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初中数学沪科版九年级下册
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  • ID:3-5919396 沪科版九年级数学下册第26章概率初步单元检测试题(含答案)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第26章 概率初步/本章综合与测试

    沪科版九年级数学下册 第26章 概率初步 单元检测试题 考试总分: 120 分 考试时间: 120 分钟 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________ 一、选择题(共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分 ) ?1.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为,,,,,.下列事件中是必然事件的是( ) A.两枚骰子朝上一面的点数和为 B.两枚骰子朝上一面的点数和不小于 C.两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D.两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 ?2.桌上放着粒棋子,小明和小刚两人轮流拿,一次可以拿走粒棋子、粒棋子或者粒棋子,但不可以不拿,拿到最后一粒棋子的算输,该游戏( ) A.公平 B.不公平 C.对小明有利 D.不确定 ?3.在有名男生和名女生的班级中,随机抽签确定一名学生代表,则下列说法正确的是( ) A.男、女生做代表的可能性一样大 B.男生做代表的可能性较大 C.女生做代表的可能性较大 D.男、女生做代表的可能性的大小不能确定 ?4.一个不透明的布袋中,装有红、黄、白小球共个,这些小球材质、大小完全相同.小丽做摸球实验,摸到白球的频率稳定在左右,则口袋中红、黄小球大约共有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 ?5.书架上有本小说,本散文,从中随机抽取本都是小说的概率是( ) A. B. C. D. ?6.在布袋中装有两个大小一样,质地相同的球,其中一个为红色,一个为白色、模拟“摸出一个球是白球”的机会,可以用下列哪种替代物进行实验( ) A.“抛掷一枚普通骰子出现点朝上”的机会 B.“抛掷一枚啤酒瓶盖出现盖面朝上”的机会 C.“抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面朝上”的机会 D.“抛掷一枚普通图钉出现针尖触地”的机会 ?7.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之积为偶数,甲得分;如果两者之积为奇数,乙得分,此游戏( ) A.对甲有利 B.对乙有利 C.是公平的 D.以上都有不对 ?8.一个不透明的袋子里有若干个小球,它们除了颜色外,其它都相同,甲同学从袋子里随机摸出一个球,记下颜色后放回袋子里,摇匀后再次随机摸出一个球,记下颜色,…,甲同学反复大量实验后,根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图,则下列说法正确的是( ) A.袋子一定有三个白球 B.袋子中白球占小球总数的十分之三 C.再摸三次球一定有一次是白球D.再摸次,摸出白球的次数会接近次 ?9.一个不透明的袋子中装有个红球,个黄球,个蓝球,这些球除了颜色外都相同,从中任意摸出一个球,则摸出蓝球的可能性为( ) A. B. C. D. ?10.下列说法正确的是( ) A.投针试验中针与平行线相交的概率是 B.随机调查个人,则必有人生肖相同 C.掷一枚均匀硬币连续次都是正面,那么第次出现反面的概率大于 D.袋中有若干个小正方体,小华有放回地摸了次,每次都摸到黄色小正方体,因此他断言袋中全是黄色小正方体 二、填空题(共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分 ) ?11.在如图的甲、乙两个转盘中,指针指向每一个数字的机会是均等的,转动甲转盘,转盘停止转动后,指针所指的数字记为,转动乙转盘,转盘停止转动后,指针所指的数字记为,同时转动两个转盘,当转盘停止转动后,指针所指的两个数字用来表示一个点的坐标,记为,那么该点在坐标轴上的概率是________. ?12.一袋中装有个红球、个白球和个黄球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球,则:(摸到红球)________,(摸到白球)________,(摸到黄球)________.? 13.小兰和小青两人做游戏,有一个质量分布均匀的六面体骰子,骰子的六面分别标有,,,,,,如果掷出的骰子的点数是偶数,则小兰赢;如果掷出的骰子的点数是的倍数,则小青赢,那么游戏规则对________有利. ?14.图中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌,其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志,则随机翻动一块木牌中奖的概率为________. ? 15.有一个转盘被分成白色和黑色两个区域,白色区域的圆心角是,如图,让转盘自由转动两次.