°﹣4sin45°+. 【分析】依据特殊角的三角函数值,即可得到2cos30°﹣4sin45°+的值. 【解答】解:原式=2×﹣4×+2 = =. 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多. 19.已知二次函数y=x2﹣2x﹣3. (1)将y=x2﹣2x﹣3化成y=a(x﹣h)2+k的形式; (2)求该二次函数图象的顶点坐标. 【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式; (2)根据顶点式得出即可. 【解答】解:(1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4; (2)∵y=(x﹣1)2﹣4, ∴该二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4). 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质,掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键. 20.如图,在△ABC中,∠B为锐角,AB=3,BC=7,sinB=,求AC的长. 【分析】作AD⊥BC于点D,根据正弦的定义求出AD,BD,根据勾股定理计算求出AC. 【解答】解:作AD⊥BC于点D, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵sinB=, ∴∠B=∠BAD=45°, ∵AB=, ∴AD=BD=AB=3, ∵BC=7, ∴DC=4, ∴在Rt△ACD中,AC==5. 【点评】本题考查的是解直角三角形,掌握锐角三角函数的定义,勾股定理是解题的关键. 21.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E在AB上,AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5.求证:∠DEC=90°. 【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠B=90°,根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△BEC,根据相似三角形的性质得到∠3=∠2,于是得到结论. 【解答】证明:∵AB⊥BC, ∴∠B=90°. ∵AD∥BC, ∴∠A=∠B=90°, ∵AD=1,AE=2,BC=3,BE=1.5, ∴. ∴, ∴△ADE∽△BEC, ∴∠3=∠2, ∵∠1+∠3=90°, ∴∠1+∠2=90°, ∴∠DEC=90°. 【点评】本题考查了平行线的性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点,使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知:△ABC. 求作:在BC边上求作一点P,使得△PAC∽△ABC. 作法:如图, ①作线段AC的垂直平分线GH; ②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O; ③以点O为圆心,以OA为半径作圆; ④以点C为圆心,CA为半径画弧,交⊙O于点D(与点A不重合); ⑤连接线段AD交BC于点P. 所以点P就是所求作的点. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵CD=AC, ∴=  . ∴∠ CAP =∠ CBA . 又∵∠ ACP =∠ BCA , ∴△PAC∽△ABC( 有两组角对应相等的两个三角形相似 )(填推理的依据). 【分析】(1)根据作线段的垂直平分线的方法作出EF,进而确定出点O的位置,即可得出结论; (2)先根据同圆中,相等的弦所对的劣弧相等得出,再根据等弧所对的圆周角相等得出∠CAP=∠ABC,即可得出结论. 【解答】解:(1)补全图形如图所示: (2)连接CD,由作图知,AC=CD, ∴, ∴∠CAP=∠ABC, ∵∠ACP=∠BCA, ∴△ACP∽△BCA(有两组角对应相等的两个三角形相似), 故答案为:,CAP,ABC,ACP,BCA,有两组角对应相等的两个三角形相似. 【点评】此题主要考查了基本尺规作图,圆的有关性质,相似三角形的判定,补全图形是解本题的关键. 23.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与双曲线相交于点A(m,3). (1)求反比例函数的表达式; (2)画出直线和双曲线的示意图; (3)若P是坐标轴上一点,当OA=PA时.直接写出点P的坐标. 【分析】(1)根据直线上点的坐标特征求出m,把点A的坐标代入反比例函数解析式,计算即可; (2)根据题意画出图象; (3)结合图象解答. 【解答】解:(1)∵直线y=x+2与双曲线相交于点A(m,3). ∴3=m+2, ∴m=1. ∴A(1,3) 把A(1,3)代入 ∴k=3×1=3, ∴ (2)直线和双曲线的示意图如图所示: (3)当点P在y轴上,过点A作AE⊥PO,则OE=3, ∵OA=PA,AE⊥PO, ∴PE=OE=3, ∴OP=6, ∴点P的坐标为(0,6) 若点P在x轴上,过点A作AF⊥PO,则OF=1 ∵OA=PA,AF⊥PO, ∴OF=PF=1, ∴OP=2 ∴点P坐标为(2,0) 综上所述,P(0,6)或P(2,0) 【点评】本题是反比例函数综合题,考查了用待定系数法求反比例函数解析式,等腰三角形的性质,利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是本题的关键. 24.如图,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,点A,C,D分别为⊙O的三等分点,连接AC,AD,DC,延长AD交BM于点E,CD交AB于点F. (1)求证:CD∥BM; (2)连接OE,若DE=m,求△OBE的周长. 【分析】(1)由点A、C、D为⊙O的三等分点得到AD=DC=AC.则△ACD为等边三角形,再利用点O为△ACD的外心得到AB⊥CD.然后根据切线的性质得BE⊥AB.所以CD∥BM; (2)连接DB,如图,利用△ACD为等边三角形和圆周角定理得到∠ABD=∠C=60°,则∠DBE=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2m,DB=m.AB=2m,则OB=m,然后利用勾股定理计算出OE,从而得到△OBE周长. 【解答】(1)证明:∵点A、C、D为⊙O的三等分点, ∴, ∴AD=DC=AC. ∴△ACD为等边三角形, 而点O为△ACD的外心, ∴AB⊥CD. ∵BM为⊙O的切线, ∴BE⊥AB. ∴CD∥BM; (2)解:连接DB,如图, ∵△ACD为等边三角形, ∴∠C=60°, ∴∠ABD=∠C=60°, ∴∠DBE=30°, 在Rt△DBE中,BE=2DE=2m,DB=DE=m. 在Rt△ADB中,AB=2BD=2m,则OB=m, 在Rt△OBE中,OE==m, ∴△OBE周长为2m+m+m=(2++)m. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理. 25.在如图所示的半圆中,P是直径AB上一动点,过点P作PC⊥AB于点P,交半圆于点C,连接AC.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,P,C两点间的距离为y1cm,A,C两点间的距离为y2cm. 小聪根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小聪的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值; x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6 (2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当△APC有一个角是30°时,AP的长度约为cm. 【分析】(1)因为PC=3时,PA=PB=3,推出PC是⊙O的半径即可解决问题; (2)利用描点法画出函数图象即可; (3)利用数形结合的思想解决问题即可; 【解答】解:(1)因为PC=3时,PA=PB=3, ∴PC是⊙O的半径, ∴PC=3cm,即x=3时,y1=3. (2)利用描点法画出函数图象即可. (3)结合图象可知:当∠ACP=30°时,AP=AC=×AB=1.50cm. 根据对称性,结合图象可知:当∠CAP=30°时,PB=1.50cm,PA=4.50cm. 【点评】本题属于圆综合题,考查了圆的有关知识,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想思考问题,属于中考常考题型. 26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2ax+c(其中a、c为常数,且a<0)与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点B,此抛物线顶点C到x轴的距离为4. (1)求抛物线的表达式; (2)求∠CAB的正切值; (3)如果点P是x轴上的一点,且∠ABP=∠CAO,直接写出点P的坐标. 【分析】(1)先求抛物线的对称轴为:x=﹣1,由抛物线顶点C到x轴的距离为4,所以C(﹣1,4),代入可得抛物线的表达式; (2)如图1,根据勾股定理的逆定理得:△ABC为直角三角形,∠ABC=90°,根据三角函数定义可得结论; (3)如图2,证明△ACB∽△BPO,列比例式得:,可得点P的坐标. 【解答】解:(1)由题意得,抛物线y=ax2+2ax+c的对称轴是直线, ∵a<0,抛物线开口向下,又与x轴有交点, ∴抛物线的顶点C在x轴的上方, 由于抛物线顶点C到x轴的距离为4,因此顶点C的坐标是(﹣1,4). 可设此抛物线的表达式是y=a(x+1)2+4, 由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是(﹣3,0),可得a=﹣1. 因此,抛物线的表达式是y=﹣x2﹣2x+3. (2)如图1,点B的坐标是(0,3). 连接BC. ∵AB2=32+32=18,BC2=12+12=2,AC2=22+42=20, 得AB2+BC2=AC2. ∴△ABC为直角三角形,∠ABC=90°, 所以. 即∠CAB的正切值等于. (3)如图2,连接BC, ∵OA=OB=3,∠AOB=90°, ∴△AOB是等腰直角三角形, ∴∠BAP=∠ABO=45°, ∵∠CAO=∠ABP, ∴∠CAB=∠OBP, ∵∠ABC=∠BOP=90°, ∴△ACB∽△BPO, ∴, ∴=,OP=1, ∴点P的坐标是(1,0). 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义,解题时,注意数形结合,使抽象的问题变得具体化,降低了解题的难度. 27.