指针一次落在黑色区域,另一次落在白色区域的概率是________. ?16.一个口袋里有个球,其中红球、黑球、黄球若干个,从口袋中随机摸出一球记下其颜色,再把它放回口袋中摇匀,重复上述过程,共试验次,其中有次摸到黄球,由此估计袋中的黄球有________个. ?17.如图所示是一个被分成个相等的扇形的转盘,其中个扇形涂上黑色,个扇形涂上灰色,个扇形涂上白色,当把转盘自由转动,转盘停止后,指针落在________区域的可能性最小. ?18.有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开其中一把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁,任意取出一把钥匙去开任意的一把锁,一次打开锁的概率为________. ?19.一个口袋中有红球、白球共个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了次球,发现有次摸到红球.请你估计这个口袋中红球的数量为________个.? 20.一个口袋中装了三个球,其中两个是红球,另外一个是白球,若从口袋中随机地摸出两球,假如两球是同一色,则规定甲胜,假如两球不是同一色,则规定乙胜,你认为甲、乙两人谁获胜的机会大? 答:________. 三、解答题(共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分 ) ?21.将只红球、只白球放进一个不透明的袋子里,小丽先后从袋中拿出两个球(拿出不放回).? 她拿到的个都是红球的可能性有多大? 她拿到的个都是白球的可能性有多大? 她拿到的是个红球和个白球的可能性有多大? 若摸出一个球后将他放回袋中摇匀,再摸第二个球,则第一次摸到红球,第二次摸到白球的可能性多少? ? 22.不透明的口袋里装有红、白、蓝三种颜色的小球(大小、形状都相同),其中红球有个,蓝球有个,小王通过大量的反复实验(每次取一个球,放回搅匀后再取第二个),发现取出红球的频率稳定在左右. 请你估计袋中白球的个数; 第一次摸出一个球(不放回),第二次再摸一个球,请用画树状图或列表法求两次都是蓝球的概率. ? 23.为了估计一批产品的次品率,大华随机抽查了件产品,发现有件次品,他估计次品率为;小英随机抽取件产品,发现有件次品,他估计次品率为.谁的估计结果更可信为什么? ? 24.小明和小刚做游戏,用一个不透明袋子,里面装有形状、大小完全相同的个红球和个白球,并充分搅匀,让小刚从中摸出一个球不放回,再去摸第二个球,如果两次摸出的球颜色相同小刚赢,反之小明赢.你认为这种游戏是否公平?请你借助树状图或列表的方法,运用概率的知识予以说明. ? 25.一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共个,它们除颜色外都相同,其中黄球个数是白球个数的倍少个.已知从袋中摸出一个球是红球的概率是. 求袋中红球的个数; 求从袋中摸出一个球是白球的概率; 取走个球(其中没有红球)后,求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率. ? 26.图①中的等边三角形被等分成,,三部分,图②中是半圆,,是四分之一圆.飞镖随机地掷在如图所示的靶子上. 在每一个靶子中,飞镖投到区域,,的概率分别是多少? 在靶子①中,飞镖投在区域或中的概率是多少? 在靶子②中,飞镖没有投在区域中的概率是多少? 答案 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11. 12. 13.小兰 14. 15. 16. 17.白色 18. 19. 20.乙 21.解:如图所示: , 由图可得,所有的可能有种,拿到的个都是红球的有种,故她拿到的个都是红球的可能性为:;由得:她拿到的个都是白球的可能性为:;她拿到的是个红球和个白球的可能性为:;如图所示: 由图可得,所有的可能有种,第一次摸到红球,第二次摸到白球的可能性为:. 22.解:设袋中白球的个数为个, , ∴, ∴袋中白球的个数为个;列表如下: * 蓝 蓝 红 白 蓝 * (蓝,蓝) (红,蓝) (白,蓝) 蓝 (蓝,蓝) * (红,黄) (白,蓝) 红 (蓝,红) (蓝,红) * (白,红) 白 (蓝,白) (蓝,白) (白,红) * ∴一共有种情况,两次都是蓝球的情况有种, ∴两次摸到不同颜色球的概率为:. 23.解:小英的结果更可信.因为当实验次数较少时,频率的大小摇摆不定;随着实验次数增大,频率的大小波动变小,逐渐稳定在概率附近. 24.解:这种游戏规则不公平. 理由是:列表为: 第一次 第二次 红 红 白 白 红 (红,红) (白,红) (白,红) 红 (红,红?) (白,红) (白,红) 白 (红,白?) (红,白) (白,白) 白 (红,白?) (红,白?) (白,白) ∴(两次颜色相同);(两次颜色不同); ∵, ∴这种游戏规则不公平. 25.红球有个.设白球有个,则黄球有个, 根据题意得 解得. 所以摸出一个球是白球的概率;因为取走个球后,还剩个球,其中红球的个数没有变化, 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率; 26.解:∵图①中的等边三角形被等分成,,三部分,图②中是半圆,,是四分之一圆; ∴在图①中,飞镖投到区域,,的概率分别是:,,, 在图②中,飞镖投到区域,,的概率分别是:,,;在靶子①中,飞镖投在区域或中的概率是:;在靶子②中,飞镖没有投在区域中的概率是:.