在菱形ABCD中,∠ADC=60°,BD是一条对角线,点P在边CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,在BD上取一点H,使HQ=HD,连接HQ,AH,PH. (1)依题意补全图1; (2)判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数,并加以证明; (3)若∠AHQ=141°,菱形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果) 【分析】(1)根据题意可补全图形; (2)由平移的性质可得PQ=CD,由菱形的性质可得AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30°,可得AD=PQ,∠HQD=∠HDQ=30°,可证△ADH≌△PQH,可得AH=PH,∠AHD=∠PHQ,即可求∠AHP=120°; (3)根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求∠DAP=21°,通过解△DAP,可求DP的长度. 【解答】解:(1)补全图形,如图所示 (2)AH=PH,∠AHP=120°. 理由如下:如图,由平移可知,PQ=DC. ∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=60°, ∴AD=DC,∠ADB=∠BDQ=30°, ∴AD=PQ, ∵HQ=HD, ∴∠HQD=∠HDQ=30°, ∴∠ADB=∠DQH,∠DHQ=120°. ∵HQ=DH,∠ADB=∠DQH,AD=PQ, ∴△ADH≌△PQH(SAS), ∴AH=PH,∠AHD=∠PHQ, ∴∠AHD+∠DHP=∠PHQ+∠DHP, ∴∠AHP=∠DHQ, ∵∠DHQ=120°, ∴∠AHP=120°. (3)求解思路如下: 由∠AHQ=141°,∠BHQ=60°解得∠AHB=81°, a.在△ABH中,由∠AHB=81°,∠ABD=30°,解得∠BAH=69°, b.在△AHP中,由∠AHP=120°,AH=PH,解得∠PAH=30°, c.在△ADB中,由∠ADB=∠ABD=30°,解得∠BAD=120°, 由a、b、c可得∠DAP=21°, 在△DAP中,由∠ADP=60°,∠DAP=21°,AD=1,可解△DAP, 从而求得DP长. 【点评】本题是四边形综合题,主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,熟练运用这些性质进行推理是本题的关键. 28.在平面直角坐标系xOy中,点A(x,0),B(x,y),若线段AB上存在一点Q满足,则称点Q是线段AB的“倍分点”. (1)若点A(1,0),AB=3,点Q是线段AB的“倍分点”. ①求点Q的坐标; ②若点A关于直线y=x的对称点为A′,当点B在第一象限时,求; (2)⊙T的圆心T(0,t),半径为2,点Q在直线y=x上,⊙T上存在点B,使点Q是线段AB的“倍分点”,直接写出t的取值范围. 【分析】(1)利用两点间的距离公式求出点B的两个坐标,再根据比例关系即可得出结论; (2)根据对称得出A'的坐标,进而得出QA=QA′,进而解答即可; (3)分两种情况考虑,①当A,B都在⊙T1上时,由圆的半径可得出点T1的坐标;②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时,由“倍分点”的定义可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出t值.综上即可得出t的取值范围. 【解答】解:(1)如图1, ∵A(1,0),AB=3 ∴B(1,3)或B'(1,﹣3) ∵ ∴Q(1,1)或Q'(1,﹣1) (2)点A(1,0)关于直线y=x的对称点为A′(0,1),如图1, ∴QA=QA′ ∴=, (3)①当A,B都在⊙T1上时,⊙T1与L没有交点, ∵⊙T1的半径为2, ∴此时点T1的坐标为(0,﹣4); ②当⊙T2上只有一个点Q是线段AB的“倍分点”时,过点T2作T2Q⊥图象L于点Q,交⊙T2于点N,过点Q作QD⊥x轴于点D, ∵图象L的解析式为y=x(x>0), ∴∠QOT=60°,∠OT2Q=30°. ∵点T2的坐标为(0,t), ∴OQ=t,DQ=OQ=t,T2O=t. 由“倍分点”的定义可知:OB=2DQ,即t﹣2=t, 解得:t=4, 综上所述:t的取值范围为﹣4≤t≤4. 【点评】本题考查了圆的综合题,解题的关键是:(1)利用两点间的距离公式求出点B的两个坐标;(2)根据对称得出A'的坐标;(3)分⊙T过点O与⊙T上只有一个点Q的“倍分点”两种情况找出圆心的坐标.

  • ID:3-5460543 2018-2019学年北京市大兴区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2018-2019学年北京市大兴区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.已知2x=3y(x≠0),则下列比例式成立的是(  ) A. B. C. D. 2.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则sinA的值为(  ) A. B. C. D. 3.如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,AE=3,则AC的长为(  ) A.3 B.6 C.9 D.12 4.若点A(a,b)在双曲线上,则代数式2ab﹣4的值为(  ) A.﹣1 B.1 C.6 D.9 5.把抛物线y=2(x﹣3)2+k向下平移1个单位长度后经过点(2,3),则k的值是(  ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1 6.如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C都在格点上,则tan∠BAC的值为(  ) A.2 B. C. D. 7.在平面直角坐标系xOy中,点A,点B的位置如图所示,抛物线y=ax2﹣2ax经过A,B,则下列说法不正确的是(  ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.点B在抛物线对称轴的左侧 D.抛物线的顶点在第四象限 8.如图,点A,B,C是⊙O上的三个点,点D在BC的延长线上.有如下四个结论: ①在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BCE=∠DCE; ②在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BAE=∠AEC; ③在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得EO平分∠AEC; ④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A,C重合),∠DCE=∠ABO+∠AEO均成立. 上述结论中,所有正确结论的序号是(  ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是   . 10.如图,在?ABCD中,点E在DC上,连接BE交对角线AC于点F,若DE:EC=1:3,则S△EFC:S△BFA=   . 11.已知18°的圆心角所对的弧长是cm,则此弧所在圆的半径是   cm. 12.如图,⊙O的半径OA垂直于弦BC,垂足是D,OA=5,AD:OD=1:4,则BC的长为   . 13.在△ABC中,tanA=,则sinA=   . 14.已知在同一坐标系中,抛物线y1=ax2的开口向上,且它的开口比抛物线y2=3x2+2的开口小,请你写出一个满足条件的a值:   . 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D,交AB于点C.若点B在x轴上,点A的坐标为(6,4),则△BOC的面积为   . 16.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,2),B(4,2),对于任意a>0,点P(m,n)均不在抛物线上.若n>2,则m的取值范围是   . 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.~ 17.计算:sin60°×cos30°﹣4tan45°+()0. 18.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D. (1)求证:△ACD∽△ABC; (2)若AD=1,DB=4,求AC的长. 19.下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知:⊙O. 求作:⊙O的内接等腰直角三角形. 作法:如图, ①作直径AB; ②分别以点A,B为圆心,以大于的同样长为半径作弧,两弧交于M,N两点; ③作直线MN交⊙O于点C,D; ④连接AC,BC. 所以△ABC就是所求作的三角形. 根据小松设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵AB是直径,C是⊙O上一点 ∴∠ACB=   (填写推理依据) ∵AC=BC   (填写推理依据) ∴△ABC是等腰直角三角形. 20.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)和(4,﹣3)两点.求这个二次函数的表达式. 21.如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长. 22.如图,在测量“河流宽度”的综合与实践活动中,小李同学设计的方案及测量数据如下: 在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D(点B,C,D在同一条直线上),AB⊥BD,∠ACB=45°,CD=20米,且.若测得∠ADB=25°,请你帮助小李求河的宽度AB.(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,结果精确到0.1米). 23.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(1,0),连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,反比例函数y=的图象G经过点C. (1)请直接写出点C的坐标及k的值; (2)若点P在图象G上,且∠POB=∠BAO,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,若Q(0,m)为y轴正半轴上一点,过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M,与直线OP交于点N,若点M在点N左侧,结合图象,直接写出m的取值范围. 24.如图,点C是⊙O直径AB上一点,过C作CD⊥AB交⊙O于点D,连接DA,延长BA至点P,连接DP,使∠PDA=∠ADC. (1)求证:PD是⊙O的切线; (2)若AC=3,tan∠PDC=,求BC的长. 25.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,P是CB边上一动点,连接AP,作PQ⊥AP交AB于Q.已知AC=3cm,BC=6cm,设PC的长度为xcm,BQ的长度为ycm. 小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小青同学的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y的几组对应值; x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 y/cm 0 1.56 2.24 2.51 m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.26 0.86 0 (说明:补全表格时,相关数据保留一位小数) m的值约为   cm; (2)在平面直角坐标系中,描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(x,y),画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象,解决问题: ①当y>2时,对应的x的取值范围约是   ; ②若点P不与B,C两点重合,是否存在点P,使得BQ=BP?   (填“存在”或“不存在”) 26.已知抛物线y=﹣x2+(5﹣m)x+6﹣m. (1)求证:该抛物线与x轴总有交点; (2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围; (3)设抛物线y=﹣x2+(5﹣m)x+6﹣m与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M,求m的值. 27.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点E为线段AB上一动点(不与点A,B重合),连接CE,将∠ACE的两边CE,CA分别绕点C顺时针旋转90°,得到射线CE′,CA′,过点A作AB的垂线AD,分别交射线CE′,CA′于点F,G. (1)依题意补全图形; (2)若∠ACE=α,求∠AFC的大小(用含α的式子表示); (3)用等式表示线段AE,AF与BC之间的数量关系,并证明. 28.对于平面内任意一个角的“夹线圆”,给出如下定义:如果一个圆与这个角的两边都相切,则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如:在平面直角坐标系xOy中,以点(1,1)为圆心,1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”. (1)下列各点中,可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是; A(2,2),B(3,1),C(﹣1,0),D(1,﹣1) (2)若⊙P为y轴和直线l:y=x所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙P的半径为1,求点P的坐标. (3)若⊙Q为x轴和直线y=﹣所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙Q的半径1≤r≤2,直接写出点Q横坐标xQ的取值范围. 2018-2019学年北京市大兴区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.已知2x=3y(x≠0),则下列比例式成立的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决. 【解答】解:根据等式性质2,可判断出只有B选项正确, 故选:B. 【点评】本题考查的是等式的性质: 等式性质1:等式的两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等; 等式性质2:等式的两边同乘(或除以)同一个数(除数不为0)结果仍相等. 2.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则sinA的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据勾股定理,可得AB的长,根据角的正弦,等于角的对边比斜边,可得答案. 【解答】解:由勾股定理得AB==5, sinA=, 故选:D. 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出斜边,再求出正弦值. 3.如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,BD=10,AE=3,则AC的长为(  ) A.3 B.6 C.9 D.12 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解. 【解答】解:∵AD=5,BD=10, ∴AB=15, ∵DE∥BC, ∴=, ∵AE=3, ∴AC=9, 故选:C. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,理解定理内容是关键. 4.若点A(a,b)在双曲线上,则代数式2ab﹣4的值为(  ) A.﹣1 B.1 C.6 D.9 【分析】由点A(a,b)在双曲线上,可得ab=5,则可求2ab﹣4的值. 【解答】解:∵点A(a,b)在双曲线上, ∴ab=5 ∴2ab﹣4=10﹣4=6 故选:C. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,关键是掌握图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k. 5.把抛物线y=2(x﹣3)2+k向下平移1个单位长度后经过点(2,3),则k的值是(  ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1 【分析】把点坐标代入y=2(x﹣3)2+k﹣1解方程即可得到结论. 【解答】解:设抛物线y=2(x﹣3)2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2(x﹣3)2+k﹣1, 把点(2,3)代入y=2(x﹣3)2+k﹣1得,3=2(2﹣3)2+k﹣1, ∴k=2, 故选:A. 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换,熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键. 6.如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C都在格点上,则tan∠BAC的值为(  ) A.2 B. C. D. 【分析】连接BC,先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2,由勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形,然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案. 【解答】解:如图,连接BC. 根据勾股定理可得AC2=22+22=8, BC2=12+12=2, AB2=12+32=10, ∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°, ∴tan∠BAC===. 故选:B. 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理,解直角三角形,锐角三角函数的定义,判断△ABC是直角三角形是解题的关键. 7.在平面直角坐标系xOy中,点A,点B的位置如图所示,抛物线y=ax2﹣2ax经过A,B,则下列说法不正确的是(  ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.点B在抛物线对称轴的左侧 D.抛物线的顶点在第四象限 【分析】由于抛物线y=ax2﹣2ax的常数项为0,所以图象经过原点,根据对称轴为直线x==1,可知抛物线开口向上,点B在对称轴的右侧,顶点在第四象限. 【解答】解:∵y=ax2﹣2ax, ∴x=0时,y=0, ∴图象经过原点, 又∵对称轴为直线x==1, ∴抛物线开口向上,点B在对称轴的右侧,顶点在第四象限. 即A、B、D正确,C错误. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴是直线x=﹣.当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.也考查了二次函数图象上点的坐标特征. 8.如图,点A,B,C是⊙O上的三个点,点D在BC的延长线上.有如下四个结论: ①在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BCE=∠DCE; ②在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得∠BAE=∠AEC; ③在∠ABC所对的弧上存在一点E,使得EO平分∠AEC; ④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A,C重合),∠DCE=∠ABO+∠AEO均成立. 上述结论中,所有正确结论的序号是(  ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 【分析】①当BE是⊙O的直径时,根据圆周角定理和邻补角的定义得到结论;②当AE∥BC时,得到=,根据圆周角定理得到结论;③当点E是的中点时,根据角平分线的定义得到结论;④根据圆内接四边形的性质和四边形的内角和得到结论. 【解答】解:①当BE是⊙O的直径时,∠BCE=∠DCE=90°,故①正确; ②当AE∥BC时,=, ∴=, ∴∠BAE=∠AEC;故②正确; ③当点E是的中点时,EO平分∠AEC;故正确; ④如图2,∵∠A=∠ECD,∠A+∠BOE=180°, ∴∠ABO+∠AEO=360°﹣∠A﹣∠BOE=360°﹣∠DCE﹣2(180°﹣∠COE), ∴∠DCE=∠ABO+∠AEO,故正确; 故选:D. 【点评】本题考查了圆周角定理,正确的理解题意是解题的关键. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点坐标是 (1,2) . 【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标. 【解答】解:因为y=(x﹣1)2+2是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(1,2). 【点评】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法. 10.如图,在?ABCD中,点E在DC上,连接BE交对角线AC于点F,若DE:EC=1:3,则S△EFC:S△BFA= 9:16 . 【分析】根据平行四边形的性质可得出AB∥CD,AB=CD,进而可得出△EFC∽△BFA,由DE:EC=1:3可得出CE:AB=3:4,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出S△EFC:S△BFA的值. 【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴△EFC∽△BFA. ∵DE:EC=1:3, ∴CE:AB=3:4. ∵△EFC∽△BFA, ∴=()2=. 故答案为:9:16. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 11.已知18°的圆心角所对的弧长是cm,则此弧所在圆的半径是 2 cm. 【分析】设此弧所在圆的半径为Rcm,根据弧长公式列式计算即可. 【解答】解:设此弧所在圆的半径为Rcm, 则=, 解得,R=2(cm), 故答案为:2. 【点评】本题考查的是弧长的计算,掌握弧长的公式l=是解题的关键. 12.如图,⊙O的半径OA垂直于弦BC,垂足是D,OA=5,AD:OD=1:4,则BC的长为 6 . 【分析】连接OB,根据垂径定理得出BC=2BD,根据勾股定理求出BD即可. 