  • ID:3-5919395 沪科版九年级数学下册第25章投影与三视图单元检测试题(有答案)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第25章 投影与视图/本章综合与测试

    沪科版九年级数学下册 第25章 投影与三视图 单元检测试题 考试总分: 120 分 考试时间: 120 分钟 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________ 一、选择题(共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分 ) ?1.如图中的①、②、③、④是一天中四个不同时刻同一根木杆在地面上的影子,将它们按时间先后顺序正确排列为( ) A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③①② ?2.下列投影中属于中心投影的是( ) A.阳光下跑动的运动员的影子 B.阳光下木杆的影子 C.阳光下汽车的影子 D.路灯下行人的影子 ?3.用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,则最少需要小立方块的个数为( ) A. B. C. D. ?4.下列几何体中,其主视图为三角形的是( ) A. B. C. D. ?5.下图的四幅图中,灯光与影子的位置合理的是( ) A. B. C. D. ?6.观察正六棱柱形状的建筑物时只能看到一个侧面,则观察区域是一个( ) A.正六边形 B.正方形 C.正三角形 D.平行四边形 ?7.当你站在博物馆的展览厅中时,你知道站在何处观赏最理想吗?如图,设墙壁上的展品最高点距地面米,最低点距地面米,观赏者的眼睛距地面米,当视角最大时,站在此处观赏最理想,则此时到墙壁的距离为( )米. A. B. C. D. ?8.如图是一个三棱柱的立体图形,它的主视图是( ) A. B. C. D. ?9.用大小一样的正方体搭一几何体(如图),该几何体的左视图是选项中的( ) A. B. C. D. ?10.一个几何体是由若干个相同的正方体组成的,其主视图和左视图如图所示,则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成( ) A.个 B.个 C.个 D.个 二、填空题(共 10 小题 ,每小题 3 分 ,共 30 分 ) ?11.一个由大小相同的正方体构成的几何体的三视图如图,这个几何体是由________个正方体组成的. ?12.一个几何体的主视图、左视图、俯视图都全等,则这个几何体是________.(写出一种即可) ? 13.如图,已经画出正六棱柱的俯视图和左视图,请你在图上相应位置画出它的主视图________. ?14.当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小________. ?15.如右图,是一个由若干个小正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图,那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是________(多填或错填得分,少填酌情给分) ?16.如图是两棵小树在同一时刻的影子,请问它们的影子是在________光线下形成的(填“灯光”或“太阳”). ?17.如果一个几何体的主视图、左视图都是等腰三角形,俯视图为圆,那么我们可以确定这个几何体是________. ?18.通常,我们在设计剧院或电影院座位时,后面的座位要比前面的座位逐渐高点.这样设计的原因是________. ?19.下面几何体的俯视图为圆的是________. ? 20.如图,房间里有一只老鼠,门外蹲着一只小猫,如果每块正方形地砖的边长为米,那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为________平方米.(不计墙的厚度) 三、解答题(共 6 小题 ,每小题 10 分 ,共 60 分 )? 21.分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图. ? 22.一个立体图形是由若干个小正方体堆积而成的,其三视图如图,则组成这个立体图形的小正方体有多少个. ? 23.由六个小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示,小正方体中的数字表示在该位置的小立方体的个数,请画出这个几何体的主视图和左视图. ? 24.已知一个直棱柱的三视图如图所示:(单位:).请在俯视图的虚线框内注上符合的数据. ? 25.如图是几个正方体所组成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方块的个数.请画出这个几何体的主视图和左视图. ? 26.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例,在某一时刻,有人测得一高为米的竹竿的影长为米,某一高楼的影长为米,那么高楼的高度是多少米? 答案 1.D 2.D 3.C 4.D 5.B 6.C 7.B 8.B 9.C 10.B 11. 12.球体(正方体等等)写出一个即可 13. 14.相同 15.①②③ 16.灯光 17.圆锥 18.为了减少盲区,扩大视区 19. 20. 21.解: 22.解:各个位置上小正方体的个数如图所示,故这个立体图形共由个小正方体组成. 23.解:如图所示: 24.解: 25.解:如图所示: . 26.高楼的高度是米.

  • ID:3-5826808 沪科版九年级数学下册 24.6正多边形与圆第2课时正多边形的性质课件共27张PPT

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.6 正多边形与圆/24.6.1 正多边形与圆

    沪科版九年级数学下册 24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质共27张ppt27张PPT24.6 正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质 第24章 圆 1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.(重点) 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.(难点) 导入新课 问题1 什么是正多边形? 问题2 如何作出正多边形? 各边相等,各角也相等的多边形叫作正多边形. 将一个圆n等分,就可以作出这个圆的内接或外切正n变形. 复习引入 ================================================ 压缩包内容: 沪科版九年级数学下册 24.6正多边形与圆 第2课时 正多边形的性质共27张ppt.pptx