【解答】解:连接OB, ∵OA=5,AD:OD=1:4, ∴AD=1,OD=4,OB=5, 在Rt△ODB中,由勾股定理得:OB2=OD2+BD2, 52=42+BD2, 解得:BD=3, ∵OD⊥BC,OD过O, ∴BC=2BD=6, 故答案为:6. 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理,能根据垂径定理求出BC=2BD是解此题的关键. 13.在△ABC中,tanA=,则sinA=  . 【分析】根据特殊角的三角函数的定义即可得到结论. 【解答】解:∵tanA=, ∴∠A=30°, ∴sinA=; 故答案为:. 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 14.已知在同一坐标系中,抛物线y1=ax2的开口向上,且它的开口比抛物线y2=3x2+2的开口小,请你写出一个满足条件的a值: 4 . 【分析】由抛物线开口向下可知a>0,再由开口的大小由a的绝对值决定,可求得a的取值范围. 【解答】解:∵抛物线y1=ax2的开口向上, ∴a>0, 又∵它的开口比抛物线y2=3x2+2的开口小, ∴|a|>3, ∴a>3, 取a=4即符合题意, 故答案为:4(答案不唯一). 【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键,即|a|越大,抛物线开口越小. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D,交AB于点C.若点B在x轴上,点A的坐标为(6,4),则△BOC的面积为 3 . 【分析】由于点A的坐标为(6,4),而点D为OA的中点,则D点坐标为(3,2),利用待定系数法科得到k=6,然后利用k的几何意义即可得到△BOC的面积=|k|=×6=3. 【解答】解:∵点A的坐标为(6,4),而点D为OA的中点, ∴D点坐标为(3,2), 把D(3,2)代入y=得k=3×2=6, ∴反比例函数的解析式为y=, ∴△BOC的面积=|k|=×|6|=3. 故答案为:3; 【点评】本题考查了反比例y=(k≠0)数k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线,则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|. 16.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,2),B(4,2),对于任意a>0,点P(m,n)均不在抛物线上.若n>2,则m的取值范围是 0≤m≤4 . 【分析】依照题意画出图形,由二次函数图象上点的坐标特征可得出当n>2时m<0或m>4,再结合图形即可找出:当n>2时,若点P(m,n)均不在抛物线上,则0≤m≤4,此题得解. 【解答】解:依照题意,画出图形,如图所示. ∵当n>2时,m<0或m>4, ∴当n>2时,若点P(m,n)均不在抛物线上,则0≤m≤4. 故答案为:0≤m≤4. 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,依照题意画出图形,利用数形结合解决问题是解题的关键. 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27,28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.~ 17.计算:sin60°×cos30°﹣4tan45°+()0. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案. 【解答】解:原式=×﹣4×1+1 =﹣3 =﹣. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确记忆相关数据是解题关键. 18.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D. (1)求证:△ACD∽△ABC; (2)若AD=1,DB=4,求AC的长. 【分析】(1)由两直角相等结合∠CAD=∠BAC,即可证出△ACD∽△ABC; (2)根据相似三角形的性质可得出=,代入AB=AD+DB=5及AD=1,即可求出AC的长. 【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D, ∴∠ADC=∠ACB=90°. 又∵∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC; (2)解:∵△ACD∽△ABC, ∴=,即=, ∴AC=或AC=﹣(舍去). 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)利用“两角对应相等,两个三角形相似”证出△ACD∽△ABC;(2)牢记相似三角形对应边的比相等. 19.下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知:⊙O. 求作:⊙O的内接等腰直角三角形. 作法:如图, ①作直径AB; ②分别以点A,B为圆心,以大于的同样长为半径作弧,两弧交于M,N两点; ③作直线MN交⊙O于点C,D; ④连接AC,BC. 所以△ABC就是所求作的三角形. 根据小松设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:∵AB是直径,C是⊙O上一点 ∴∠ACB= 90°(直径所对的圆周角是直角) (填写推理依据) ∵AC=BC (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等) (填写推理依据) ∴△ABC是等腰直角三角形. 【分析】(1)根据作法作出图形即可求解; (2)根据直径的性质,线段的垂直平分线的性质即可解决问题; 【解答】(1)解:补全的图形如图所示: (2)证明:∵AB是直径,C是⊙O上一点 ∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)(填写推理依据) ∵AC=BC (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)(填写推理依据) ∴△ABC是等腰直角三角形. 故答案为:90°(直径所对的圆周角是直角);(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等). 【点评】本题考查作图﹣复杂作图,等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 20.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1,0)和(4,﹣3)两点.求这个二次函数的表达式. 【分析】把两个点的坐标分别代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可. 【解答】解:把(1,0),(4,﹣3)代入y=x2+bx+c中, 得:, 解得:, 所以,二次函数的表达式为y=x2﹣6x+5. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解. 21.如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长. 【分析】过点C作CD⊥AB于D,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD,再根据∠B的正切值求出BD,利用勾股定理列式求出BC的长即可得解. 【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB于D, ∴∠ADC=∠CDB=90°, ∵∠A=30°,AC=2, ∴CD=AC=. ∵在Rt△BCD中,∠CDB=90°,tanB==, ∴BD=2, ∴BC===. 【点评】本题考查了解直角三角形,作辅助线构造出两个直角三角形是解题的关键. 22.如图,在测量“河流宽度”的综合与实践活动中,小李同学设计的方案及测量数据如下: 在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D(点B,C,D在同一条直线上),AB⊥BD,∠ACB=45°,CD=20米,且.若测得∠ADB=25°,请你帮助小李求河的宽度AB.(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,结果精确到0.1米). 【分析】设河宽AB为x米.解直角三角形ABC,得出AB=BC=x,那么BD=20+x.再解直角三角形ABD,根据正切函数的定义得出BD?tan25°=AB,依此列出方程(x+20)tan25°=x,解方程即可求出x的值. 【解答】解:设河宽AB为x米. ∵AB⊥BD, ∴∠ABC=90°, ∵∠ACB=45°, ∴∠BAC=45°, ∴AB=BC=x, ∵CD=20, ∴BD=20+x. ∵BD?tan25°=AB, ∴(x+20)tan25°=x, ∴x= ∴x≈17.7. 答:河宽AB约为17.7米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解此类题目的一般过程是:①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案. 23.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(1,0),连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,反比例函数y=的图象G经过点C. (1)请直接写出点C的坐标及k的值; (2)若点P在图象G上,且∠POB=∠BAO,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,若Q(0,m)为y轴正半轴上一点,过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M,与直线OP交于点N,若点M在点N左侧,结合图象,直接写出m的取值范围. 【分析】(1)过C点作CH⊥x轴于H,如图,利用旋转的性质得BA=BC,∠ABC=90°,再证明△ABO≌△BCH得到CH=OB=1,BH=OA=3,则C(4,1),然后把C点坐标代入y=中可计算出k的值; (2)画出过点C的反比例函数y=的草图,结合条件点P在图象G上,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论; (3)由Q(0,m),得到OQ=m,得到M(,m),N(3m,m),根据 点M在点N左侧,列不等式即可得到结论. 【解答】解:(1)过C点作CH⊥x轴于H,如图, ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段BC, ∴BA=BC,∠ABC=90°, ∵∠ABO+∠CBH=90°,∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠BAO=∠CBH, 在△ABO和△BCH中, ∴△ABO≌△BCH(AAS), ∴CH=OB=1,BH=OA=3, ∴C(4,1), ∵点C落在函数y=(x>0)的图象上, ∴k=4×1=4; (2)过O作OP∥BC交y=的图象于点P,过P作PG⊥x轴于G, ∵∠POG=∠OAB, ∵∠AOB=∠PGO, ∴△OAB∽△OHP, ∴PG:OG=OB:OA=1:3, ∵点P在y=上, ∴3yP?yP=4, ∴yP=, ∴点P的坐标为(2,); (3)∵Q(0,m), ∴OQ=m, ∵OM∥x轴,与图象G交于点M,与直线OP交于点N, ∴M(,m),N(3m,m), ∵点M在点N左侧, ∴<3m, ∵m>0, ∴m>. 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,三角形全等的判定与性质,相似三角形的判定和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,正确作出辅助线是解题的关键. 24.如图,点C是⊙O直径AB上一点,过C作CD⊥AB交⊙O于点D,连接DA,延长BA至点P,连接DP,使∠PDA=∠ADC. (1)求证:PD是⊙O的切线; (2)若AC=3,tan∠PDC=,求BC的长. 【分析】(1)求出∠ODA+∠PDA=∠ADC+∠DAO=90°,根据切线的判定得出即可; (2)求出∠PDC=∠DOC,解直角三角形求出=,设DC=4x,OC=3x,求出3x+3=5x,求出x,即可得出答案. 【解答】(1)证明:连接OD, ∵OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD, ∵CD⊥AB于点C, ∴∠OAD+∠ADC=90°, ∴∠ODA+∠ADC=90°, ∵∠PDA=∠ADC, ∴∠PDA+∠ODA=90°, 即∠PDO=90°, ∴PD⊥OD, ∵D在⊙O上, ∴PD是⊙O的切线; (2)解:∵∠PDO=90°, ∴∠PDC+∠CDO=90°, ∵CD⊥AB于点C, ∴∠DOC+∠CDO=90°, ∴∠PDC=∠DOC, ∵, ∴=, 设DC=4x,CO=3x,则OD=5x, ∵AC=3, ∴OA=3x+3, ∴3x+3=5x, ∴x=, ∴OC=3x=,OD=OB=5x=, ∴BC=12. 【点评】本题考查了勾股定理、与圆有关的计算、切线的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键. 25.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,P是CB边上一动点,连接AP,作PQ⊥AP交AB于Q.已知AC=3cm,BC=6cm,设PC的长度为xcm,BQ的长度为ycm. 小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小青同学的探究过程,请补充完整: (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y的几组对应值; x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 y/cm 0 1.56 2.24 2.51 m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.26 0.86 0 (说明:补全表格时,相关数据保留一位小数) m的值约为 2.6 cm; (2)在平面直角坐标系中,描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(x,y),画出该函数的图象; (3)结合画出的函数图象,解决问题: ①当y>2时,对应的x的取值范围约是 0.8<x<3.5 ; ②若点P不与B,C两点重合,是否存在点P,使得BQ=BP? 不存在 (填“存在”或“不存在”) 【分析】(1)按题意,认真测量即可; (2)利用数据描点、连线; (3)①由根据函数图象可得; ②根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得不存在点P,使得BQ=BP. 【解答】解:(1)根据题意量取数据m为2.6, 故答案为:2.6 (2)根据已知数据描点连线得 (3)①由图象可得,当0.8<x<3.5时,y>2. 故答案为:0.8<x<3.5 ②不存在, 理由如下:若BQ=BP ∴∠BPQ=∠BQP ∵∠BQP=∠APQ+∠PAQ>90° ∴∠BPQ+∠BQP+∠QBP>180°与三角形内角和为180°相矛盾. ∴不存在点P,使得BQ=BP. 故答案为不存在. 【点评】本题为二次函数综合题,也是动点问题的函数图象探究题,考查了画函数图象以及数形结合的数学思想. 26.已知抛物线y=﹣x2+(5﹣m)x+6﹣m. (1)求证:该抛物线与x轴总有交点; (2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围; (3)设抛物线y=﹣x2+(5﹣m)x+6﹣m与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M,求m的值. 【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零,再判断出物线与x轴总有交点. (2)根据公式法解方程,利用已有的条件,就能确定出m的取值范围,即可得到结果. (3)根据抛物线y=﹣x2+(5﹣m)x+6﹣m,求出与y轴的交点M的坐标,再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=﹣x的对称点的坐标,列方程可得结论. 【解答】(1)证明:△=(5﹣m)2﹣4×(﹣1)(6﹣m)=m2﹣14m+49=(m﹣7)2≥0, ∴该抛物线与x轴总有交点; (2)解:由(1)△=(m﹣7)2,根据求根公式可知, 方程的两根为:, 即x1=﹣1,x2=﹣m+6, 由题意,有3<﹣m+6<5, ∴1<m<3; (3)解:令 x=0,y=﹣m+6, ∴M(0,﹣m+6), 由(2)可知抛物线与x轴的交点为(﹣1,0)和(﹣m+6,0), 它们关于直线y=﹣x的对称点分别为(0,1)和(0,m﹣6), 由题意,可得:﹣m+6=1或﹣m+6=m﹣6, ∴m=5或m=6. 【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点,解一元一次方程,解一元一次不等式,根的判别式,对称等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键. 27.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点E为线段AB上一动点(不与点A,B重合),连接CE,将∠ACE的两边CE,CA分别绕点C顺时针旋转90°,得到射线CE′,CA′,过点A作AB的垂线AD,分别交射线CE′,CA′于点F,G. (1)依题意补全图形; (2)若∠ACE=α,求∠AFC的大小(用含α的式子表示); (3)用等式表示线段AE,AF与BC之间的数量关系,并证明. 【分析】(1)根据旋转的特征补全图形; (2)根据旋转得出∠ECF=∠ACG=90°,∠FCG=∠ACE=α,最后用三角形的外角的性质即可得出结论; (3)借助(2)的结论判断出△ACE≌△GCF(ASA),得出AE=FG,再用勾股定理得出AG=AC,AC=BC,即可得出结论. 【解答】(1)补全的图形如图所示: (2)解 由旋转可知,∠ECF=∠ACG=90°,∠FCG=∠ACE=α, ∵AD⊥AB, ∴∠BAD=90°, ∵AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠ACB=∠CAD=45°, ∵∠ACG=90°, ∴∠AGC=45°, ∴∠AFC=∠AGC+∠FCG=α+45°, (3)AE,AF与BC之间的数量关系为AE+AF=2BC, 理由:由(2)可知,∠DAC=∠AGC=45°, ∴CA=CG, ∵∠ACE=∠GCF,∠CAE=∠CGF=45°, ∴△ACE≌△GCF(ASA) ∴AE=FG. 在Rt△ACG中,AC=CG, ∴AG=AC, ∴AF+FG=AC, ∴AF+AE=AC, 在R△ABC中,AB=BC, ∴AC=BC, ∴AE+AF=2BC 【点评】此题是三角形综合题,主要考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,判断出∠AGC=45°,是解本题的关键. 28.对于平面内任意一个角的“夹线圆”,给出如下定义:如果一个圆与这个角的两边都相切,则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如:在平面直角坐标系xOy中,以点(1,1)为圆心,1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”. (1)下列各点中,可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是; A(2,2),B(3,1),C(﹣1,0),D(1,﹣1) (2)若⊙P为y轴和直线l:y=x所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙P的半径为1,求点P的坐标. (3)若⊙Q为x轴和直线y=﹣所构成的锐角的“夹线圆”,且⊙Q的半径1≤r≤2,直接写出点Q横坐标xQ的取值范围. 【分析】(1)由点A的横纵坐标相等及点D的横纵坐标的绝对值相等,可得出点A,D能作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心; (2)过P点作PE⊥y轴于点E,PF⊥直线l于点F,连PO,设直线l与x轴夹角为α,由直线l的解析式可得出α=30°及∠EOF=60°,由⊙P与y轴及直线OF均相切可得出∠EOP=30°,结合EP=1可求出OE=,进而可得出点E的坐标; (3)过Q点作QM⊥x轴于点M,QN⊥直线y=﹣于点N,延长MQ交直线y=﹣于点G,设直线y=﹣与x轴交于点S,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点S的坐标,由∠MSG=30°,∠MGS=60°可得出MS=MG?tan60°=(2+)r,结合1≤r≤2可得出MS的取值范围,再将其代入xQ=6+MS或xQ=6﹣MS即可得出点Q横坐标xQ的取值范围. 【解答】解:(1)∵2=2,1=|﹣1|, ∴点A,D能作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心. (2)如图1,过P点作PE⊥y轴于点E,PF⊥直线l于点F,连PO. 设直线l与x轴夹角为α. ∵直线l的解析式为y=x, ∴tanα=, ∴α=30°, ∴∠EOF=60°. 又∵⊙P与y轴及直线OF均相切, ∴OP平分∠EOF, ∴∠EOP=30°, 又∵EP=1, ∴OE=, ∴P点坐标为(1,); 同理,当P点在第三象限时,P点坐标为(﹣1,﹣). (3)如图2,过Q点作QM⊥x轴于点M,QN⊥直线y=﹣于点N,延长MQ交直线y=﹣于点G,设直线y=﹣与x轴交于点S. 当y=0时,有﹣x+2=0, 解得:x=6, ∴点S的坐标为(6,0). ∵∠MSG=30°, ∴∠MGS=60°, ∴MG=MQ+QG=r+=r, ∴MS=MG?tan60°=(2+)r, ∵⊙Q的半径1≤r≤2, ∴2+≤MS≤4+2, ∴2﹣2≤6﹣MS≤4﹣,8+≤6+MS≤10+2, ∴点Q横坐标xQ的取值范围为:2﹣2≤xQ≤4﹣或8+≤xQ≤10+2. 【点评】本题考查了切线的性质、特殊角的三角函数值、一次函数图象点的坐标特征及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据“夹线圆”的定义确定可以作为“夹线圆”圆心的点;(2)利用特殊角的三角函数值求出OE的长度;(3)通过解直角三角形求出MS的长度.