  • ID:3-5820152 沪科版数学九年级下册24.2 圆的基本性质(2)教案

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.2 圆的基本性质/24.2.2 垂径定理

    第24章 圆 24.2 圆的基本性质(2) 【教学内容】垂径定理。 【教学目标】 知识与技能 了解圆的轴对称性; 了解拱高、弦心距等概念; 过程与方法 使学生掌握垂径定理,并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。 情感、态度与价值观 学生经历观察、发现、探究……,感受数学源于生活又服务于生活。 【教学重难点】 重点:垂径定理”及其应用 。。 难点:垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明 【导学过程】 【知识回顾】 ⒈叙述:请同学叙述圆的集合定义? ⒉连结圆上任意两点的线段叫圆的________,圆上两点间的部分叫做_____________, 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做______________。 3.课本有关“赵州桥”问题。 【情景导入】 ⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心?动手试一试,有方 法的同学请举手。 ⒉问题: ①在找圆心的过程中,把圆纸片折叠时,两个半圆 _______ ②刚才的实验说明圆是____________,对称轴是经过圆心的每 一条_________。 【新知探究】 探究一、 ⒈在找圆心的过程中,折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢? 垂直是特殊情况,你能得出哪些等量关系? ⒉若把AB向下平移到任意位置,变成非直径的弦,观察一下,还有与刚才相类似的结论吗? ⒊要求学生在圆纸片上画出图形,并沿CD折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确,要加以理论证明引导学生写出已知, 求证。 然后让学生阅读课本P81证明,并回答下列问题: ①书中证明利用了圆的什么性质? ②若只证AE=BE,还有什么方法? ⒌垂径定理: 分析:给出定理的推理格式 推论:平分弦( )的直径垂直于弦,并且 6.辨析题:下列各图,能否得到AE=BE的结论?为什么? 【知识梳理】 垂径定理及逆定理 【随堂练习】 1.如图1,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是( ). A.CE=DE B. C.∠BAC=∠BAD D.AC>AD (图1) (图2) (图3) (图4) 2.如图2,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是( ) A.4 B.6 C.7 D.8 3.如图3,已知⊙O的半径为5mm,弦AB=8mm,则圆心O到AB的距离是( ) A.1mm B.2mmm C.3mm D.4mm 4.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________; 最长弦长为_______. 5.如图4,OE⊥AB、OF⊥CD,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论) 6、已知,如图所示,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别 交于点A、B和C、D。求证:AB=CD  A B C D O A B C D O A B C D O E C O O O E E B O A A B E B A D D A E B D PAGE 1

  • ID:3-5811023 24.3.1 圆周角定理教学设计

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.3 圆周角/24.3.1 圆周角定理

    24.3《圆周角》第一课时教学设计 学情分析: 通过初中两年多学习,九年级大部分学生已经具有一定的自我发展意识与逻辑推理能力。所以在教学中应建立数学与生活的联系,创设一些有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣,引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。 ? 教材分析: (一)知识体系: 本节课是在掌握了圆的基本概念、性质、圆的确定以及圆心角概念和性质的基础上,对圆周角的性质进行探索,圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用,也是学习圆的后续知识的重要预备知识,在教材中起着承上启下的作用。同时,圆周角性质也是说明线段相等,角相等的重要依据之一. (二)教学目标: 1.知识与技能: (1)通过本节的教学使学生理解圆周角的概念,掌握圆周角的性质; (2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明与计算。 ? 2.过程与方法:引导学生能主动地通过:实验、观察、猜想、验证“圆周角与圆心角的关系”,培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神,从而提高数学素养。 ?3.情感、态度与价值观:创设生活情景激发学生对数学的“好奇心、求知欲”;营造“民主、和谐”的课堂氛围,让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验,同时培养学生以严谨求实的态度思考数学。 ? (三)重点难点: ? 1. 重点:经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程,掌握圆周角定理。 ? 2. 难点:了解圆周角的分类、用化归思想,合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”。 ?教学准备: ?教师:简单教具制作(图钉、橡皮筋)、圆规、三角板、圆形硬纸片若干张。 ?学生:圆形硬纸片(每位学生若干张) ?教学过程: ? 一、知识回顾: 1、什么是圆心角? 2、圆心角与它所对的弦、所对弦的弦心距、所对的弧有怎样的关系? 2、创设情境,引入新课:(1)用教具演示圆周角的概念:用橡皮筋(两颗钉子在圆周一颗钉子在圆心)呈现出一个圆心角∠AOB,移动圆心的钉子一直到圆周,形成另一个角,这个角的顶点与两边有什么关系?类比圆心角的定义给这个角命名。教师结合示意图和圆心角的定义,引导学生得出圆周角的定义。由学生口述,教师板书:圆周角:顶点在圆上,且两边都与圆有另外一个公共点的角。强调:定义中的两个条件缺一不可。利用自制教具演示,让学生辨析圆周角。 设计说明:通过教具演示让学生由圆心角的图形引入圆周角定义,用运动变化的观点来认识两者的关系,直观、生动、印象深刻。并且由学生认知的最近发展区引入,水到渠成。 (练习:概念辨析) ?判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.? (图1) (2)问题引入圆周角的性质:足球训练场上教练球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图1,甲、乙两名运动员分别在C、D两地,他们争论不休,都说在自己的位置射门好。如果你是教练,评一评他们的说法。 ?设计说明:联系学生生活中的话题,创设有一定挑战性的问题情景,目的在于激发学生的探索激情和求知欲望,吸引学生的注意力,很快进入课堂学习状态。 三、师生互动、合作探究 ?探究一:同弧所对的圆周角的大小有什么关系? ?(1)教师引导学生把实际问题抽象成数学问题:“研究同弧所对的圆周角的大小关系问题”,导入新课。 (2)引导学生通过画图测量,发现:∠C、∠D的度数相等。并进一步用教具演示测量多画几个弧AB所对的圆周角,并测量出各个角的度数,进一步验证“同弧所对的圆周角的大小相等”。 (3)教师引导,问题转化为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系”。 探究二:同弧所对的圆周角与圆心角的大小有什么关系? 练 习 : (图3) O 1.如图所示,AB是⊙O的直径,AC是弦, (1)若∠B=40 ° ,则∠AOC=______(2)若∠AOC=70 ° ,则∠B=______ (3)如图∠AOB是半圆所对的圆心角是180度,∠ACB是半圆所对的圆周角是90度。 2、学生动手实践: (1)在圆形硬纸片上任取一段弧,画出该弧所对的圆心角和任意一个圆周角。并根据所画的图形,探索说明“该弧所对的圆周角等于圆心角的一半”成立的理由。分组讨论 (2)通过教具操作,引导学生注意弧所对的圆周角的三种情况,并用测量圆心角与圆周角度数的方法来初步猜测同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半这一命题。 充分的活动交流后,教师挑选有代表性的几个小组派代表在黑板上展示图片、并说理、验证。 设计说明:本活动的设计让学生有自主探索、合作交流的时间和空间。学生在动手实践和充分的独立思考的基础上如有遇到个人难以独立解决的问题可以小组合作解决,在这个过程中教师深入课堂对学生适时的点拨、指导。 第一类:圆心在圆周角一边上  第二类:圆心在圆周角内部   第三类:圆心在圆周角外部 ? (图4) ①第一类比较容易,圆心在圆周角上? ??(图5) ?[∠C=2∠AOB∠A=∠C OA=OC] ?②第二类、第三类比较难,教师引导:由圆的轴对称性和圆周角的分类标准联想到把硬纸片对折、发现过圆周角的顶点C作辅助线“直径”,可以把第二、第三类情况转化为第一类来验证。? (图6) 第二类:圆心在圆周角内部 [∠C=∠AOB∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD )∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD] ? (图7) ③第三类:圆心在圆周角外部 [∠C=∠AOB∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD )∠ACD=∠AOD、∠BCD=∠BOD] ?(3)教师精讲:猜想成立,就可以把情景中研究“同弧所对的圆周角的大小问题”化归为研究“同弧所对的圆周角与圆心角的关系问题”,教师用几何画板演示二、三类情况,加深对所加辅助线和第二、三类情况划归为第一类情况的认识,一目了然。学生归纳严格的推理过程。 设计说明:本环节以学生活动为核心,首先让学生自主探究、合作交流,突出了重点,然后教师通过引导,环环相扣,把难点突破,其间渗透了“分类” 、“化归”等数学思想,把第一类图形想象第二类、第三类图形分别划归成第一类图形去解决,化抽象为具体、化一般为特殊,学生豁然开朗。 (4)由学生归纳发现的规律,教师板书“同弧所对的圆周角度数并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。”说明:“同弧”说明是“同一个圆”; “等弧”说明是“在同圆或等圆中”. ?(5)引导: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所对的圆周角一定相等吗?(学生通过交流获得知识) ?设计说明:让学生在同一知识中变换角度思考问题,从不同的方位观察圆心角与圆周角,更深一步理解“同弧”二字的含义,培养了学生思维的深度和广度。 例题讲解: 如图8,AB、AC为⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,如果∠ADB=35求∠BOC的度数。 课堂练习(见课件) 四、教学总结 ? 本节课主要学习了圆周角概念、定理.?在证明中,运用了数学 (?http:?/??/?www.teachercn.com?/?ShuXue?/?" t "_blank?)中的分类方法和“化归”思想.分类时应做到不重不漏;“化归思想”是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。学习过程中,培养学生勇于独立探索、不怕困难,遇到问题,学会与他人沟通、合作。 ?五、作业布置 习题24.3(P 31)第1、3、4题。 课外思考:如图9:“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻,当李带球冲到如图C点时,邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点,从射门的角度大小考虑,李应把球传给谁好?请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。 ???????????????????????????? 设计说明:本题的设计既与课堂引入的情景问题相呼应又为后继学习“点与圆的位置关系“埋下伏笔。问题的延拓渗透了分类思想、化归思想有助于培养学生的数学思想、应用意识,提高分析问题、解决问题的能力,让学生感悟数学来源于生活,应用于生活,激发学生学习数学的热情。 B A C

  • ID:3-5735677 沪科版九年级数学下册第24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系课件(22张PPT)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.2 圆的基本性质/24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

    沪科版九年级数学下册第24.2圆的基本性质 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 共22张ppt:22张PPT24.2 圆的基本性质 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 第24章 圆 1. 结合图形了解圆心角的概念,掌握圆心角的相 关性质. 2. 能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系,并 会初步运用这些关系解决有关问题 (重点、难 点). 导入新课 情境引入 飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中,都存在着角,那么这些角有什么共同的特征呢? 观察与思考 把圆绕圆心旋转任意一个角度,仍与原来的圆重合吗? ================================================ 压缩包内容: 沪科版九年级数学下册第24.2圆的基本性质 第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 共22张ppt.pptx