  • ID:3-5457640 2018-2019学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2018-2019学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个 1.实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是(  ) A.a+b>0 B.ab>0 C.a>b D.|a|>|b| 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么cosA的值是(  ) A. B. C. D. 3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则S△ADE:S△ABC等于(  ) A.1:5 B.1:4 C.1:3 D.1:2 4.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,∠AOC=130°,则∠D等于(  ) A.65° B.35° C.25° D.15° 5.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=2x2先向左平移3个单位B长度,再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为(  ) A.y=2(x+3)2﹣4 B.y=2(x﹣3)2﹣4 C.y=2(x+3)2+4 D.y=2(x﹣3)2+4 6.函数y=中,自变量x的取值范围是(  ) A.x且x≠1 B.x且x≠1 C.x且x≠1 D.x且x≠1 7.如图,圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处,铁片与三角尺的唯一公共点为B,下列说法错误的是(  ) A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC为正方形 C.弧AB的长度为4πcm D.扇形OAB的面积是4πcm2 8.如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(  ) A. B. C. D. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.因式分解:x3﹣9xy2=   . 10.如果代数式a2﹣a﹣1=0,那么代数式(a﹣)的值为   . 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,则S△AOB=   . 12.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,则水的最大深度CD是   mm. 13.如果,那么的值为   . 14.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在观测灯塔A北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是   海里. 15.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,3)、B(﹣2,1)、C(0,﹣1),则△ABC外接圆的圆心坐标是   ;△ABC外接圆的半径为   . 16.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木竿PQ的长度为   m. 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题每小题5分,第27、28题,每小题5分) 17.解不等式组,并求它的整数解. 18.计算:. 19.已知抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1与x轴相交于A、B两点,且AB=2,求m的值. 20.已知:如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,求边BC的长. 21.某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件,为提高利润,欲对该商品进行涨价销售.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件,将销售价定为多少时,才能使每天所获销售利润最大?最大利润是多少? 22.已知,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E是上的一点,AE,DC的延长线相交于点F,求证:∠AED=∠CEF. 23.如图所示,我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在A处观测对岸C点,测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°,请你根据这些数据算出河宽.(精确到0.01米,参考数据≈1.414,≈1.732) 24.已知:如图,在△ABC中,点M为AC边的中点,点E为AB上一点,且AB=4AE,连接EM并延长交BC的延长线于点D,求证:BC=2CD. 25.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB分别与x、y轴交于点B、A,与反比例函数的图象分别交于点C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2. (1)求该反比例函数的解析式; (2)求直线AB的解析式. 26.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,过点B作BE⊥CD于E,连接AE,∠AEB=60°,F为AE上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)求AE的长; (3)求BF的长. 27.如图,点C是以AB为直径的圆O上一点,直线AC与过B点的切线相交于D,点E是BD的中点,直线CE交直线AB于点F. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半径. 28.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3). (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标; (3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴上一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数m的取值范围. 2018-2019学年北京市顺义区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个 1.实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是(  ) A.a+b>0 B.ab>0 C.a>b D.|a|>|b| 【分析】根据实数a,b在数轴上的位置,可得:a=﹣2,1<b<2,据此逐项判断即可. 【解答】解:根据图示,可得 a=﹣2,1<b<2, ∴a+b<0, ∴选项A不符合题意; ∵a<0,b>0, ∴ab<0, ∴选项B不符合题意; ∵a<b, ∴选项C不符合题意; ∵|a|>|b|, ∴选项D符合题意. 故选:D. 【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法,以及数轴的特征:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大,要熟练掌握. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,那么cosA的值是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据勾股定理求出AB,根据余弦的定义计算即可. 【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴AB==5, ∴cosA==, 故选:B. 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,勾股定理,掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键. 3.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则S△ADE:S△ABC等于(  ) A.1:5 B.1:4 C.1:3 D.1:2 【分析】证出DE是△ABC的中位线,由三角形中位线定理得出DE∥BC,DE=BC,证出△ADE∽△ABC,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论. 【解答】解:∵点D、E分别是AB、C的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴S△ADE:S△ABC=()2=, 故选:B. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理;熟练掌握三角形中位线定理,证明三角形相似是解决问题的关键. 4.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,∠AOC=130°,则∠D等于(  ) A.65° B.35° C.25° D.15° 【分析】根据圆周角定理:∠BOC,求出∠BOC即可. 【解答】解:∵∠BOC=180°﹣∠AOC,∠AOC=130°, ∴∠BOC=50°, ∴∠D=∠BOC=25°, 故选:C. 【点评】本题考查圆周角定理,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 5.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=2x2先向左平移3个单位B长度,再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为(  ) A.y=2(x+3)2﹣4 B.y=2(x﹣3)2﹣4 C.y=2(x+3)2+4 D.y=2(x﹣3)2+4 【分析】把抛物线y=2x2的顶点(0,0)先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(﹣3,﹣4),即得到平移后抛物线的顶点坐标,然后根据顶点式写出解析式即可. 【解答】解:抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为(﹣3,﹣4), 所以平移后所得的抛物线的解析式为y=2(x+3)2﹣4. 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题. 6.函数y=中,自变量x的取值范围是(  ) A.x且x≠1 B.x且x≠1 C.x且x≠1 D.x且x≠1 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为0,列出不等式组,即可求x的范围. 【解答】解:2x﹣1≥0且x﹣1≠0, 解得x≥且x≠1, 故选:B. 