  • ID:3-5729114 沪科版九年级数学(下)24.4.1直线与圆的位置关系 (共19张PPT)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.4 直线与圆的位置关系/24.4.1 直线与圆的位置关系

    点和圆的位置关系有哪几种? A B C d 点A在圆内 点B在圆上 点C 在圆外 O 点到圆心距离为d ⊙O半径为r 把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线,注意观察直线与圆的公共点的个数 a(地平线) 三 ● ● 把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. 固定圆,平移直尺, 直线和圆分别有几个公共点? 相交 相切 相离 两个公共点 没有公共点 一个公共点 1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数) 2.用图形表示如下: .o .o 相切 相交 . 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 .o l 相离 快速判断下列各图中直线与圆的位置关系 l l .O2 l l . 1) 2) 3) 4) 相交 相切 相离 直线l与O1相离 直线l与 O2相交 O (从直线与圆公共点的个数) ● ● ● ● ● 过直线外一点作这条直线的垂线段, 垂线段的长度叫点到直线 的距离。 课本102面第1题过A点近似地画⊙O的切线 ● 如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系? 直线与圆的位置关系量化 1)直线和圆相交 d r; d r; 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离 d r; < = > 1)直线和圆相交 d r; d r; 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离 d r; 直线与圆的位置关系量化 < = > 你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗? 过圆心作直线的垂线段 一判定直线 与圆的位置关系的方法有____种: (1)根据定义,由________________ 的个数来判断; (2)由_________________ 的大小关系来判断。 在实际应用中,常采用第二种方法判定。 两 直线 与圆的公共点 圆心到直线的距离d与半径r d > 6cm d = 6cm d < 6cm 0cm≤ 2.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________; 直线和圆有1个交点,则直线和圆_________; 直线和圆有没有交点,则直线和圆_________; 相交 相切 相离 如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系?为什么? (1)r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm . 5 30° 解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C,在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30° 即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm. 因此⊙M 和 直线OA 相离. (3) 当 r = 2.5cm 时, 因此⊙M 和直线 OA 相切. (1) 当 r = 2 cm 时, (2) 当 r = 4 cm 时, 因此⊙M 和直线O A 相交. 2.5 有 d > r, 有 d < r, 有 d = r , 典型例题 如图:M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心,半径r=2.5cm作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的锐角a取什么值时射线OA与 ⊙M 1)相离 (2)相切 (3)相交 ? 5 a 2.5 例题的变式题 解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=CM=2.5=r 此时射线OA与 ⊙M相切 2)当 30°<∠a 时 射线OA与⊙M相离 3)当∠a <30°时 射线OA与⊙M相交 < 90° 2:圆的直径是13cm ,如果直线与圆心的距离分别是, (1) 4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点? 课本102面 (3) 当 d = 8cm时, 有 d > r,因此圆与直线相离,没有公共点 当 r = 6.5cm时, 有 d = r,因此圆与直线相切, 有一个公共点 当 d = 4.5cm时, 有 d < r, 因此圆与直线相交, 有两个公共点 解: r=6.5cm,设直线与圆心的距离为d 设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2- (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 方程 几何综合练习题 d=r 析:直线与⊙O相切 b2-4ac=0 [-(m+6)]2-4(m+9)=0 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 (不符合题意舍去) d <r d =r d >r 两个 唯一 切线 切点 没有 割线 圆心O到直线的距离为d 直线和圆的位置关系有三种 如图:AB=8是大圆⊙O的弦,大圆半径为R=5,则以O为圆心,半径为3的小圆与A B的位置关系是( ) 补充练习 A相离 B相切 C相交 D都有可能 O A B 5 4 3 B 8 (四)课后作业布置 谢谢观赏  再见!

  • ID:3-5729113 沪科版九年级(下册)数学:24.3《圆周角》教学课件 (共46张PPT)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/24.3 圆周角/24.3.1 圆周角定理