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,当函数表达式是分式时,要注意考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,要注意考虑二次根式的被开方数大于等于. 7.如图,圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O,三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处,铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处,铁片与三角尺的唯一公共点为B,下列说法错误的是(  ) A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC为正方形 C.弧AB的长度为4πcm D.扇形OAB的面积是4πcm2 【分析】由BC,AC分别是⊙O的切线,B,A为切点,得到OA⊥CA,OB⊥BC,又∠C=90°,OA=OB,推出四边形AOBC是正方形,得到OA=AC=4,故A,B正确;根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断. 【解答】解:由题意得:BC,AC分别是⊙O的切线,B,A为切点, ∴OA⊥CA,OB⊥BC, 又∵∠C=90°,OA=OB, ∴四边形AOBC是正方形, ∴OA=AC=4,故A,B正确; ∴的长度为:=2π,故C错误; S扇形OAB==4π,故D正确. 故选:C. 【点评】本题考查了切线的性质,正方形的判定和性质,扇形的弧长、面积的计算,熟记计算公式是解题的关键. 8.如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式,进而得出函数是二次函数,当x=﹣=2时,S取到最小值为:=0,即可得出图象. 【解答】解:∵A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与⊙O过A点的切线交于点B,且∠APB=60°, ∴AO=2,OP=x,则AP=2﹣x, ∴tan60°==, 解得:AB=(2﹣x)=﹣x+2, ∴S△ABP=×PA×AB=(2﹣x)??(﹣x+2)=x2﹣2x+2, 故此函数为二次函数, ∵a=>0, ∴当x=﹣=2时,S取到最小值为:=0, 根据图象得出只有D符合要求. 故选:D. 【点评】此题主要考查了动点函数的图象,根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键. 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.因式分解:x3﹣9xy2= x(x+3y)(x﹣3y) . 【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【解答】解:x3﹣9xy2, =x(x2﹣9y2), =x(x+3y)(x﹣3y). 【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 10.如果代数式a2﹣a﹣1=0,那么代数式(a﹣)的值为 3 . 【分析】根据题意得到a2﹣a=1,根据分式的混合运算法则把原式化简,代入计算即可. 【解答】解:∵a2﹣a﹣1=0, ∴a2﹣a=1, (a﹣) = = =3a2﹣3a =3(a2﹣a) =3, 故答案为:3. 【点评】本题考查的是分式的化简求值,掌握分式的混合运算法则是解题的关键. 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B,则S△AOB= 2 . 【分析】根据题意和反比例函数的性质,可以求得△AOB的面积,本题得以解决. 【解答】解:设点A的坐标为(a,﹣), ∵反比例函数y=﹣在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于点B, ∴S△AOB==2, 故答案为:2. 【点评】本替考查反比例函数系数k的几何意义,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质和数形结合的思想解答. 12.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,则水的最大深度CD是 200 mm. 【分析】先求出OA的长,再由垂径定理求出AC的长,根据勾股定理求出OC的长,进而可得出结论. 【解答】解:∵⊙O的直径为1000mm, ∴OA=OA=500mm. ∵OD⊥AB,AB=800mm, ∴AC=400mm, ∴OC==300mm, ∴CD=OD﹣OC=500﹣300=200(mm). 答:水的最大深度为200mm. 故答案为:200. 【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键. 13.如果,那么的值为  . 【分析】由==≠0,利用比例的性质可得出=,=,将其代入=+中即可求出结论. 【解答】解:∵==≠0, ∴5a=6b,4a=6c, ∴=,=, ∴=+=+=. 故答案为:. 【点评】本题考查了比例的性质,根据比例的性质找出=,=是解题的关键. 14.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在观测灯塔A北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是 25 海里. 【分析】根据题中所给信息,求出∠BCA=90°,再求出∠CBA=45°,从而得到△ABC为等腰直角三角形,然后根据解直角三角形的知识解答. 【解答】解:根据题意,得∠1=∠2=30°, ∵∠ACD=60°, ∴∠ACB=30°+60°=90°, ∴∠CBA=75°﹣30°=45°, ∴△ABC为等腰直角三角形, ∵BC=50×0.5=25, ∴AC=BC=25(海里). 故答案为:25. 【点评】本题考查了等腰直角三角形和方位角,根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键. 15.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,3)、B(﹣2,1)、C(0,﹣1),则△ABC外接圆的圆心坐标是 (1,2) ;△ABC外接圆的半径为  . 【分析】求出AB、AC、BC,根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°,根据A、B的坐标求出即可. 【解答】解:∵A(4,3)、B(﹣2,1)、C(0,﹣1), ∴AB2=(4+2)2+(3﹣1)2=40,AC2=(4﹣0)2+(3+1)2=32,BC2=(﹣2﹣0)2+(1+1)2=8, ∴AC2+BC2=AB2, ∴∠ACB=90°, ∵AB==2, ∴△ABC的外接圆的半径是×2=, 过B作BM⊥x轴于M,过A作AN⊥x轴于N,过O′作O′E⊥x轴于E, ∵A(4,3)、B(﹣2,1), ∴BM=1,AN=3,MN=4+2=6,BM∥O′E∥AN, ∵O′为AB中点, ∴E为MN中点, ∴O′E=×(BM+AN)=2,EN=MN=3, ∴OE=4﹣3=1, 即O′的坐标是(1,2), 故答案为:(1,2),. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,梯形的中位线,三角形的外接圆与外心等知识点的应用,注意:直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点上,半径等于斜边的一半. 16.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.6m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木竿PQ的长度为 2.3 m. 【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可. 【解答】解:过N点作ND⊥PQ于D, ∴, 又∵AB=2,BC=1.6,PM=1.2,NM=0.8, ∴QD==1.5, ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3(m). 故答案为:2.3. 【点评】在运用相似三角形的知识解决实际问题时,要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型,然后列出相关数据的比例关系式,从而求出结论. 三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题每小题5分,第27、28题,每小题5分) 17.解不等式组,并求它的整数解. 【分析】分别得出不等式的解集,进而得出不等式组的解集,即可得出不等式组的整数解. 【解答】解:由①得:2x+4≤5x+10, ∴﹣3x≤6, ∴x≥﹣2. 由②得:x﹣x<1, ∴x<3. 所以原不等式组的解集为﹣2≤x<3. 所以原不等式组的整数解为﹣2,﹣1,0,1,2. 【点评】此题主要考查了不等式组的解法,求不等式组的解集,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了,利用此规律得出不等式的解集是解题关键. 18.计算:. 【分析】分别根据二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可. 【解答】解:原式=2﹣1﹣2×+3, =+2. 故答案为: +2. 【点评】本题考查的是实数混合运算的法则,熟知二次根式的化简、0指数幂、特殊角的三角函数值及负整数指数幂计算法则是解答此题的关键. 19.已知抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1与x轴相交于A、B两点,且AB=2,求m的值. 【分析】令y=0,求关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0的解,即为点A、B的横坐标,再根据AB=2求得m的值即可. 【解答】解:设一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0的两根为α、β, ∴α+β=﹣,αβ=﹣, ∴|α﹣β|==2, ∴(α+β)2﹣4αβ=4, 即(﹣)2+=4, 解得m=2或m=. 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,是个基础性的题目,比较简单. 20.已知:如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,求边BC的长. 【分析】过点C作CD⊥BA,垂足为D.根据平角的定义可得∠DAC=60°,在Rt△ACD中,根据三角函数可求AD,BD的长;在Rt△BCD中,根据勾股定理可求BC的长. 【解答】解:过点C作CD⊥BA,垂足为D. ∵∠BAC=120°, ∴∠DAC=60°, 在Rt△ACD中,AD=AC?cos∠DAC=2×cos60°=1, , ∴BD=AB+AD=4+1=5, 在Rt△BCD中,BC====2. 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.同时考查了勾股定理. 21.某商店购进一批单价为8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可销售100件,为提高利润,欲对该商品进行涨价销售.