    沪科版九年级(下册)数学:24.3《圆周角》 一. 复习引入: 1.圆心角的定义? 在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 答:顶点在圆心的角叫圆心角 2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论,这个结论是什么? 探索1: 我们知道:顶点在圆心的角叫圆心角,当圆心角的顶点发生变化时,我们得到以下三种情况: A . O B C A A 圆内角 圆外角 圆周角 探索 考考你:你能仿照圆心角的定义,给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗? 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角. 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角. 什么叫做圆周角? · A B C O 二、概念 辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? 练习一:判断下列各图中,哪些是圆周角,为什么? 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置,同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角(∠AOB 和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E,他们的视角( ∠ADB 和∠AEB )和同学乙的视角相同吗? 1.视角∠AOB和∠ACB有什么关系?即同弧所对的圆心角和圆周角的关系. 2.∠ADB和∠AEB和∠ACB相等吗?即同弧所对的圆周角之间的大小关系. 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系? 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗? 圆周角和圆心角的关系 在⊙O任取一个圆周角∠BCA,将圆对折,使折痕经过圆心O和∠BCA的顶点C。由于点C的位置的取法可能不同,这时有三种情况: (1) 折痕是圆周角的一条边,如图(1) (2) 折痕在圆周角的内部,如图(2) (3) 折痕在圆周角的外部.如图(3) 圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况: 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角, ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 根据以上证明你能得到什么结论? 2.考虑第二种情况 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 根据以上证明你又能得到什么结论? 圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角的关系 3.考虑第二种情况 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 根据以上证明你又能得到什么结论? 三.圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。 思考:在同圆或等圆中,如果圆周角相等,所对的弧一定相等吗? 弧等 角等 结 论: 如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角? ∠1=∠4 ∠2=∠7 ∠3=∠6 ∠5=∠8 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 思 考 如图,线段AB是⊙O的直径,点C是⊙O上任意一点(除点A、B),那么,∠ACB就是直径AB所对的圆周角,想想看,∠ACB会是怎样的角? 90°的圆周角所对的弦是什么? · A B C1 O C2 C3 定理 C O D B A 如图:圆内接四边形ABCD中, ∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角的一半,∠BCD等于弧BAD所对圆心角的一半. 而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角=360°, ∴∠BAD+∠BCD= 180°. 同理∠ABC+∠ADC=180°. 圆内接四边形的对角互补. 圆的内接四边形 如果延长BC到E,那么 ∠DCE+∠BCD = 180°. ∴∠A=∠DCE. 又 ∵∠A +∠BCD= 180°, 圆的内接四边形 因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角. 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 试金石: 2.如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB=___。 1.求圆中角X的度数 C 3、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=_____. 40° 4.如图:OA、OB、OC都是⊙O的半径,且∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC. 5⑴如图5,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 。 ⑵如图6:已知弦AB、CD相交于P点,且∠AOC=44、 ∠BOD=46 求 ∠APC 的度数。 例1 如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长. 又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, 解:∵AB是直径, ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°. 在Rt△ABC中, ∵CD平分∠ACB, ∴AD=BD. 四、例题 求证:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(提示:作出以这条边为直径的圆.) · A B C O 求证: △ABC 为直角三角形. 证明: 以AB为直径作⊙O, ∵AO=BO, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴ △ABC 为直角三角形. 练 习 ∠BOC =140° 350 700 1.ΔABC内接于⊙O ,∠BOC=80?, 则∠BAC等于( ). (A)80? (B) 40? (C) 140? (D) 40?或140? D 2.已知:如图,AB=AC=AD, ∠BAC=40?, 则∠BDC的度数为( ) (A)40? (B)30? (C)20? (D)不能确定 C 15°或 75 ° 4.如图,⊙O1、⊙O2相交于A、B两点, 直线O1O2交两圆于C、D∠O1AO2=40°, 则∠CBD等于( ) (A)110° (B)120° (C)130° (D)140° A 1.如图,已知圆心角∠BOC=100°, 则圆周角∠BAC的度数为( ) A、100° B、130° C、50° D、80° 2.圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( ) A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120° 3.如图,A、B、C三点在⊙O上, ∠AOC=100°,则∠ABC等于( ) A、140° B、110° C、120° D、130° C D D 4.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧, 则劣弧所对的圆周角的度数为(  ) A、45°  B、90°   C、135°   D、270° 5.已知:如图,△ABC内接于 ⊙O,AD是⊙O的直径,∠ABC =30°,则∠CAD等于_________。 6. 在⊙O中,一条弦的长度等 于半径,则它所对的圆周角的 度数为_________。 7.半径为1的圆中有一条弦,如果 它的长为 那么这条弦所对的圆 A 周角的度数等于 . 60° 60°或120 ° 30°或150 ° 弦AB分圆为l∶5两部分,则弦AB所对 的圆周角度数等于 9. 已知:如图,AB 为⊙O的直径,∠BED=35?, 则∠ACD= ? 。 10.圆内接四边形相邻三个内角之比是3:1:6, 则这个四边形的最大角的度数为 。 30°或150 ° 55 160 ° 7 学以致用 作业适量 分层要求 A层(基础题) ⑶如图9,已知AB=AC=2cm, ∠BDC=60,则△ABC 的周长是 。 ⑷如图10:∠A是⊙O的圆周角,∠A=40°,求∠OBC 的度数。 7 学以致用 作业适量 分层要求 B层(中等题) ⑴ 在⊙O中,∠BOC=100o,则弦BC所对的圆周角 是 度。 ⑵如图11,AD是⊙O直径,BC=CD,∠A=30°, 求∠B的度数。 7 学以致用 作业适量 分层要求 C层(提高题) 如图12,AB是⊙O直径,点C在圆上,∠BAC的平分线交圆于点E,OE交BC于点H,已知AC=6,AB=10,求HE的长。 7 学以致用 作业适量 分层要求 D层(课外延拓、承上启下) 如图13:“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻,当李带球冲到如图C点时,邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点,李应把球传给谁好?请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。 球门  1、在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A  1、在⊙O中,∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A    2、如图,在⊙O中,AB为直径,CB = CF, 弦CG⊥AB,交AB于D,交BF于E 求证:BE=EC ⌒ ⌒ 4、在⊙O中,一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°,则x=_ _; 20° 25° 3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1:3的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于多少度。 1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 3.在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等。 2.半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径 小结: 四边形与圆的位置关系 如果四边形的四个顶点在一个圆上,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个重要性质: 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角.