经调查发现,这种商品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少10件,将销售价定为多少时,才能使每天所获销售利润最大?最大利润是多少? 【分析】根据题意列出二次函数,将函数化简为顶点式,便可知当x=14时,所获得的利润最大. 【解答】解:设销售单价定为x元(x≥10),每天所获利润为y元, 则y=[100﹣10(x﹣10)]?(x﹣8) =﹣10x2+280x﹣1600 =﹣10(x﹣14)2+360 所以将销售定价定为14元时,每天所获销售利润最大,且最大利润是360元. 【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的函数关系式,利用二次函数的性质解答. 22.已知,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E是上的一点,AE,DC的延长线相交于点F,求证:∠AED=∠CEF. 【分析】连结AD,如图,根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD,再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED,然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC,于是利用等量代换即可得到结论. 【解答】证明:连结AD,如图, ∵CD⊥AB, ∴弧AC=弧AD, ∴∠ADC=∠AED, ∵∠CEF=∠ADC, ∴∠AED=∠CEF. 【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质. 23.如图所示,我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在A处观测对岸C点,测得∠CAD=45°,小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°,请你根据这些数据算出河宽.(精确到0.01米,参考数据≈1.414,≈1.732) 【分析】设河宽为未知数,那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB,然后根据BE﹣AE=50就能求得河宽. 【解答】解:过C作CE⊥AB于E,设CE=x米, 在Rt△AEC中:∠CAE=45°,AE=CE=x 在Rt△BCE中:∠CBE=30°,BE=CE=x, ∴x=x+50解之得:x=25+25≈68.31. 答:河宽为68.31米. 【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用,解题关键是把实际问题转化为数学问题,抽象到三角形中,利用三角函数进行解答. 24.已知:如图,在△ABC中,点M为AC边的中点,点E为AB上一点,且AB=4AE,连接EM并延长交BC的延长线于点D,求证:BC=2CD. 【分析】作CF∥DE于DE,交AB于F,如图,根据平行线分线段成比例定理,由ME∥CF得到=,加上AM=MC,则AE=EF,由于AB=4AE,所以EF=AB,BF=AB,则BF=2EF,然后由CF∥DE得到==2,所以BC=2CD; 【解答】证明:作CF∥DE于DE,交AB于F,如图, ∵ME∥CF, ∴=, 而M为AC边的中点, ∴AM=MC, ∴AE=EF, ∵AB=4AE, ∴EF=AB,BF=AB, ∴BF=2EF, ∵CF∥DE, ∴==2, ∴BC=2CD; 【点评】本题考查了平行线分线段成比例,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题. 25.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB分别与x、y轴交于点B、A,与反比例函数的图象分别交于点C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2. (1)求该反比例函数的解析式; (2)求直线AB的解析式. 【分析】(1)根据已知条件求出c点坐标,用待定系数法求出反比例的函数解析式; (2)根据已知条件求出A,B两点的坐标,用待定系数法求出一次函数的解析式. 【解答】解:(1)∵OB=4,OE=2, ∴BE=2+4=6. ∵CE⊥x轴于点E.tan∠ABO=. ∴CE=3.(1分) ∴点C的坐标为C(﹣2,3). 设反比例函数的解析式为y=,(m≠0) 将点C的坐标代入,得3=.(3分) ∴m=﹣6.(4分) ∴该反比例函数的解析式为y=﹣. (2)∵OB=4,∴B(4,0). ∵tan∠ABO=,∴OA=2,∴A(0,2). 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点A、B的坐标分别代入,得.(8分) 解得.(9分) ∴直线AB的解析式为y=﹣x+2.(10分). 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题.主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质,起点稍高,部分学生感觉较难. 26.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,过点B作BE⊥CD于E,连接AE,∠AEB=60°,F为AE上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)求AE的长; (3)求BF的长. 【分析】(1)可通过证明∠BAF=∠AED,∠AFB=∠D,证得△ABF∽△EAD; (2)根据平行线的性质得出∠ABE=90°,进而利用锐角三角函数关系求出AE的长即可; (3)利用△ABF∽△EAD,进而得出=,求出BF的长即可. 【解答】(1)证明:在平行四边形ABCD中, ∵∠D+∠C=180°,AB∥CD, ∴∠BAF=∠AED. ∵∠AFB+∠BFE=180°,∠D+∠C=180°,∠BFE=∠C, ∴∠AFB=∠D, ∴△ABF∽△EAD; (2)解:∵BE⊥CD,AB∥CD, ∴BE⊥AB. ∴∠ABE=90°, ∵∠AEB=60°, ∴tan60°==, 故BE=, 则AE=; (3)解:∵由(1)知,△ABF∽△EAD, ∴= ∴= ∴BF=. 【点评】本题主要考查了三角形的判定和性质以及平行四边形的性质等知识点,得出△ABF∽△EAD是解题关键. 27.如图,点C是以AB为直径的圆O上一点,直线AC与过B点的切线相交于D,点E是BD的中点,直线CE交直线AB于点F. (1)求证:CF是⊙O的切线; (2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半径. 【分析】(1)连CB、OC,根据切线的性质得∠ABD=90°,根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°,即∠BCD=90°,则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE,于是得到∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线; (2)CE=BE=DE=3,于是得到CF=CE+EF=4,然后根据相似三角形的性质即可得到结论. 【解答】(1)证明:连CB、OC,如图, ∵BD为⊙O的切线, ∴DB⊥AB, ∴∠ABD=90°, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠BCD=90°, ∵E为BD的中点, ∴CE=BE, ∴∠BCE=∠CBE, 而∠OCB=∠OBC, ∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°, ∴OC⊥CF, ∴CF是⊙O的切线; (2)解:CE=BE=DE=3, ∵EF=5, ∴CF=CE+EF=8, ∵∠ABD=90°, ∴∠EBF=90°, ∵∠OCF=90°, ∴∠EBF=∠OCF, ∵∠F=∠F, ∴△EBF∽△OCF, ∴, ∴, ∴OC=6, 即⊙O的半径为6. 【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了勾股定理、圆周角定理. 28.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3). (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标; (3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴上一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数m的取值范围. 【分析】(1)由y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,A(﹣1,0),C(0,3),利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式; (2)首先令﹣x2+2x+3=0,求得点B的坐标,然后设直线BC的解析式为y=kx+b′,由待定系数法即可求得直线BC的解析式,再设P(a,3﹣a),即可得D(a,﹣a2+2a+3),即可求得PD的长,由S△BDC=S△PDC+S△PDB,即可得S△BDC=﹣(a﹣)2+,利用二次函数的性质,即可求得当△BDC的面积最大时,求点P的坐标; (3)首先过C作CH⊥EF于H点,则CH=EH=1,然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案. 【解答】解:(1)由题意得:, 解得:, ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3; (2)令﹣x2+2x+3=0, ∴x1=﹣1,x2=3, 即B(3,0), 设直线BC的解析式为y=kx+b′, ∴, 解得:, ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3, 设P(a,3﹣a),则D(a,﹣a2+2a+3), ∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a, ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB =PD?a+PD?(3﹣a) =PD?3 =(﹣a2+3a) =﹣(a﹣)2+, ∴当a=时,△BDC的面积最大,此时P(,); (3)由(1),y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴OF=1,EF=4,OC=3, 过C作CH⊥EF于H点,则CH=EH=1, 当M在EF左侧时, ∵∠MNC=90°, 则△MNF∽△NCH, ∴=, 设FN=n,则NH=3﹣n, ∴=, 即n2﹣3n﹣m+1=0, 关于n的方程有解,△=(﹣3)2﹣4(﹣m+1)≥0, 得m≥﹣且m≠1; 当M与F重合时,m=1; 当M在EF右侧时,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45°,即∠CEF=45°, 作EM⊥CE交x轴于点M,则∠FEM=45°, ∵FM=EF=4, ∴OM=5, 即N为点E时,OM=5, ∴m≤5, 综上,m的取值范围为:﹣≤m≤5. 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.