  • ID:3-5652270 沪科版九年级数学下册第26章概率初步单元评估检测试卷(含答案)

    初中数学/沪科版/九年级下册/第26章 概率初步/本章综合与测试

    1.一个不透明的口袋中有6个白球和12个黑球,“任意摸出n个球,其中至少有一个白球”是必然事件,n等于( ) A. 6 B. 7 C. 13 D. 18 2.下列事件是必然事件的是( ) A. 经过不断的努力,每个人都能获得“星光大道”年度总冠军 B. 小冉打开电视,正在播放“奔跑吧,兄弟” C. 火车开到月球上 D. 在十三名中国学生中,必有属相相同的 3.下列不是必然事件的是() A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 三角形任意两边之和大于第三边 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 三角形内心到三边距离相等 4.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之积为偶数,甲得1分;如果两者之积为奇数,乙得1分,此游戏(  ) A. 对甲有利 B. 对乙有利 C. 是公平的 D. 以上都有不对 5.某地质学家预测:在未来的20年内,F市发生地震的概率是2/3 . 以下叙述正确的是(  ) A. 从现在起经过I3至14年F市将会发生一次地震 B. 可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震 C. 未来20年内,F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大 D. 我们不能判断未来会发生什么事,因此没有人可以确定何时会有地震发生 6.小泽和小超分别用掷A,B两枚骰子的方法来确定P(x,y)的位置,她们规定:小泽掷得的点数为x,小超掷得的点数为 y ,那么,她们各掷一次所确定的点落在已知直线y=-2x+6上的概率为( ) ================================================ 压缩包内容: 沪科版九年级数学下册第26章概率初步单元评估检测试卷(有答案).doc

  • ID:3-5566152 2019春九年级数学下册第第24章 圆复习课件(5份打包)(新版)沪科版

    初中数学/沪科版/九年级下册/第24章 圆/本章综合与测试

    周滚动练( 24.1~24.2 ) 一、选择题( 每小题4分,共20分 ) 1.下列说法错误的是( B ) A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧 2.如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为( 3,4 ),P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( C ) A.3 B.4 C.6 D.8 3.如图,在☉O中,A,C,D,B是☉O上四点,OC,OD交AB于点E,F,且AE=BF.下列结论不正确的是( C ) A.OE=OF B. C.AC=CD=DB D.CD∥AB 4.如图,将边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为( C ) 5.如图,已知☉O的直径AB=12,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP∶AP=1∶5,则CD的长为( D ) 二、填空题( 每小题5分,共20分 ) 6.如图,△ABO中,AB⊥OB,OB= ,AB=1,把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O,则点B1的坐标为   .? 7.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O,按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= 1.5  cm. 8.如图,圆弧形桥拱的半径为10米,拱高CD=4米,那么圆弧形桥拱的跨度AB= 16 米.? 三、解答题( 共60分 ) 10.( 10分 )如图,在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A,B,C.( 网格小正方形边长为1 ) ( 1 )请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标 ( 2,-1 ) ,☉P的半径为   ;( 结果保留根号 )? ( 2 )判断点M( -1,1 )与☉P的位置关系. 解:( 2 )观察可知点M( -1,1 )在☉P内. 11.( 12分 )如图,隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8 m,宽AB为1 m,该隧道内设双向行驶的车道( 共有2条车道 ),若现有一辆货运卡车高4 m,宽2.3 m.则这辆货运卡车能否通过该隧道?说明理由. 12.( 12分 )如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A( -4,3 ), B( -3,1 ),C( -1,3 ). ( 1 )请按下列要求画图: ①将△ABC先向右平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1; ②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称,画出△A2B2C2. ( 2 )在( 1 )中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称,请直接写出对称中心M的坐标. 解:( 1 )①△A1B1C1如图所示. ②△A2B2C2如图所示. ( 2 )连接B1B2,C1C2,得到对称中心M的坐标为( 2,1 ). 13.( 12分 )如图,在☉O中,弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD⊥CB. ( 1 )求证:AB=CD; ( 2 )如果☉O的半径为5,DE=1,求AE的长. ∴Rt△AOF≌Rt△COG( HL ),∴OF=OG, ∴四边形OFEG是正方形,∴OF=EF. 设OF=EF=x,则AF=FD=EF+DE=x+1, 在Rt△OAF中.由勾股定理,得OF2+AF2=OA2,即x2+( x+1 )2=52,解得 x=3( 舍负 ). 则AF=3+1=4,即AE=AF+EF=4+3=7. 14.( 14分 )如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,∠A=30°,E,F分别是线段BC,AC的中点,连接EF. ( 1 )线段BE与AF的位置关系是  互相垂直 ,? ( 2 )如图2,当△CEF绕点C顺时针旋转α时( 0°